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1、.-优选高一数学必修一第一节集合知识要点一、集合的含义及其表示1、一般地,一定围某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的 元素。集合的性质:1确定性:集合确定,那么一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。班级中成绩好的同学构成一个集合吗?2无序性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。班级位置调换一下,这个集合发生变化了吗?3互异性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合。集合中任意两个元素是不一样的。如:集合 A1,2,a,那么 a应满足什么条件?常用数集及记法1自然数集:记作N2正整数集:记作*NN或3整数集:记作Z 4有理数集:记作
2、Q 例如根号2 5实数集:记作R 例:以下各种说法中,各自所表述的对象是否确定,为什么?1我们班的全体学生;2我们班的高个子学生;3地球上的四大洋;4方程 x210 的解;5不等式2x30 的解;6直角三角形;2、集合的表示法1列举法:把集合中的元素列举在一个大括号里:2 描述法:将集合的所有元素都具有的性质满足的条件 表示出来,写成 x|P x 的形式。如:xx 为中国的直辖市 3集合的分类:有限集与无限集 有限集:含有有限个元素的集合。无限集:假设一个集合不是有限集,就称此集合为无限集。空集:不含任何元素的集合。记作,如:二、子集、全集、补集1、子集 的定义:如果集合A 的任一个元素都在集
3、合B 中那么称集合A 为集合 B 的子集,记作:ABBA或.-优选特别的:AAA真子集 的定义:如果AB 并且BA,那么称集合A 为集合 B 的真子集。2、补集 的定义:设A 为 S的子集,由S中不属于 A 的所有元素组成的集合称为S的子集A 的补集,记作:ACSx x S且 xA,如果集合S包含我们所要研究的各个集合,就把 S称为全集。三、交集与并集的定义1、定义:一般地,由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合,称为A 与 B 的交集;记作:AB;由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合,称为A 与 B 的 并集;记作:AB。性质:1BBAABAABBA,2假设BA,那么A
4、BA3BABBAAABBA,4假设,AB那么ABA5AAUC归纳:1交集:两集合的公共元素构成集合。2并集:把两个集合合在一起,但要注意元素的互异性。3根本方法:抽象的集合关系可用文恩图表示,实数集中的运算可在数轴上表示。注意点:空集是任何集合的子集;空集与任何集合的交集仍为空集。四、根底练习:1Ax|3 3x0,那么以下各式正确的选项是()A 3 AB 1AC 0 A D 1?A 2以下四个集合中,不同于另外三个的是()Ay|y 2 Bx 2 C2 Dx|x24x40 3以下关系中,正确的个数为_12R;2?Q;|3|?N*;|3|Q.4集合 A1,x,x2x,B1,2,x,假设集合A 与集
5、合 B 相等,求 x 的值.-优选一、选择题1以下命题中正确的()0与0 表示同一个集合;由 1,2,3组成的集合可表示为1,2,3 或3,2,1;方程(x1)2(x2)0的所有解的集合可表示为1,1,2;集合 x|4x0,T x|3x 50,那么 S T()A?Bx|x53 Dx|12x0 x|x 12,Tx|3x 50 x|x53,那么 S Tx|12x0,Bx|1 x 2,那么A B()A x|x 1 B x|x 2C x|0 x 2 D x|1 x 2【解析】集合 A、B 用数轴表示如图,A B x|x 1应选 A.【答案】A 4满足 M?a1,a2,a3,a4,且 M a1,a2,a
6、3a1,a2的集合 M 的个数是()A 1 B2 C3 D4【解析】集合 M 必须含有元素a1,a2,并且不能含有元素a3,故 Ma1,a2或 Ma1,a2,a4应选 B.【答案】B 二、填空题(每题 5 分,共 10 分)5集合 Ax|x 1,B x|x a,且 A B R,那么实数a的取值围是 _【解析】A(,1,Ba,),要使A B R,只需a 1.【答案】a16满足1,3 A1,3,5 的所有集合A 的个数是 _【解析】由于 1,3 A1,3,5,那么 A?1,3,5,且 A 中至少有一个元素为5,从而 A 中其余元素可以是集合1,3 的子集的元素,而1,3 有 4 个子集,因此满足条
7、件的A 的个数是 4.它们分别是 5,1,5,3,5,1,3,5【答案】4 三、解答题(每题 10 分,共 20 分).-优选7集合 A1,3,5,B1,2,x21,假设 A B 1,2,3,5,求 x 及 A B.【解析】由 A B 1,2,3,5,B 1,2,x2 1得 x213 或 x215.假设 x213 那么 x 2;假设 x215,那么 x6;综上,x2 或6.当 x2 时,B1,2,3,此时 A B 1,3;当 x6时,B 1,2,5,此时 A B 1,5 8A x|2a x a3,Bx|x5,假设 A B?,求a的取值围【解析】由 A B?,(1)假设 A?,有 2aa3,a3
8、.(2)假设 A?,如图:,解得-a 2.综上所述,a的取值围是 a|-a2 或 a3 9(10 分)某班有 36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6 人,同时参加物理和化学小组的有4 人,那么同时参加数学和化学小组的有多少人?【解析】设单独参加数学的同学为x 人,参加数学化学的为y 人,单独参加化学的为z 人依题意xy626,y4z13,xyz21,解得x 12,y8,z 1.同时参加数学化学的同学有8 人,.-优选答:同时参加数学和化学小组的有8 人1集合 a,b的子集有()A1
9、个 B2 个C3个D4 个【解析】集合a,b 的子集有?,a,b,a,b共 4个,应选 D.【答案】D 2以下各式中,正确的选项是()A23 x|x 3 B23?x|x 3C23?x|x 3 D 23x|x 3【解析】23表示一个元素,x|x 3 表示一个集合,但 23不在集合中,故 23?x|x 3,A、C 不正确,又集合23?x|x 3,故 D 不正确【答案】B 3集合 Ba,b,c,Ca,b,d,集合 A 满足 A?B,A?C.那么集合 A 的个数是 _【解析】假设 A?,那么满足A?B,A?C;假设 A?,由 A?B,A?C 知 A是由属于 B 且属于 C 的元素构成,此时集合A 可能
10、为 a,b,a,b【答案】4 4集合 A x|1 x4,Bx|xa,假设 A?B,数 a的取值集合【解析】.-优选将数集 A 表示在数轴上(如下图),要满足 A?B,表示数 a的点必须在表示4 的点处或在表示 4 的点的右边,所以所求a的集合为 a|a 4一、选择题(每题 5 分,共 20分)1集合 A x|0 x3 且 xZ的真子集的个数是()A5 B6 C7 D8【解析】由题意知 A0,1,2,其真子集的个数为2317 个,应选 C.【答案】C 2在以下各式中错误的个数是()1 0,1,2;1 0,1,2;0,1,2?0,1,2;0,1,22,0,1 A1 B2 C3 D4【解析】正确;错
11、因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系;正确;正确两个集合的元素完全一样应选A.【答案】A 3集合 Ax|1x2,Bx|0 xB BAB CBA DA?B【解析】如下图,由图可知,BA.应选 C.【答案】C.-优选4以下说法:空集没有子集;任何集合至少有两个子集;空集是任何集合的真子集;假设?A,那么 A?.其中正确的有()A0 个B1 个C2个D3 个【解析】空集是它自身的子集;当集合为空集时说法错误;空集不是它自身的真子集;空集是任何非空集合的真子集因此,错,正确应选B.【答案】B 二、填空题(每题 5 分,共 10分)5?x|x2xa0,那么实数a的取值围是 _【解析】?x|x2xa0
12、,方程 x2xa0 有实根,(1)2 4a 0,a14.【答案】a146集合 A 1,3,2m1,集合 B3,m2,假设 B?A,那么实数 m_.【解析】B?A,m22m1,即(m1)2 0 m 1,当 m1 时,A1,3,1,B3,1 满足 B?A.【答案】1 三、解答题(每题 10 分,共 20 分)7设集合 Ax,y,B0,x2,假设 AB,数 x,y.【解析】从集合相等的概念入手,寻找元素的关系,必须注意集合中元素的互异性因为 AB,那么 x0 或 y0.(1)当 x0时,x20,那么 B0,0,不满足集合中元素的互异性,故舍去(2)当 y0 时,xx2,解得 x0 或 x1.由(1)
13、知 x0 应舍去综上知:x1,y0.8假设集合Mx|x2x60,Nx|(x 2)(xa)0,且 N?M,数 a的值.-优选【解析】由 x2x60,得 x2或 x3.因此,M2,3假设 a2,那么 N2,此时 NM;假设 a 3,那么 N2,3,此时 NM;假设 a2且 a3,那么 N2,a,此时 N 不是 M 的子集,故所数 a的值为 2 或 3.9(10 分)集合 Mx|x m16,m Z,Nx|x n213,nZ,Px|x p216,pZ,请探求集合M、N、P 之间的关系【解析】Mx|x m16,m Z x|x 6m16,m ZNx|x n213,nZ x|x 3n26,nZPx|x p216,pZ x|x 3p16,pZ 3n23(n1)1,nZ.3n2,3p1都是 3 的整数倍加 1,从而 NP.而 6m1 3 2m1是 3 的偶数倍加1,MNP.