《数率概论与数理统计课后答案(第四版)高等教育出版社浙江大学盛骤.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数率概论与数理统计课后答案(第四版)高等教育出版社浙江大学盛骤.pdf（50页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版）第一章概率的基本概念习题解析第 1、2 题 随机试验、样本空间、随机事件-1写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解（1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，,，100，n 个人分数这和的可能取值为0，1，2，,，100n，
2、平均分数的可能取值为0 1 100,.,n n n n 则样本空间为S=0,1,2,100 k k n n.=.（2）样本空间S=10，11，,，S 中含有可数无限多个样本点。（3）设 1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为S=（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。（4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为S=(x,y)x
3、2+y2 1-2设 A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生；（2）A 与 B 都发生，而C 不发生；（3）A，B，C 中至少有一个发生；（4）A，B，C 都发生；（5）A，B，C 都不发生；（6）A，B，C 中不多于一个发生；（7）A，B，C 中不多于两个发生；（8）A，B，C 中至少有两个发生。解 此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的联合运算。（1）ABC。（2）ABC 或 AB C。（3）A B C。（4）ABC。（5）ABC。（6）A，B，C 中不多于一个发生
4、为仅有一个发生或都不发生，即A BC ABC ABC ABC，A，B，C 中不多于一个发生，也表明A,B,C 中至少有两个发生，即AB BC AC ABC。（7）A，B，C 中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 而 ABC 表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=A B C。（8）A，B，C 中至少有两个发生为A，B，C 中仅有两个发生或都发生，即为ABC ABC ABC ABC 也可以表示为AB BC AC。第 3.（1）、6、8、9、10 题 概率的定义、概率的性质、古
5、典概型-3（1）设 A，B，C 是三件，且1 1()()(),()()0,(),4 8 P A=P B=P C=P AB=P BC=P AC=求 A，B，C 至少有一个生的概率。解 利用概率的加法公式3 1 5()()()()()()()()4 8 8 P A B C=P A+P A+P C-P AB-P BC-P AC+P ABC=-=其中由 P(AB)=P(BC)=0,而 ABC AB 得 P(ABC)=0。-6在房间里有10 个人，分别佩戴从1 号到 10 号的纪念章，任选3 人记录其纪念章的号码。求（1）最小号码为5 的概率；（2）最大号码为5 的概率。解 利用组合法计数基本事件数。从
6、10 人中任取3 人组合数为3 10 C，即样本空间S=3 10 C=120个基本事件。（1）令事件A=最小号码为5。最小号码为5，意味着其余号码是从6，7，8，9，10 的 5 个号码中取出的，有2 5 C 种取法，故A=2 5 C=10个基本事件，所求概率为2 5 3 10 5!2!3!10 1()10!120 12 3!7!C P A C=（2）令事件 B=最大号码为5，最大号码为5，其余两个号码是从1，2，3，4 的 4 个号码中取出的，有2 4 C 种取法，即B=2 4 C 个基本事件，则2 4 3 10 4!2!2!6 1()10!120 20 3!7!C P B C=-8在 1
7、500 个产品中有400 个次品，1 100 个正品。从中任取200 个。求（1）恰有 90 个次品的概率；（2）至少有2 个次品的概率。解（1）利用组合法计数基本事件数。令事件A=恰有 90 个次品，则90 110 400 1100 200 1500()C C P A C=（2）利用概率的性质。令事件B=至少有 2 个次品，Ai=恰有 i 个次品，则2 3 200 B=A A A,AiAi=.(i 1 j)所求概率为200 2 3 200 2()(,()i i P B P A A A P A=.）=显然，这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。令事件B=恰有 0 个次品或恰有1 个次品，即
8、0 1 B=A A，而200 1 199 1100 400 1100 0 1 0 1 200 200 1500 1500()()()()C C C P B P A A P A P A C C=+=+故200 1 199 1100 400 1100 200 200 1500 1500()1()1 C C C P B P B C C=-=-9从 5 双不同的鞋子中任取4 只，问这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解 令事件 A=4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。用 3 种方法求P（A）。A 的对立事件A=4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双，从 5 又鞋中任取4 只，即从 10 只鞋
9、中任取4 只，所有可能组合数为4 10 C，样本空间S=4 10 C 个基本事件，现考虑有利于 A 的基本事件数。从5 双鞋中任取4 双，再从每双中任取一只，有4 4 C5 2 种取法，即A=4 4 5 C 2 个基本事件，则4 4 4 5 4 10 2 5 2 13()1()1 1 210 21 C P A P A C=-=-=-=4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为4 10 A，即样本空间S=4 10 A 个基本事件。现考虑有利于A 的基本事件，从10 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，从其余8 只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取，依此类推，则A=10 864 个基
10、本事件。于是4 10 10 8 6 4 10 8 6 4 8 13()1()1 1 1 10 9 8 7 21 21 P A P A A=-=-=-=-=利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A 的基本事件数，任取的4 只鞋配成一双的取法有1 2 2 2 5 2 4 C C C 2 种，能配成两双的取法有2 2 5 2 C C 种，于是A=（1 2 2 2 5 2 4 C C C 2+2 2 5 2 C C）个基本事件，则1 2 2 2 2 2 5 2 4 5 2 4 10 2 130 13()210 21 C C C C C P A C=+=此题的第 1 种方法和第2 种方法是利用概率性质
11、：P(A)+P(A)=1 首先求 P(A)，然后求P(A)。第 3 种方法是直接求P(A)。读者还可以用更多方法求P(A)。-10在 11 张卡片上分别写上Probability 这 11 个字母，从中任意连抽7 张，求其排列结果为ability 的概率。解 令事件 A=排列结果为ability，利用排列法计数基本事件数。不放回的从中一次抽1 张的连抽 7 张，要排成单词，因此用排列法。样本空间=7 11 A 个基本事件。排列结果为 ability，实际收入字母b 的卡片有两张，写字母i 的卡片有两张，取b 有 1 2 C 种取法，取 i 有 1 2 C 种取法，其余字母都只有1 种取法，故1
12、 1 A=C2C2个基本事件，于是1 1 2 2 7 11 4()0 0000024 11 10 9 8 7 6 5 C C P A A=这是个小概率事件。第 14.（2）、15、19、18 题 条件概率、概率的加法公式和乘法公式-14（2）已知1 1 1()(),(),()4 3 2 P A=，P B A=P A B=求 P A B。解 利用概率加法公式和概率乘法公式。P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)解此题的关键是求P(B)和 P(AB)。由概率乘法公式，得1 1 1()()()4 3 12 P AB=P A P B A=又 P(AB)=P(B)P(A B)，解得()1 1()1
13、2()1 6 2 P AB P B P A B=于是所求概率为1 1 1 1()4 6 12 3 P A B=+-=此题的关键是利用P(A)P(B A)=P(B)P(A B)，求出 P(AB)和 P(B)，再求P(A B)就迎刃而解了。-15掷两颗骰子，已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1 点的概率（用两种方法）。解 令事件 A=两颗骰子点数之和为7，B=有一颗为 1 点。此题是求条件概率P(B A)。两种方法如下：考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6 个，即样本空间S=62 个基本事件。事件 AB=两颗骰子点数之间和为7，且有一颗为1 点，两颗骰子点数之和
14、为7 的可能结果为6 个，即A=（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3）而 AB=（1，6），（6，1）。由条件概率公式，得()2 2 1()36()6 6 3 36 P AB P B A P A=已知事件A 发生后，将A 作为样本空间，其中有两个结果（1，6）和（6，1）只有一颗骰子出现1 点，则在缩减的样本空间中求事件B 发生的条件概率为2 1()6 3 P B A=-18某人忘记了电话号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解 利用概率性质(有限可加性)和概率乘法公式。令事件 A
15、i=第 i 次拨通电话，“到第 i 次拨通电话”这个事件为1 2 i 1 i A A A A-.（i=1，2，3）。事件 B=不超过三次而拨通电话，则B=1 1 2 1 2 3 A A A A A A 该事件表示第一次拨通电话，或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话），或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 1 3 1 2()()()()()()()()()()()1 9 1 9 8 1 3 10 10 9 10 9 8 10 P B P A
16、A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A A P A P A A P A A A=+=+=+=拨号是从 0，1，2，,，9 的 10 个数字中任取一个，有10 种取法，第一次拨通的概率是1 10；第一次未拨通的概率为9 10，第二次拨号时，是从其余9 个数字中任取一个，所以拨通的概率为1 9，到第二次拨通的概率为9 1 1 10 9 10 =，依此类推，到第n 次拨通电话的概率都是1 10，与顺序无关。已知最后一个数字是奇数时，令事件C=拨号不超过三次而接通电话。拨号是从1，3，5，7，9 的五个数字中任取一个，有5 种取法，第一次拨通的概率为1 5，到第
17、二次拨通的概率为4 1 1 5 4 5 =，到第三次拨通的概率为4 3 1 1 5 4 3 5 =，与上述分析方法和用的概率公式相同，所以1 4 1 4 3 1 3()5 5 4 5 4 3 5 P C=+=第 21、22、35、38 题 全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性-21已知男人中有0 0 5 是色盲患者，女人中有0 0 0.25 是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 令事件 A=随机地选一人是女性，对立事件A=随机地选一人是男性。因为人群中男女人数相等，所以1()()2 P A=P A=，且 A，A 是样本空间的一个划分。
18、事件C=随机地挑选一人恰好是色盲。已知0.25 5(),()100 100 P C A=P C A=由全概率公式，得()()()()()1 0.25 1 5 0.02625 2 100 2 100 P C=P A P C A+P A P C A=+=由贝叶斯公式，得1 5()()()2 100()0.9524()()0.02625 P AC P A P C A P A C P C P C=-22一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2 p。（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（
19、2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解 令事件 Ai=一学生第 i 次考试及格（i=1，2），已知1 1 2 1 2 1(),()1,()()2 P P A=P P A=-P P A A P A A=（1）由概率加法公式，得1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1()()()()()()()()P A A P A P A P A A P A P A P A P A A=+-=+-利用对立事件求概率1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2()1()1()1()()1()1()3 1 1(1)(1)2 2 2 P A A P A A P A A P A P A A P A
20、 P A A P P P P=-=-=-=-=-=-显然用后者求解简单。（2）利用条件概率公式。1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2()()()()()()2(1)1 2 P A A P A P A A P A A P A P A P P P P P P=+-+-35如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关联联接，它们每个具有0.96 的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率），是多少？如果需要有一个可靠性至少
21、为0.9999 的系统,则至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。解 利用事件的独立性。令事件i A=第 i 只开关闭合。已知 1 2 P(A)=P(A)=0.96。令事件B=电路闭合。两只开关并联联接，则1 2 B=A A，即至少有一只开关闭合，电路就闭合。而1 2 A 与A 相互独立，所以电路闭合的概率为1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2()()()()()()()()()0.96 0.96(0.96)0.9984 P B P A A P A P A P A A P A P A P A P A=+-=+-=+-=这种解题思路是读者容易想到的.另一种解法是利用对立事件
22、,计算此较简单.1 2 1 2 1 2 1 2 2()()1()1()1()()1 0.04 0.9984 P B P A A P A A P A A P A P A=-=-=-=-=设需要n 只开关并联,才保证系统可靠性为0.9999。令事件i A=第 i 只开关闭合（i=1，2，,，n）。令事件 C=电路闭合，则 1 2 n C=A A.A。如果用概率加法公式表示P=(C)将是相当麻烦的，不妨表示为1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3()()()()()(1)()0.96(0.96)(0.96)(1)(0.96)n n n n n i i j i j K i i i j n i
23、j k n i n n n P C P A A A P A P A A P A A A P A n C C-=-+-=-+-.已知 P(C)=0.9999，解 n 实际上是很难办到的。如果用对立事件表示P(C)，显然比较简单，即1 2 1 2 1 2()1()1()1()()()1(0.04)n n n n P C P A A A P A A A P A P A P A=-=-=-=-.已 知 1-0.04n 3 0.9999，即 1-0.04n 0.0001，两边取以e 为底的对数，得1(0.04)1(0.0001)n n n ，则1(0.0001)9.2103 2.86 1(0.04)3.
24、2189 n n n 3=-.-故至少需要3 只开关并联联接。此题表明对立事件及德莫根律对解决实际问题有多么重要。-36三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 5,1 3,1 4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解 令事件Ai=第 i 人能译出密码（i=1，2，3），且 1 1()5 P A=，2 1()3 P A=，3 1()4 P A=，B=三人中至少有一人能译出密码与事件“密码被译出”是相等事件。又1 2 3 A,A A 相互独立。利用概率的加法公式和事件的独立性。1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3()()()()()()()()()
25、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.6 5 3 4 5 3 5 4 3 4 5 3 4 P B P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A=+-+=+-+=利用对立事件和事件的独立性。1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3()()1()1()1()()()1 1 1 3 1(1)(1)(1)0.6 5 3 4 5 P B P A A A P A A A P A A A P A P A P A=-=-=-=-=-38袋中装m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷 r 次，已知每次都
26、得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解 令事件 A=任取一只硬币是正品,对立事件A=任取一只硬币是次品,且(),()m n P A P A m n m n=+，B=把硬币投掷r 次，每次都得到国徽面，令事件i B=把硬币投掷i 次，有 i 次得到国徽（i=1，2，,，r）。如果硬币是正品，则投掷一次出现任何一面的概率都是1 2；如果硬币是次品，则投掷一次出现国徽面的概率是1。于是1 1 1 2 2 2()()()()()1 1 2()()()()()1 1 1 1 2 2 1()1 2 i i i P B P A P B A P A P B A m n m n m n P B P A P
27、B A P A P B A m n m n m n m n P B m n m n=+=+=+=+=+.则1()()1 2 1 2 r r r r m n P B P B m n m n m n m n m n=+=+所求概率为()()()()()()1 2 1 2 2 r r r P AB P A P B A P A B P A P B m m n m m n m n m n m n=+=+第二章随机变量及其分布习题解析第 2.（1）、3、6、7、12、17 题 离散型随机变量的分布律-2（1）一袋中装有5 只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3 只，以X 表示取出的 3 只球中的最
28、大号码，现实性出随机变量X 的分布律。解 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，求取各个值的概率用古典概型。2 2 3 5 2 3 3 5 2 4 3 5 1 1 3 5!10 3!2!3!2!1!3 4 5!10 3!2!4!2!2!3 5 5!5 3!2!C P X C C P X C C P X C=则随机变量X 的分布律为X 3 4 5 k P 1 10 3 10 3 5 如果用概率函数表示，则为2 1 3 5 k C P X k C=-(k=3,4,5)-3设在 15 只同类型的零件中有2 只是次品，在其中取 3 次，每次任取1 只，作不放回抽样。以 X 表示取出的次品的只数。（1
29、）求 X 的分布律；（2）画出分布律的图型。解 随机变量X 的所有可能值为0，1，2，求取各个值的概率用古典概型。（1）X 取各个值的概率分别为0 3 2 13 3 15 1 2 2 13 3 15 2 1 2 13 3 15 13!3!10!22 0 15!35 3!12!13!2 12 1 2!11!15!35 3!12!13 1 2 15!35 3!12!C C P X C C C P X C C C P X C=则 X 的分布律为X 0 1 2 k P 22 35 12 35 1 35 因为 k 1 P=,所以只要求出PX=0,PX=1 则 PX=2=1-PX=0-PX=1。X 的分布
30、律用概率函数表示为3 2 13 3 15 CkC k P X k C-=(k=0,1,2)-6一大楼装有5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3 个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3 个设备被使用的概率是多少？（4）至多有1 个设备被使用的概率是多少？解 5 个同类型的供水设备，在任一时刻是否被使用相互独立，而在同一时刻被使用的个数 X 服从二项分布b（5，0，1），故用二项分布求解X 取各个值，或在某个范围内取值的概率。（1）因为 X 服从二项分布b（5，0，1），分布律为 (0.1)
31、k(0.9)5 k k P X=k=C-（k=0，1，2，3，4，5）于是2 2 5 2 5 PX=2=C(0.1)(0.9)-=10 0.010.729=0.0729（2）5 5 5 3 3 3 5 3 4 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5 3(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.5)(0.9)10 0.001 0.81 5 0.0001 0.9 0.00001 0.00856 k k k k P X C C C C-=-3=+=+=（3）3 5 5 0 0 0 5 1 4 2 2 3 3 3 2 5 5 5 5 3(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(
32、0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.59049 032805 0.0729 0.0081 0.99954 k k k k P X C C C C C-=+=+=或用对立事件求解。5 5 5 4 4 4 5 5 5 0 5 5 4 5 3 1 3 1 4 1(0.1)(0.9)1 (0.1)(0.9)(0.1)(0.9)1 5 0.1 0.9 0.1 1 0.00045 0.0001 0.99954 k k k k P X P X P X C C C-=-=-3=-=-+=-+=-+=.后者计算比前者简单。（4）5 5 5 1 1 k(0.1)k(0.9)k k P X
33、 C-=3=，显然计算过程比较麻烦，但用对立事件求解相当简单。0 0 5 5 5 1 1 1 1 0 1(0.1)(0.9)1 0.9 1 0.59049 0.40951 P X P X P X C 3=-=3=-=-17（1）设 X 服从（0-1）分布，其分布律为PX=k=Pk(1-P)1-K,k=0，1，求 X 的分布函数，并作出其图形；（2）求第 1 题中的随机变量的分布函数。解（1）X 的分布函数为()(1)1 0,1 1,k K k x F x P X x P P P-=-.=-.0 0 1 x x x 3.（2）第 1 题中随机变量X 的分布律为X 3 4 5 k P 1 10 3
34、 10 3 5 X 的分布函数为F(x)=PX x，求法如下。当 x.3 时，则F(x)=PX x=0 当 3 x.4 时，则F(x)=PX x=PX=3=0.1 当 4 x.5 时，则F(x)=PX x=PX=3+PX=4=0.1+0.3=0.4 当 x 3 5 时，则F(x)=PX x=PX=3+PX=4+PX=5=1 综合表示为0,1,10()1 3 4,10 10 10 1 3 3 1,10 10 5 F x.=.+=.+=.3 3 4 4 5 5 x x x x 3.第 19、21、27、34、35、36 题 随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度-19以 X 表示某商店从早晨
35、开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X 的分布函数是1 0.4,()0,e x Fx x.-=.0 0 x x.求下述概率：（1）P至多 3 分钟；（2）P至少 4 分钟；（3）P3 分钟至 4 分钟之间；（4）P至多 3 分钟或至少 4 分钟；（5）P恰好 2.5 分钟。解（1）3(3)1 0.4 3 1 1.2 0.6988 x P X =P=-e-=-e-=（2）4 1 4 1(4)0.4 4 0.2019 X P X 3=-P X.=-F=e-=（3）0.4 4 0.4 3 3 4 4 3(4)(3)1(1)0.0993 X X P X P X P X F F e-e-=
36、-=-=-=（4）3 4 1 0.4 3(1 0.4 4)0.6988 0.2019 0.9007 P X +P X 3=-e-+-e-=+=（5）PX=0.25=0。-21设随机变量X 的概率密度为（1）2(1 1 2),()0,x f x.-=.1 x 2 其它（2）,()2,0,x f x x.=-.0 1 1 2 x x 其它求 X 的分布函数F(x)，并画出（2）中的 f(x)及 F(x)的图形。解（1）当 x 1 时，F（x）=0；当 1 x 2 时，则1 1 2 1 2 1 1()()0 2(1)1 1 2(1)2()2 2 4 x x x x F x f t dt dt dt
37、t dt t t t x x-￥-￥=+-=-=+=+-当 x 3 2 时，F（x）=1。综合表示为0,2()2 4,1,F x x x.=+-.1 1 2 2 x x x 3（2）当 x 0 时，F（x）=0；当 0 x 1 时，则0 2 0 1()()0 2 x x F x f t dt dt tdt x-￥-￥=+=当 1 x 2 时，则0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 2()()0(2)1 1(2)(2)2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x x F x f t dt dt tdt t dt tdt t dt t t x x x x-￥-￥=+-=+-
38、=+-=+-+=-+-当 x 3 2 时，F（x）=1。综合表示为2 2 0,1,()2 1 2 1 2 1,x F x x x.=.-+-.0 0 1 1 2 2 x x x x 3-27某地区 18 岁女青年的血压（收缩压，以mmHg 计）服从 N（110，122）。在该地区任选一 18 岁的女青年，测量她的血压X。（1）求 PX 105,P100 x 0.05。解 设女青年的血压为X，则 X N(110,122)，由此得110(0,1)12 X N-（1）110 105 110 105 12 12 5 5()1()12 12 1(0.4167)1 0.6628 0.3372 X P X
39、P =-=F-=-F=-F=-=100 110 110 120 110 100 120 12 12 12 5 110 5()6 12 6 5 5 5()()2()1 6 6 6 2(0.833)1 2 0.7967 1 0.5934 X P X P X P =-=-x 0.05，用对立事件得1 0.05,0.95 110 110 0.95 12 12 P X x P X x X x P-3-3 查表得110 1.645 12 x-3，解出 129.74 x 3，则 x 的最小值为129.74。第 33、题随机变量的函数分布-33设随机变量X 的分布律为X-2-1 0 1 3 k P 1 5 1
40、 6 1 5 1 15 11 30 求 Y=X 2的分布律。解 Y=X 2的所有可能取值为0，1，4，9，取各个值的概率分别为2 2 2 2 1 0 0 0 5 1 1 1 1 1 1 7 6 15 30 4 4 2 1 1 2 5 9 9 3 3 11 3 30 P Y P X P X P Y P X P X P X P Y P X P X P X P X P Y P X P X P X P X=-+=+=-+=-=-+=于是 Y 的分布律为Y 0 1 4 9 k P 1 5 7 30 1 5 11 30 此题 Y 与 X 不一一对应，X 取值为-1，1 对应 Y 取值为 1，这时 PY=1
41、 等于PX=-1与 PX=1之和。用表格表示Y 在的分布律时，通常Y 取值从小到大排序，看起来比较整齐。-34 设随机变量X 在（0，1）上服人均匀分布。（1）求 Y=eX 的概率密度；（2）求 Y=-21nX 的概率密度。解 X 的概率密度为1,()0,X f x.0 x 1 其它首先求 Y 的分布函数，然后求 Y 的概率密度。（1）设()Y F y 为 Y 的分布函数，()Y F y 为Y 的概率密度。当 y 1 时，()Y F y=0；当 1 y e 时，则1 0()1 1 X ny Y F y=P Y y=e y=P X ny=dx=ny 当 y 3 e 时，()Y F y=1。综合表
42、示为0,()ln,1,Y F y y.=.1 1 y y e y e 3 于是 Y 的概率密度为1(),()0,Y Y dF y f y y dy.=.1 y e 其它（2）当 y.0 时，()Y F y=0；当 y 3 0 时，则2 2 1 2()21 y 1 Y y y e F y P Y y P nX y P X e dx e=-=3=-综合表示为2 0,()1 Y y F y e-.=.-0 0 y y 由此可见，Y 服从参数为1 2 的指数分布。直接求 Y 的概率密度()Y F y。（1）因为 Y=eX 对应的函数y=ex是严格单调增加函数，可以应用教材中的定理求解。y=ex的反函数
43、为x=1ny，又dx 1 dy y=，当 1 y e时，则1()(1)Y X dx f y f ny dy y=综合表示为1,()0,Y f y y.=.1 y e 其它随机变量 Y的取值范围根据X 的取值范围（0 x 1）和函数y=ex 来确定。当a y -35设 XN（0，1）。（1）求 Y=eX 的概率密度；（2）求 Y=2X 2+1的概率密度；（3）Y=X 的概率密度。解 X 的概率密度为2 2 1()2 x Y f y e p-=(-￥x （2）当 y 1 时，()Y F y=0；当 y.1 时，则2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 0 2()2 1 1 1 2 2 1 1
44、2 2 2 Y y x y x y F y P Y y P X y y y P X P X e dx e dx p p-=+=-=-=于是 Y 的概率密度为1 4 1(),()2(1)0,y Y Y dF y e f y y dy p-.=-.1 1 y y （3）当 y.0 时，()0 Y F y=；当 y 3 0 时，则2 2 2 2 0()1 1 2 2 2 Y x x y y y F y P Y y P X y e dx e dx p p-=于是 Y 的概率密度为2 2 2(),()0,y Y Y dF y e f y dy p-.=.0 0 y y 直接求 Y 的概率密度()Y f
45、y。（1）Y=eX 对应的函数y=ex 是严格单调增加函数，其反函数为x=1ny，又dx 1 dy y=，则Y 的概率密度为(1)2 2 1,()2 0,ny Y e f y p y-.=.0 0 y y （2）Y=2X 2+1对应的函数y=2x2+1是非单调函数，分成两个单调区间，当x.0时，则1 2 y x=-，当 x 3 0 时，1 2 y x=-。于是当y 1 时，有1 1 4 4 1 4 1 1()()()2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2(1)Y X X y y y y y dx f y f f dy e e y e y p p p-=-+-=+-=-当 y 1 时，()Y f y=0。综合表示为1 4 1,()2(1)0,y