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1、一、主要内容一、主要内容（二）向量及其运算（二）向量及其运算（三）空间的线、面方程（三）空间的线、面方程（一）二阶、三阶行列式一）二阶、三阶行列式二二 阶阶行列式行列式三三 阶阶行列式行列式Cramer法则解方程组法则解方程组简单行列式简单行列式（一）数域与简单行列式（一）数域与简单行列式数域简介数域简介数域与2阶、3阶行列式一、一、数域数域数数数数与数集的约定与数集的约定与数集的约定与数集的约定用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组二、二、二阶行列式二阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二
2、列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1-21-2即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.三、三、三阶行列式三阶行列式定义定义定义定义1-31-3记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算 列列标标行标行标(2)(2)(2)(2)
3、对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线红线上三元素的乘积冠以正号，上三元素的乘积冠以正号，蓝线蓝线上三上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方
4、程组的解为则三元线性方程组的解为:向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（二）向量及其运算（二）向量及其运算仿射坐标系与直角坐标系仿射坐标系与直角坐标系1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、相等向量、相等向量、负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、(1)加法：加法：2 2、向量的线性运算、向量的线性运算(2)减法：减法：(3)向量与数的乘法：向量与数的乘
5、法：向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式/6 6、混合积、混合积平平 面面点法
6、式点法式一般式一般式截距式截距式空间直角坐标系空间直角坐标系（三）空间的线、面方程（三）空间的线、面方程直直 线线参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程三点式三点式横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:4 4、平面、平面1 平面的点法式方程平面的点法式方程2 平面的一般方程平面的一般方程3 平面的截距式方平面的截距式方程程4 平面的夹角平面的夹角5 两平
7、面位置特征：两平面位置特征：/5 5、空间直线、空间直线1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程直线直线直线直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：/6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式7 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系/二、典型例题二、典型例题例例例例2 2 2 2解解例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:例例5 5解解由题设条件得由题设条件得解得解得例例6 6解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为由题设知由题设知由此解得由此解得代回平面束方程为代回平面束方程为例例7 7解解将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为即有即有例例8 8解解所求投影直线方程为所求投影直线方程为例例9 9解解由于高度不变由于高度不变,故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为测测 验验 题题 测验题答案测验题答案