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1、1 2014级高一物理竞赛培训第一讲摩 擦 角(两课时）高一物理组郭金朋1、“千斤顶”中的学问【例 1】在固定的斜面上放一物体，并对它施加一竖直向下的压力，物体与斜面间的摩擦因数为。求斜面倾角 的最大值，使得当 m时，无论竖直向下的压力有多大，物体也不会滑下。分析：如图,物体受四个力，重力和压力的合力为G+F，静摩擦力 Fs，斜面支持力 FN。将 G+F 分解为 F1和 F2，根据平衡条件得FN=F2=（G+F）cosFs=F1=（G+F）sin物体不会滑下的条件是Fs小于最大静摩擦力Fm，而 Fm=FN，从而有：（G+F）sin（G+F）cos化简得 arctan 所以只要 arctan ，
2、无论 F 有多大,物体也不会滑下。说明:“千斤顶”螺旋实际可以看作是的弯曲斜面.2、推力的极大值(自锁）【例 2】在机械设计中，常用到下面的力学装置，如图只要使连杆 AB 与滑块 m 所在平面法线的夹角小于某个值,那么无论连杆AB 对滑块施加多大的作用力,都不可能使之滑动，且连杆AB 对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为自锁现象.则自锁时 应满足什么条件?设滑块与所在平面间的动摩擦因数为 。分析：将连杆 AB 对滑块施加的推力F 分解,且 F 远远大于 mg,可以忽略。则滑块m 不产生滑动的条件为Fsin Fcos化简得自锁的条件为 arctan .3、拉力的极小值【例 3】在
3、水平面上放有一质量为m 的物体,物体与地面的动摩擦因数为 ，现用力 F 拉物体,使其匀速运动，怎样施加 F 才能最小。分析：设拉力与水平面间的夹角为，将拉力 F 分解,并列出平衡方程，由动摩擦力公式得Fcos=（mgFsin ),化简为(其中令）当时 F 有最小值：，且 =arctan .4、破冰船中的道理【例 4】1999 年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制2 的“雪龙”号科学考察船。“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件,以对付北极地区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同时又将碎冰块挤向船底，如果碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受到巨
4、大的侧压力而可能解体。为此,船体与竖直方向之间必须有一倾角。设船体与冰块之间的动摩擦因数为。试问使压碎的冰块能被挤压向船底，角应满足的条件.分析：冰块受到三个力:冰层对冰块的水平向后的挤压力，船体对冰块的侧压力F，以及沿船体方向的摩擦力（冰块的重力和浮力可以忽略）。将 F 分解，如图FN=F1=FcosFf=FN能使压碎的冰块被挤压向船底必须满足的条件为F2Ff,有Fsin Fcos化简得 arctan 5、压延机原理【例 5】压延机由两轮构成，两轮的直径均为d=50mm，轮间的间隙为 a=5mm，两轮按反方向转动,如图中箭头所示。已知烧红的铁板和铸铁轮之间的摩擦因数为=0。1，问能压延的铁板
5、厚度b是多少？分析:铁板的 A、B 两点和铸铁轮接触，接触点与转轴连线的夹角为 。在 A 点铁板受到 FN1和 Ff1两个力,在 B 点铁板受到 FN2和Ff2两个力，如图所示。要使铁板能压延铁板所受合力必须向右，则=arctan 则铁板的最大厚度为bm=a+2（r-rcos）=7。48mm 所以能压延的铁板厚度b7。48mm【例 6】物体放在水平面上，用与水平方向成30的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。答案：引进全反力R，对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18 中的左图和中间图(注意：重力
6、G 是不变的，而全反力 R 的方向不变、F 的大小不变）,m指摩擦角.再将两图重叠成图的右图.由于灰色的三角形是一个顶角为30的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底边故有：m=15。最后，=tgm=0。268.【例 7】如图 2-1-7 所示用力 F 推一放在水平地面上的木箱，质量为 M，木箱与地面间摩擦因数为问:当力 F 与竖直成夹角多大3 时，力 F再大也无法推动木箱？思路分析本题属于物体平衡问题,一般方法是用平衡条件列方程求极值，但这里用摩擦角的概念分析，问题会更加简单解:选物体为研究对象,受力如图 2-1-8所示，其受四个力作用而静止,将弹力 N和摩擦力 f 合成作出全反力F 当物体将
7、要发生滑动时，静摩擦角0。满足 tg0=，由平衡条件知当0 0时,物体出现自琐现象，也就是说此时无论用多大的力都不会使物体推动，故 角属于范围(0，0）.一个接触面的平衡问题【例 8】一物体质量为m，置于倾角为的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值.解析：本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值，另一种是引入全反力(摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。解法一:（利用平衡条件求解）设拉力与斜面夹角为，则由平衡条件可得：即有令，则有解法二：（引入摩擦角）如图1 所示，设，则由平衡条件和矢量三角形可得：当拉力F 垂
8、直于全反力方向时此时F 的拉力最小，即：【例 9】结构均匀的梯子 AB,靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为 G，与地面间的动摩擦因数为，如图所示,1，求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角的最小值0；2，当=0时，一重为 P 的人沿梯子缓慢向上,他上到什么位置，梯子开始滑动？分析:本题有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解，这是常规解法;另一解法是分析出它临界条件0再引入摩擦角解。解法一:（1）如图 2 所示，平衡条件可得:由上述 3 式可解得：（2）如图 3 所示，由平衡条件可得:由上述 3 式可解得：解法二：(1）(引入摩擦角）如图4 所示，,由平衡条件可得：所以有4（2）如图 5 所示
9、，将梯子和人的重力用其等效重力代替，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2 时，梯子开始滑动。两个接触面的平衡问题【例 10】一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为1、2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。分析:此题同样有两种解法，为了节省篇幅,接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动，所以系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值.现把两端点的受力用全反力表示，则梯
10、子就只受三个力，且三个力必共点。解:如图 6 所示，,由平衡条件和几何关系可得：即梯子与地面所成的最小的角为思考题 质量为 m 的均匀梯子,一端在坚直光滑的墙上，另一端置于粗糙的水平地面上，静摩擦系数为,一个质量为 M 的人沿梯往上爬，为了保证该人的安全,对梯子的放置有什么要求？(答案：)【例 12】一梯子长为 L,斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为，与水平地面间的静摩擦系数为,与竖直墙面间的静摩擦系数为为，不计梯子的重力，求:重为 G的人沿梯子能上升的最大高度。解:以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示，建立直角坐标系：地面对梯子的全反力F1的直线方程：y=（xLcos）(1)竖直墙面对梯子
11、的全反力F2的直线方程：y=tanx+Lsin (2)梯子 AB的直线方程:y=tan（xLcos)(3）当人达最高时,梯子将要滑动，此时有:tan=tan=代入上式由（1）、（2)两式可得 F1与 F2的交点 P坐标为:5 x=代入（3)式得人达到的最大高度为:y=令 h=Lsin 则:y=讨论:(1）当 tan 时，y,说明人可到达梯子的顶端，即：ymax=L sin。也就是说，梯子的倾角大于某一临界角时（tan=），梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些，使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数越
12、大，临界角就会越小，梯子会更容易实现自锁状态.（2)、当 tan 时,y h，说明人不能到达梯子的顶端，即：ymax=如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度，根据系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度.小结：由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法”，这样可避免解繁琐的三角形，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果。【例 12】如图 9 所示,每侧梯长为的折梯置于铅垂平面内，已知 A、B 两处动摩擦因数分别为 A=0。2、B=0。6,不计梯重,求人能爬多高而梯不滑到。解析:这是多
13、点摩擦不同时滑动的平衡问题,比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大,则梯子不会滑到，现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。解:由题意可得：,如果从 A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到,此时受力如图 9 所示，设此时人离A端的距离为 S，则由平衡条件和几何关系可得：所以从 A端能爬的最大高度为如果从 B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图 10 所示,这将不可能，因为A梯早就滑动了或A 梯早就转动了。6 综上所述，人能爬的最大高度是。想一想为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？解题经验小结:引入摩擦角的好处：
14、通过全反力的等效替代，可以减少力的个数,化多力平衡问题为三力平衡问题；可以迅速确定临界平衡状态；把平衡问题的判断转化为寻求角度之间的关系，这是求解平衡问题的重要思路。【例 13】如图 1-15，两把相同的均匀梯子AC和 BC，由 C端的铰链连起来，组成人字形梯子,下端 A和 B相距 6m，C端离水平地面 4m，总重 200 N,一人重 600 N，由 B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数 0.6,则人爬到何处梯子就要滑动？解：进行受力分析,如图所示,把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状态：AB=6m，CD=4m,AC=BC=5m 设人到铰链C 的距离为满足，所以整理后：，所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动【例 14】如图 116 所示,一均匀梯子,一端放在水平地面上，另一端靠在竖直墙上,梯子与地面和墙间的静摩擦因数分别为1和2，求梯子平衡时与地面所能成的最小夹角解：受力分析如图所示，同样处于平衡状态，解题过程与上题类似，故解题过程略则梯子平衡时与地面所能成的最小夹角为