《基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版).pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、基于 MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟混沌实验教学平台的设计与实现初期报告物电 05 级 1A 班张丹伟20050003101 摘要：本文利用数学软件MATLAB 对 Lorenz 系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。关键词：混沌；微分方程；MATLAB；引言混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛
2、伦兹在美国科学发展学会第139 次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；
3、一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。一混沌的基本概念1.混沌:目前尚无通用的严格的定义,一般认为,将不是由随机性外因引起的,而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。2.相空间:在连续动力系统中,用一组一阶微分方程描述运动,以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示,通过该点有唯一的一条积分曲线。3.混沌运动:是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定,是指近邻的轨道随时间的发展会
4、指数地分离。由于这种不稳定性,系统的长时间行为会显示出某种混乱性。4.分形和分维:分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质,该点集具有无限精细的结构,在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质,具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。分维就是用非整数维分数维来定量地描述分形的基本性质。5.不动点:又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值,对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中,相空间中有一个点0 x,若满足当t时,轨迹0()x tx,则称0 x为不动点。6.吸引子:指相空间的这样的一个点集 s(或一个子空间),对 s 邻域的几乎任意一点,当t时所有轨迹线均趋于s,吸引子是稳定的
5、不动点。7.奇异吸引子:又称混沌吸引子,指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成,并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在其吸引子集中。8.分叉和分叉点:又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时,长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点,在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性,故系统在分叉点处是结构不稳定的。9.周期解:对于系统1()nnxf x,当n时,若存在n inxx,则称该系统有周期i解。不动点可以看作是周期为1的解,因为它满足1nnxx。10.初值敏感性：对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也
6、有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。敏感依赖性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。二MATLAB 中的龙格库塔（Runge-Kutta）实现MATLAB（Matrix Laboratory）是 MathWorks 公司开发的，目前国际上最流行应用最广的科学与工程计算机软件之一。MA TLAB 软件以矩阵运算为基础，把计算，可视化，程序设计等有机的融合在一起，具有出色的数值计算能力和强大的图形处理功能。基于 RungeKutta 法，MA TLAB 提供了求解微分方程数值解的函数，一般调用格式是：,23(,0),45(,0)t yode
7、fname tspan yt yodefname tspan y其中 fname 是定义的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。Tspan形式是 t0,tf，表示求解区间，y0 是初始状态向量。这两个函数分别采用“二阶，三阶Runge Kutta 法”和“四阶，五阶Runge Kutta 法”，并采用自适应的求解方法，即当解的变化较慢时采用较大的步长，从而使计算速度很快，当解的变化较快时步长会自动变小长，从而使计算精度很高。在 MATLAB 中，一般选取四阶的龙格库塔方法。三Lorenz 混沌系统美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）于1963 年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引
8、子的动力学系统。该混沌系统模型可以用下列微分方程组描述：)()(zxybdtdzxzyaxdtdyyxcdtdx利用MA TLAB数学软件对上面微分方程求解，进行数值模拟。首先建立M文件Lorenz.m 定义脚本函数，然后编程调用，其中x（1）表示 x，x（2）表示 y，x（3）表示 z，程序如下：function r=lorenz(t,x)global a;global b;global c;r=-c*(x(1)-x(2);a*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);b*(x(1)*x(2)-x(3);clear;global a;global b;global c;b=8/3;c=10;t
9、0=0,100;f0=1,1,1；for a=10:30 t,x=ode45(lorenz,t0,f0);a subplot(3,1,1);plot(t,x(:,1),r,t,x(:,2),g,t,x(:,3),b);title(Lorenz 模型变量时域响应);legend(x,y,z);xlabel(t);subplot(3,1,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);title(Lorenz模型相图 );xlabel(x);ylabel(y);zlabel(z);grid on;subplot(3,1,3);plot(x(:,1),x(:,3);title(Loren
10、z模型 XZ平面相图 );xlabel(x);ylabel(z);grid on;pause;end1.固定参数b 和 c，设置初始值f0 和计算时间t0，通过改变参数a 可以发现系统逐步进入混沌状态的过程。020406080100051015Lorenz 模型的状态变量的时域响应txyz123456024601020 xLorenz模型相图yz123456051015Lorenz模型X-Z 相图xza=100102030405060708090100-2002040Lorenz 模 型 的 状 态 变量 的 时 域 响 应t-10-50510-10-5051002040 xLorenz模 型
11、 相 图yz-8-6-4-2024680102030Lorenz模 型 X-Z 相 图xzxyza=150102030405060708090100-2002040Lorenz 模 型的 状 态 变 量 的 时 域 响 应t-10-5051015-100102002040 xLorenz模 型 相 图yz-8-6-4-202468101202040Lorenz模 型 X-Z相 图xzxyza=230102030405060708090100-50050Lorenz 模 型 的 状 态 变 量 的 时 域 响 应t-10-5051015-20-1001020050 xLorenz 模 型 相 图
12、yz-10-50510150204060Lorenz 模 型 X-Z相 图xzxyza=240102030405060708090100-50050Lorenz 模 型 的 状 态 变量 的 时 域 响 应t-20-1001020-20-1001020050 xLorenz模 型 相图yz-15-10-50510150204060Lorenz模 型 X-Z 相 图xzxyza=282.Lorenz 吸引子当 a28 时，系统已经完全进入混沌状态，此时出现双涡旋吸引子，如下所示：-20020-20020050 xLorenz 方 程 吸 引 子 相 图yz-20020-20-1001020Lor
13、enz 方 程 X-Y平 面 吸 引 子 相 图xy-200200204060Lorenz 方 程 X-Z平 面 吸 引 子 相 图xz-200200204060Lorenz 方 程 Y-Z平 面 吸 引 子 相 图yz3.倍周期：通过系数的调试可以得到Lorenz 混沌的一个单倍周期和两个多倍周期，如下：-10010-20020050 xyz-10010-20-1001020 xy-100101020304050 xz-200201020304050yz-20020-2002002040 xyz-20-10010-20-1001020 xy-20-10010010203040 xz-2002
14、0010203040yz-20020-200200204060 xyz-20-10010-15-10-5051015xy-20-1001001020304050 xz-20-100102001020304050yz4.初值敏感性：保持初值x0 和 y0 不变，即x0y01，改变 z0 为 1.001，千分之一的变化会引起系统行为的显著改变，如下图所示：-100102001020304050Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz-20-100101020304050Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz-10010200102030
15、4050Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长 时 间 后)xz-20-1001001020304050Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长 时 间 后)xz四Rossler 混沌系统Rossler 系统是化学反应系统的简化模型，是非线性动力学中非常著名的方程，该混沌系统模型可以用下列微分方程组描述)(axzcdtdzxbydtdyzydtdx同样地，利用MATLAB编程求解（程序见附录），可以对该模型进行分析。1.逐步改变参数，观察其进入混沌状态。050100150200-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.04x(红),y(绿),z(蓝)随t
16、变化情况t-0.0500.05-0.1-0.05000.020.04xRossler 方程相图yza=0050100150200-8-6-4-20246810 x(红),y(绿),z(蓝)随t变化情 况t-10010-100100123xRossler 方 程相图yza=0.07050100150200-10-5051015x(红),y(绿),z(蓝)随t 变化情况t-20020-10010051015xRossler 方程相图yza=0.15050100150200-20-10010203040 x(红),y(绿),z(蓝)随t变化情况t-20020-20020010203040 xRoss
17、ler 方程相图yza=0.25050100150200-20020406080100 x(红),y(绿),z(蓝)随t 变 化情况t-20020-20020050100 xRossler 方程 相图yza=0.382.Rossler 吸引子：-2 0020-2002002040 xRossler 方 程 吸 引 子 相 图yz-1001020-20-10010Rossler 方 程 X-Y平 面 吸 引 子 相 图xy-1001001020Rossler 方 程 X-Z平 面 吸 引 子 相 图xz-1001001020Rossler 方 程 Y-Z平 面 吸 引 子 相 图yz3.倍周期：
18、通过调整参数和初始值，可以得到单倍周期和2 倍周期，如下图：-101-202012xyz-101-1.5-1-0.500.5xy-10100.511.5xz-2-10100.511.5yz-10010-1001005xyz-50510-10-505xy-505100246xz-10-5050246yz初值敏感性：-10010-100100510 xRossler 方 程 相 图yz-20020-200200102030 xRossler 方 程 相 图yz五蔡氏电路混沌系统1983 年美国电学专家蔡少棠(L.O.Chua)首次提出了著名的蔡氏电路(Chua s circuit),它是混沌发展史
19、上的一个重要里程碑.它使人们从被动的研究混沌现象向主动的设计和控制混沌迈出了关键的一步.蔡氏电路是目前众多混沌电路中最具典型代表性的一种。对于单涡旋的变形蔡氏电路的微分方程组为：.312.()xyk xk xyxyxzzy当5.5，7.4，1k0.25，2k0.1 时出现混沌状态，如图所示：05101520253035404550-0.500.511.52Chua 电 路 方 程的 状 态 变 量 的 时 域 响 应txyz012-0.500.5012xChua 电 路 方 程 吸 引 子 相 图yz0.511.52-0.200.20.40.6Chua 电 路 方 程 X-Y平 面 吸 引 子
20、 相 图xy0.511.5200.511.5Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 吸 引 子 相 图xz-0.500.500.511.5Chua 电 路 方 程 Y-Z 平 面 吸 引 子 相 图yz其初值敏感性如下所示：1.58111.58111.58111.5811111111Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz1.58111.58111.58111.581111111Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz1.58111.58111.58111.5811111111Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长
21、 时 间 后)xz1.58111.58121.58120.999911.0001Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长 时 间 后)xz对于多涡旋的情况，例如可以用多项式3axbx xcx产生三涡卷蔡氏混沌吸引子，其无量纲归一化状态方程可以写为：.()xyh xyxyzzy其中3()h xaxbx xcx，参数12.8，19.1，实验中固定b 1.1，c0.45。1.改变参数a，观察该电路模型的进入混沌状态的过程020406080100-505x(红),y(绿),z(蓝)随 t变 化 情 况t0.511.522.5-0.500.5-4-20 xChua 电 路 方 程 相 图y
22、z0.511.522.5-4-20Chua 电 路 方 程 X-Z相 图xza=0.3020406080100-505x(红),y(绿),z(蓝)随 t变 化 情 况t-2-10123-0.4-0.200.20.4-505xChua 电 路 方 程 相 图yz-2-1.5-1-0.500.511.522.5-505Chua 电 路 方 程 X-Z相 图xza=0.52020406080100-505x(红),y(绿),z(蓝)随 t变 化 情 况t-2-1012-0.4-0.200.20.4-505xChua 电 路 方 程 相 图yz-2-1.5-1-0.500.511.52-505Chua
23、 电 路 方 程 X-Z相 图xza=0.60020406080100-505x(红),y(绿),z(蓝)随 t 变 化 情况t-2-1012-0.4-0.200.20.4-505xChua 电 路 方程 相 图yz-2-1.5-1-0.500.511.52-505Chua 电 路方 程 X-Z 相 图xza=0.66020406080100-20020 x(红),y(绿),z(蓝)随 t变 化 情 况t-4-2024-4-2024-20020 xChua 电 路 方 程 相 图yz-3-2-10123-20020Chua 电 路 方 程 X-Z相 图xza=0.72当 a0.6 时，呈现三涡
24、旋吸引子如下：-202-0.500.5-505xChua 电 路 方 程 吸 引 子 相 图yz-202-0.4-0.200.20.4Chua 电 路 方 程 X-Y平 面 吸 引 子 相 图xy-202-4-2024Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 吸 引 子 相 图xz-0.500.5-4-2024Chua 电 路 方 程 Y-Z平 面 吸 引 子 相 图yz其初值敏感性：1.41.51.61.71.81.9-2.5-2-1.5-1Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz-1.75-1.7-1.65-1.6-1.55-1.51.41.61.82Chua
25、 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 短 时 间 后)xz-2-101-2-10123Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长 时 间 后)xz-2-101-2-10123Chua 电 路 方 程 X-Z平 面 相 图(较 长 时 间 后)xz六Duffing 方程杜芬（Duffing）方程指的是非线性振子的间谐受迫振动方程：232cos()d xdxbxxactdtdt该写为自洽的微分方程组为：3c o s()dxydtdyactbyxxdt选取参数a2.09，b 0.1，c0.5，可以得到该混沌模型的相图：-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-3-2
26、-10123Duffing方 程 相 轨 迹图xy七Logistic方程Logistic 方程是离散映射方程：)1(1nnnxaxx，n=0,1,2,;其相图如下：05001000150000.10.20.30.40.50.60.70.80.91logistic 相 图nx(n)a=2,稳 态05001000150000.10.20.30.40.50.60.70.80.91logistic 相 图nx(n)a=3.8,混 沌其分岔图如下：2.62.833.23.43.63.8400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Logistic 分 岔 图八Henon 方程nnnnnxy
27、byaxx1211其中，n=0,1,2,;a=1.28,b=0.3.其相图如下：-2-1012-2-1.5-1-0.500.511.52a=1.28b=-0.30Henon 相 图九总结与感想在这次科技制作中，我主要的工作是对在已有的混沌系统方程基础上，利用MATLAB进行编程，模拟混沌系统。由于混沌对初值和参数的依赖性很大，所以我尽可能地通过网上或者书籍寻找这些参数，减少调试时间；当然，这样不能很好地探究整个混沌系统的特性，只能停留在理论的层面上。因此，在接下来的工作里，一方面继续学习混沌理论（如吸引子，倍周期，Lyapunov exponent 等），加深对混沌的认识；另一方面，着手混沌应用，如混沌同步控制和图像加密通信。参考书：1.The Essence of Chaos（混沌的本质）E.N.洛仑兹，气象出版社，北京1997 2.精通 MATLAB 7 王正林刘 明，电子工业出版社，北京2007