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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属 B 级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属 B 级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属 B 级要求.真 题 感 悟1.(2018江苏卷)已知矩阵A A2312.(1)求A A的逆矩阵A A1；(2)若点P在矩阵A A
2、对应的变换作用下得到点P(3，1)，求点P的坐标.解(1)因为A A2312，det(A A)221310，所以A A可逆，从而A A12312.(2)设P(x，y)，则2312xy31，所以xyA A13131，因此， 点P的坐标为(3，1).2.(2017江苏卷)已知矩阵A A0110，B B1002.(1)求ABAB；(2)若曲线C1：x28y221 在矩阵ABAB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.解(1)ABAB011010020210.(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为xy0210 x1y1，所以x2y1，yx1，即x1y，y112x.因为P
3、(x1，y1)在曲线C1上，所以x218y2121，从而x2y28，即为曲线C2的方程.3.(2018江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为sin62，曲线C的方程为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4cos，求直线l被曲线C截得的弦长.解因为曲线C的极坐标方程为4cos，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为 4 的圆.因为直线l的极坐标方程为sin62，则直线l过A(4，0)，倾斜角为6，所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则OAB6.连接OB.因为OA为直径，从而OBA2，所以AB4cos62 3.因此，直线l被曲线C截得的弦长为 2 3.4.(2017江苏卷)在平面坐
4、标系xOy中， 已知直线l的参数方程为x8t，yt2(t为参数)，曲线C的参数方程为x2s2，y2 2s(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.解由x8t，yt2消去t.得l的普通方程为x2y80，因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2 2s).则点P到直线l的距离d|2s24 2s8|52（s 2）245，当s 2时，d有最小值454 55.5.(2018江苏卷)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值.解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，当且仅当x1y2z2时，不等式取等号，此
5、时x23，y43，z43，所以x2y2z2的最小值为 4.6.(2017江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明acbd8.证明由柯西不等式可得(a2b2)(c2d2)(acbd)2，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业即(acbd)241664，故acbd8.考 点 整 合1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换2.二阶矩阵的特征值和特征向量(3)如果是二阶矩阵M M的特征值，则是M M的特征多项式的一个根，它满足f()0，此时将代入axbyx，cxdyy可得到一组非零解x0y0)，它即为M M的属于的一个特征向量.3.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点
6、，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则xcos，ysin，2x2y2，tanyx（x0）.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业4.(1)直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量.(2)圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)， 半径为r的圆的参数方程为xx0rcos，yy0rsin(为参数， 02).5.含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|
7、f(x)|0)af(x)0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足 tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2(a0)，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组22sin1a20，4cos.若0，由方程组得 16cos28sincos1a20，由已知 tan2，可得 1
8、6cos28sincos0，从而 1a20，解得a1(舍去)，a1.a1 时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a1.热点三参数方程考法 1参数方程与普通方程的互化【例 31】 (2018南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为x33t，y14t(t为参数)，圆C的参数方程为xrcos，yrsin(为参数，r0)，若直线l被圆C截得的弦长为 4，求r的值.解直线l的普通方程为 4x3y150，圆C的普通方程为x2y2r2.因为圆心C(0，0)到直线l的距离d|15|53，又直线l被圆C截得的弦长为 4，所以r 3222 13.探究提高参数方程化为普通方
9、程： 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数， 常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.考法 2直线的参数方程精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【例 32】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x322t，y 522t(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2 5sin.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3， 5)，求PAPB.解法一(1)由2 5sin，得x
10、2y22 5y0，即x2(y 5)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得322t222t25，即t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1t23 2，t1t24.又直线l过点P(3， 5)，故由上式及t的几何意义得PAPB|t1|t2|t1t23 2.法二(1)同法一.(2)因为圆C的圆心为(0， 5)，半径r 5，直线l的普通方程为：yx3 5.由x2（y 5）25，yx3 5得x23x20.解得：x1，y2 5或x2，y1 5.不妨设A(1，2 5)，B(2，1 5)，又点P的坐标为(3， 5).故PAPB 8 23 2.探究提高
11、过定点P0(x0，y0)， 倾斜角为的直线参数方程的标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t为参数)，t的几何意义是P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1t2).【训练 3】 (2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x122t，y222t(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长.解将直线l的参数方程x122t，y222t代入抛物线方程y24x，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业得222t24
12、122t，解得t10，t28 2.所以AB|t1t2|8 2.热点四绝对值不等式【例 4】 (1)(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.当a1 时，求不等式f(x)0 的解集；若f(x)1，求a的取值范围.(2)(2018镇江期末)已知函数f(x)|xa|xa|，若对任意xR R，不等式f(x)a23 恒成立，求实数a的取值范围.解(1)当a1 时，f(x)2x4，x1，2，12.可得f(x)0 的解集为x|2x3.f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2 或xa时等号成立(最小值能取到).故f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得a6 或a2.
13、所以a的取值范围是(，62，).(2)因为对任意xR R，不等式f(x)a23 恒成立，所以f(x)mina23.又|xa|xa|xa(xa)|2a|，所以|2a|a23，法一(将|a|作为整体)即|a|22|a|30，解得1|a|3.所以3a3.a(3，3).法二(先去绝对值符号)式等价于 2aa23，或 2aa23，由得1a3，由得3a1，所以，3a3.a(3，3).探究提高(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，
14、既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.【训练 4】 已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1 的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解(1)f(x)|x1|x2|3，x1，2x1，1x2，3，x2.由f(x)1 可得当x1 时显然不满足题意；当1x2 时，2x11，解得x1，则 1x2；当x2 时，f(x)31 恒成立，x2.综上知f(x)1 的解集为x|x1.(2)不等式f(x)x2xm等
15、价于f(x)x2xm，令g(x)f(x)x2x，则g(x)m解集非空只需要g(x)maxm.由(1)知g(x)x2x3，x1，x23x1，1x2，x2x3，x2.当x1 时，g(x)maxg(1)3115；当1x0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)a0，b0 且a3b32.由柯西不等式，得(ab)(a5b5)(aa5bb5)2(a3b3)24.当且仅当ab5ba5，即ab1 时等号成立.因此(ab)(a5b5)4.(2)a3b32，(ab)(a2abb2)2，即(ab)(ab)23ab2.所以(ab)323ab(ab)，又abab22（ab）24
16、，(ab)3234(ab)3，则14(ab)32.从而ab2 当且仅当ab1 时等号成立.1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、 二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、 加减消去法、 恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法， 也可利用图象求解；(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式
17、的结构，再加以运用.1.(2013江苏卷)已知矩阵A A1002，B B1206，求矩阵A A1B B.解设矩阵A A的逆矩阵为abcd，则1002abcd1001，即ab2c2d1001，故a1，b0，c0，d12，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业从而A A的逆矩阵为A A110012，所以A A1B B1001212061203.2.(2015江苏卷)已知x，yR R，向量11是矩阵A Ax1y0的属于特征值2 的一个特征向量，求矩阵A A以及它的另一个特征值.解由已知，得A A2，即x1y011x1y22，则x12，y2，即x1，y2，所以矩阵A A1120.从而矩阵A A的特
18、征多项式f()(2)(1)，所以矩阵A A的另一个特征值为 1.3.(2015江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22 2sin4 40， 求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为22 222sin22cos40，化简，得22sin2cos40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为 6.4.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为x2cos，y4sin(为参数)，直线l的参数方程为x1tcos，y2tsin(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(
19、2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为x24y2161.当 cos0 时，l的直角坐标方程为ytanx2tan，当 cos0 时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程， 整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业又由得t1t24（2cossin）13cos2，故 2cossin0，于是直线l的斜率ktan2.5.(2016江苏卷)设a0，|x1|a3，|
20、y2|a3，求证：|2xy4|a.证明由a0，|x1|a3可得|2x2|2a3，又|y2|a3，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|2a3a3a.则|2xy4|a成立.6.(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为 2， 且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当a3 且b2 时，f(x)axb在0，)上成立，因此 ab 的最小值为 5.青年时种下什么，老年时就收获什么。 易卜生人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 托尔斯泰人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。达芬奇人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 雷锋