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1、第 1 页（共 24 页）2018 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。出符合题目要求的一项。1 （5.00 分）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（ ）A0，1 B1，0，1 C2，0，1，2D1，0，1，22 （5.00 分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3 （5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）ABCD4
2、（5.00 分） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（ ）AfBfCfDf第 2 页（共 24 页）5 （5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A1B2C3D46 （5.00 分）设 ， 均为单位向量，则“| 3 |=|3 + |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要
3、条件7 （5.00 分）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线 xmy2=0的距离当 、m 变化时，d 的最大值为（ ）A1B2C3D48 （5.00 分）设集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，则（ ）A对任意实数 a， （2，1）AB对任意实数 a， （2，1）AC当且仅当 a0 时， （2，1）AD当且仅当 a时， （2，1）A二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。9 （5.00 分）设an是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为 10 （5.00 分）在极坐标系中，直线 cos+
4、sin=a（a0）与圆 =2cos 相切，则 a= 11 （5.00 分）设函数 f（x）=cos（x） （0） ，若 f（x）f（）对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为 第 3 页（共 24 页）12 （5.00 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 13 （5.00 分）能说明“若 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 14 （5.00 分）已知椭圆 M：+=1（ab0） ，双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为
5、 ；双曲线 N 的离心率为 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 （13.00 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求 AC 边上的高16 （14.00 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交17 （12.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，
6、经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值第 4 页（共 24 页）假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k=1”表示第 k 类电影得到人们喜欢 “k=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3
7、，4，5，6） 写出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系18 （13.00 分）设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围19 （14.00 分）已知抛物线 C：y2=2px 经过点 P（1，2） ，过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，=，=，求证：+为定值20 （14.00 分）设 n 为
8、正整数，集合 A=|=（t1，t2，tn） ，tk0，1，k=1，2，n，对于集合 A 中的任意元素 =（x1，x2，xn）和=（y1，y2，yn） ，记M（，）=（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）当 n=3 时，若 =（1，1，0） ，=（0，1，1） ，求 M（，）和M（，）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当， 相同时，M（，）是奇数；当 ， 不同时，M（，）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素
9、 ，M（，）=0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明第 5 页（共 24 页）理由第 6 页（共 24 页）2018 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。出符合题目要求的一项。1 （5.00 分）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（ ）A0，1 B1，0，1 C2，0，1，2D1，0，1，2【分析】根据集合的基本运算进行计算即可【解答】解：A=x
10、|x|2=x|2x2，B=2，0，1，2，则 AB=0，1，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键比较基础2 （5.00 分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可【解答】解：复数=，共轭复数对应点的坐标（，）在第四象限故选：D【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查3 （5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）第 7 页（共 24 页）ABCD【分析】直接利用程序框图的应用求出结果【解答】解：执行循环前：k=1
11、，S=1在执行第一次循环时，S=1=由于 k=23，所以执行下一次循环S=，k=3，直接输出 S=，故选：B【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用4 （5.00 分） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（ ）AfBfCfDf第 8 页（共 24 页）【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一
12、个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为：=故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力5 （5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A1B2C3D4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA底面 ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形 PCD 不是直角三角形所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为：PAB，PBC，PAD故选：C第 9 页（共 24 页）【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查6 （5
13、.00 分）设 ， 均为单位向量，则“| 3 |=|3 + |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可【解答】解：“| 3 |=|3 + |”平方得|2+9| |26 =9|2+| |2+6 ，即 1+96 =9+1+6 ，即 12 =0，则 =0，即 ，则“| 3 |=|3 + |”是“ ”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键7 （5.00 分）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到
14、直线 xmy2=0的距离当 、m 变化时，d 的最大值为（ ）A1B2C3D4【分析】由题意 d=，当 sin（+）第 10 页（共 24 页）=1 时，dmax=1+3由此能求出 d 的最大值【解答】解：由题意d=，tan=，当 sin（+）=1 时，dmax=1+3d 的最大值为 3故选：C【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8 （5.00 分）设集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，则（ ）A对任意实数 a， （2，1）AB对任意实数 a， （2，1）AC当且仅当 a0
15、时， （2，1）AD当且仅当 a时， （2，1）A【分析】利用 a 的取值，反例判断（2，1）A 是否成立即可【解答】解：当 a=1 时，集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，x+y4，x+y2，显然（2，1）不满足，x+y4，x+y2，所以 A，C 不正确；当 a=4，集合 A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，4x+y4，x4y2，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以 B不正确；故选：D【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避第 11 页（共 24 页）免可行域的画法，简洁明了二、填空题共二、填
16、空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分。分。9 （5.00 分）设an是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为 an=6n3 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=3，d=6，由此能求出an的通项公式【解答】解：an是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，解得 a1=3，d=6，an=a1+（n1）d=3+（n1）6=6n3an的通项公式为 an=6n3故答案为：an=6n3【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10 （5.00 分）在极坐标系中，直
17、线 cos+sin=a（a0）与圆 =2cos 相切，则 a= 1+ 【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果【解答】解：圆 =2cos，转化成：2=2cos，进一步转化成直角坐标方程为：（x1）2+y2=1，把直线 （cos+sin）=a 的方程转化成直角坐标方程为：x+ya=0由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径第 12 页（共 24 页）则：=1，解得：a=1a0则负值舍去故：a=1+故答案为：1+【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用11 （5.00 分）设函数
18、f（x）=cos（x） （0） ，若 f（x）f（）对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为 【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可【解答】解：函数 f（x）=cos（x） （0） ，若 f（x）f（）对任意的实数 x 都成立，可得：，kZ，解得 =，kZ，0则 的最小值为：故答案为：【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力12 （5.00 分）若 x，y 满足 x+1y2x，则 2yx 的最小值是 3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设 z=2yx，则 y=x+
19、z，平移 y=x+z，由图象知当直线 y=x+z 经过点 A 时，第 13 页（共 24 页）直线的截距最小，此时 z 最小，由得，即 A（1，2） ，此时 z=221=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键13 （5.00 分）能说明“若 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是 f（x）=sinx 【分析】本题答案不唯一，符合要求即可【解答】解：例如 f（x）=sinx，尽管 f（x）f（0）对任意的 x（0，2都成立，当 x0，）上为增函数，在（，2为减函数，故答案为：
20、f（x）=sinx【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题14 （5.00 分）已知椭圆 M：+=1（ab0） ，双曲线 N：=1若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 ；双曲线 N 的离心率为 2 第 14 页（共 24 页）【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可【解答】解：椭圆 M：+=1（ab0） ，双曲线 N：=1若双曲线N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0）
21、 ，正六边形的一个顶点（，） ，可得：，可得，可得 e48e2+4=0，e（0，1） ，解得 e=同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为 e=2故答案为：；2【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15 （13.00 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=（）求A；（）求 AC 边上的高【分析】 （）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可（）利用余弦定理求出 c 的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求
22、解即可【解答】解：（）ab，AB，即 A 是锐角，cosB=，sinB=，第 15 页（共 24 页）由正弦定理得=得 sinA=，则 A=（）由余弦定理得 b2=a2+c22accosB，即 64=49+c2+27c，即 c2+2c15=0，得（c3） （c+5）=0，得 c=3 或 c=5（舍） ，则 AC 边上的高 h=csinA=3=【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键16 （14.00 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G分别为 AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1
23、=2（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【分析】 （I）证明 ACBE，ACEF 即可得出 AC平面 BEF；（II）建立坐标系，求出平面 BCD 的法向量 ，通过计算 与的夹角得出二面角的大小；第 16 页（共 24 页）（III）计算与 的数量积即可得出结论【解答】 （I）证明：E，F 分别是 AC，A1C1的中点，EFCC1，CC1平面 ABC，EF平面 ABC，又 AC平面 ABC，EFAC，AB=BC，E 是 AC 的中点，BEAC，又 BEEF=E，BE平面 BEF，EF平面 BEF，AC平面 BEF（II）解：以
24、 E 为原点，以 EB，EC，EF 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则 B（2，0，0） ，C（0，1，0） ，D（0，1，1） ，=（2，1，0） ，=（0，2，1） ，设平面 BCD 的法向量为 =（x，y，z） ，则，即，令 y=2 可得 =（1，2，4） ，又 EB平面 ACC1A1，=（2，0，0）为平面 CDC1的一个法向量，cos ，=由图形可知二面角 BCDC1为钝二面角，二面角 BCDC1的余弦值为（III）证明：F（0，0，2） ， （2，0，1） ，=（2，0，1） ， =2+04=20，与 不垂直，FG 与平面 BCD 不平行，又 FG平面 BCD，FG 与平面 B
25、CD 相交第 17 页（共 24 页）【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题17 （12.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人
26、们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“k=1”表示第 k 类电影得到人们喜欢 “k=0”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系【分析】 （）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解（）设事件 B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，恰有 1 部获得好评”，第四类获得好评的有 50 部，第五类获得好评的有 160 部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率第 18 页（共 24 页）（）由题意知，定义随
27、机变量如下：k=，则 k服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系【解答】解：（）设事件 A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为 140+50+300+200+800+510=2000 部，第四类电影中获得好评的电影有：2000.25=50 部，从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P（A）=0.025（）设事件 B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，恰有 1 部获得好评”，第四类获得好评的有：2000.25=5
28、0 部，第五类获得好评的有：8000.2=160 部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率：P（B）=0.35（）由题意知，定义随机变量如下：k=，则 k服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：1 1 0P 0.4 0.6E（1）=10.4+00.6=0.4，D（1）=（10.4）20.4+（00.4）20.6=0.24第二类电影：第 19 页（共 24 页）2 1 0P 0.2 0.8E（2）=10.2+00.8=0.2，D（2）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第三类电影：3 1 0P 0.15 0.85E（
29、3）=10.15+00.85=0.15，D（3）=（10.15）20.15+（00.85）20.85=0.1275第四类电影：4 1 0P 0.25 0.75E（4）=10.25+00.75=0.15，D（4）=（10.25）20.25+（00.75）20.75=0.1875第五类电影：5 1 0P 0.2 0.8E（5）=10.2+00.8=0.2，D（5）=（10.2）20.2+（00.2）20.8=0.16第六类电影：6 1 0P 0.1 0.9E（6）=10.1+00.9=0.1，D（5）=（10.1）20.1+（00.1）20.9=0.09方差 D1，D2，D3，D4，D5，D6的大
30、小关系为：D6D3D2=D5D4D1【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中第 20 页（共 24 页）档题18 （13.00 分）设函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 x 轴平行，求 a；（）若 f（x）在 x=2 处取得极小值，求 a 的取值范围【分析】 （）求得 f（x）的导数，由导数的几何意义可得 f（1）=0，解方程可得 a 的值；（）求得 f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=，a，0a，a0，由极小值的定义
31、，即可得到所求 a 的范围【解答】解：（）函数 f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 0，可得（a2a1+2）e=0，解得 a=1；（）f（x）的导数为 f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2） （ax1）ex，若 a=0 则 x2 时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2 处 f（x）取得极大值，不符题意；若 a0，且 a=，则 f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若 a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+） ， （，）递
32、增，可得 f（x）在 x=2 处取得极小值；若 0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+） ， （，2）递增，可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+） ， （，）递减，可得 f（x）在 x=2 处取得极大值，不符题意第 21 页（共 24 页）综上可得，a 的范围是（，+） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题19 （14.00 分）已知抛物线 C：y2=2px 经过点 P（1，2） ，过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交
33、 y 轴于 M，直线 PB 交 y轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，=，=，求证：+为定值【分析】 （）将 P 代入抛物线方程，即可求得 p 的值，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，由0，即可求得 k 的取值范围；（）根据向量的共线定理即可求得 =1yM，=1yN，求得直线 PA 的方程，令x=0，求得 M 点坐标，同理求得 N 点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值【解答】解：（）抛物线 C：y2=2px 经过点P（1，2） ，4=2p，解得 p=2，设过点（0，1）的直线方程为 y=kx+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）联立方程组可得，消 y 可得
34、k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且 k0 解得 k1，且 k0，x1+x2=，x1x2=，故直线 l 的斜率的取值范围（，0）（0，1） ；（）证明：设点 M（0，yM） ，N（0，yN） ，则=（0，yM1） ，=（0，1）第 22 页（共 24 页）因为=，所以 yM1=yM1，故 =1yM，同理 =1yN，直线 PA 的方程为 y2=（x1）=（x1）=（x1） ，令 x=0，得 yM=，同理可得 yN=，因为+=+=+=2，+=2，+为定值【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题20 （14.0
35、0 分）设 n 为正整数，集合 A=|=（t1，t2，tn） ，tk0，1，k=1，2，n，对于集合 A 中的任意元素 =（x1，x2，xn）和第 23 页（共 24 页）=（y1，y2，yn） ，记M（，）=（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）当 n=3 时，若 =（1，1，0） ，=（0，1，1） ，求 M（，）和M（，）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 ，当， 相同时，M（，）是奇数；当 ， 不同时，M（，）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的
36、子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 ，M（，）=0，写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由【分析】 （）直接根据定义计算（）注意到 1 的个数的奇偶性，根据定义反证证明（）根据抽屉原理即可得证【解答】解：（I ） M（，）=1+1+0=2，M（，）=0+1+0=1（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0） 、 （0，1） 、 （1，0） 、 （1，1） ，相应的分别为 0、0、0、1，所以 B 中的每个元素应有奇数个 1，所以 B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：（1，0，0，0 ） 、 （0，1，0，0） 、 （0，0，1，0） 、 （0
37、，0，0，1） ，（0，1，1，1） 、 （1，0，1，1） 、 （1，1，0，1） 、 （1，1，1，0） ，对于任意两个只有 1 个 1 的元素 ， 都满足 M（，）是偶数，所以四元集合 B=（1，0，0，0） 、 （0，1，0，0） 、 （0，0，1，0） 、（0，0，0，1）满足 题意，假设 B 中元素个数大于等于 4，就至少有一对互补元素，除了这对互补元素之外还有至少 1 个含有 3 个 1 的元素 ，则互补元素中含有 1 个 1 的元素 与之满足 M（，）=1 不合题意，故 B 中元素个数的最大值为 4（） B=（0，0，0，0） ， （1，0，0，0） ， （0，1，0，0） ，第 24 页（共 24 页）（0，0，10），（0，0，0，1），此时 B 中有 n+1 个元素，下证其为最大对于任意两个不同的元素 ，满足 M（，）=0，则 ， 中相同位置上的数字不能同时为 1，假设存在 B 有多于 n+1 个元素，由于 =（0，0，0，0）与任意元素 都有M（，）=0，所以除（0，0，0，0）外至少有 n+1 个元素含有 1，根据元素的互异性，至少存在一对 ， 满足 xi=yi=l，此时 M（，）1 不满足题意，故 B 中最多有 n+1 个元素【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系综合性较强，难度较大