2014年浙江省高考数学试卷（文科）.doc-淘文阁

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1、第 1 页（共 24 页）2014 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选项中，只有一项是符合题目要求的。）1 （5 分）设集合 S=x|x2，T=x|x5，则 ST=（）A （，5B2，+）C （2，5） D2，52 （5 分）设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

2、3 （5 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A72cm3B90cm3C108cm3D138cm34 （5 分）为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y=cos3x 的图象（）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位5 （5 分）已知圆 x2+y2+2x2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a的值是（）A2B4C6D86 （5 分）设 m、n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若 mn，n，则 mB若 m，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 m第 2

4、某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角的大小（仰角为直线 AP与平面 ABC 所成的角）若 AB=15m，AC=25m，BCM=30，则 tan 的最大值是（）ABCD二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 28 分）分）11 （4 分）已知 i 是虚数单位，计算= 第 3 页（共 24 页）12 （4 分）若实数 x，y 满足，则 x+y 的取值范围是 13 （4 分）在某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是 14 （4 分）在 3 张奖券

5、中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是 15 （4 分）设函数 f（x）=，若 f（f（a））=2，则 a= 16 （4 分）已知实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则 a 的最大值是 17 （4 分）设直线 x3y+m=0（m0）与双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点 A，B若点 P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，满分小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。演算步骤。）18 （

6、14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 4sin2第 4 页（共 24 页）+4sinAsinB=2+（）求角 C 的大小；（）已知 b=4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值19 （14 分）已知等差数列an的公差 d0，设an的前 n 项和为Sn，a1=1，S2S3=36（）求 d 及 Sn；（）求 m，k（m，kN*）的值，使得 am+am+1+am+2+am+k=6520 （15 分）如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面BCDE，CDE=BED=90，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=（）证明：AC平面 BCDE；（）求直线 AE

7、与平面 ABC 所成的角的正切值21 （15 分）已知函数 f（x）=x3+3|xa|（a0），若 f（x）在1，1上的最小值记为 g（a）（）求 g（a）；（）证明：当 x1，1时，恒有 f（x）g（a）+422 （14 分）已知ABP 的三个顶点在抛物线 C：x2=4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，=3，（）若|PF|=3，求点 M 的坐标；（）求ABP 面积的最大值第 5 页（共 24 页）第 6 页（共 24 页）2014 年浙江省高考数学试卷（文科）年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大

8、题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 50 分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选项中，只有一项是符合题目要求的。）1 （5 分）设集合 S=x|x2，T=x|x5，则 ST=（）A （，5B2，+）C （2，5） D2，5【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：集合 S=x|x2，T=x|x5，ST=x|2x5，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分）设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要

9、条件D既不充分也不必要条件【分析】利用菱形的特征以及对角线的关系，判断“四边形 ABCD 为菱形”与“ACBD”的推出关系，即可得到结果【解答】解：四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”那么菱形的对角线垂直，即“四边形 ABCD 为菱形”“ACBD”，但是“ACBD”推不出“四边形 ABCD 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，或菱形四边形；所以四边形 ABCD 的两条对角线为 AC，BD，则“四边形 ABCD 为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查第 7 页（共 24 页）3 （5 分）某几何体

10、的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A72cm3B90cm3C108cm3D138cm3【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是 4，3；高是 3；其几何体的体积为：V=3=90（cm3）故选：B【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题4 （5 分）为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象，可以将函数 y=cos3x 的图象（）A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向

11、右平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可【解答】解：函数 y=sin3x+cos3x=，故只需将函数 y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到 y=的图象故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基第 8 页（共 24 页）本知识的考查5 （5 分）已知圆 x2+y2+2x2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a的值是（）A2B4C6D8【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a 的值【解答】解：圆 x2+y2+2x2y+a=0

12、即（x+1）2+（y1）2=2a，故弦心距 d=再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题6 （5 分）设 m、n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若 mn，n，则 mB若 m，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 m【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论【解答】解：A若 mn，n，则 m 或 m 或 m，故 A 错误B若 m，则 m 或 m 或 m，故 B 错误C若 m，n，n，则 m，正确D若 mn，n，则 m 或 m 或 m，故 D 错

13、误故选：C【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理7 （5 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c且 0f（1）=f（2）=f（3）3，则第 9 页（共 24 页）（）Ac3B3c6 C6c9 Dc9【分析】由 f（1）=f（2）=f（3）列出方程组求出 a，b，代入 0f（1）3，即可求出 c 的范围【解答】解：由 f（1）=f（2）=f（3）得，解得，则 f（x）=x3+6x2+11x+c，由 0f（1）3，得 01+611+c3，即 6c9，故选：C【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题8 （5 分）在同一直角

14、坐标系中，函数 f（x）=xa（x0），g（x）=logax 的图象可能是（）ABCD【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当 0a1 时和当 a1 时两种情况，讨论函数 f（x）=xa（x0），g（x）=logax 的图象，比照后可得答案【解答】解：当 0a1 时，函数 f（x）=xa（x0），g（x）=logax 的图象为：第 10 页（共 24 页）此时答案 D 满足要求，当 a1 时，函数 f（x）=xa（x0），g（x）=logax 的图象为：无满足要求的答案，综上：故选 D，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的

16、sin2=1故当唯一确定时，| |唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题10 （5 分）如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角的大小（仰角为直线 AP与平面 ABC 所成的角）若 AB=15m，AC=25m，BCM=30，则 tan 的最大值是（）ABCD【分析】在直角三角形 ABC 中，由 AB 与 AC 的长，利用勾股定理求出 BC 的长，第 12 页（共 24 页）

17、过 P 作 PPBC，交 BC 于点 P，连接 AP，利用锐角三角函数定义表示出 tan=，设 BP=m，则 CP=20m，利用锐角三角函数定义表示出 PP，利用勾股定理表示出 AP，表示出 tan，即可确定出 tan 的值【解答】解：AB=15cm，AC=25cm，ABC=90，BC=20cm，过 P 作 PPBC，交 BC 于 P，连接 AP，则 tan=，设 BP=x，则 CP=20x，由BCM=30，得 PP=CPtan30=（20x），在直角ABP中，AP=，tan=，令 y=，则函数在 x0，20单调递减，x=0 时，取得最大值为=，若 P在 CB 的延长线上，PP=CPtan3

18、0=（20+x），在直角ABP中，AP=，tan=，令 y=，则 y=0 可得 x=时，函数取得最大值，则 tan 的最大值是第 13 页（共 24 页）【点评】此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 28 分）分）11 （4 分）已知 i 是虚数单位，计算= i 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计算求得结果【解答】解：=i，故答案为：i【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基

19、础题12 （4 分）若实数 x，y 满足，则 x+y 的取值范围是 1，3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=x+y 的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）设 z=x+y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A（1，0）时，直线 y=x+z 的截距最小，此时 z 最小，为 z=1+0=1，当直线 y=x+z 经过点 B）时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即 B（2，1）代入目标函数 z=x+y 得 z=1+2=3故 1z3故答案为：1，3第 14 页（

20、共 24 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法13 （4 分）在某程序框图如图所示，当输入 50 时，则该程序运算后输出的结果是 6 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件 S50，跳出循环体，确定输出的 i 的值【解答】解：由程序框图知：第一次循环 S=1，i=2；第二次循环 S=21+2=4，i=3；第三次循环 S=24+3=11，i=4；第四次循环 S=211+4=26，i=5；第五次循环 S=226+5=57，i=6，第 15 页（共 24 页）满足条件 S50，跳出循环体，输出 i=6故答案为：6【点

21、评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法14 （4 分）在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是【分析】总共有 9 种可能，求出所获奖项有几种可能，根据概率公式进行计算即可【解答】解：设一、二等奖各用 A，B 表示，另 1 张无奖用 C 表示，甲、乙两人各抽取 1 张的基本事件有 AB，AC，BA，BC，CA，CB 共 6 个，其中两人都中奖的有 AB，BA 共 2 个，故所求的概率 P=【点评】本题主要考查了古典概型的概率的公式的应用，关键是不重不漏的列出所有的基本事件15 （4 分

22、）设函数 f（x）=，若 f（f（a））=2，则 a= 【分析】根据分段函数的表达式，利用分类讨论的方法即可得到结论【解答】解：设 t=f（a），则 f（t）=2，若 t0，则 f（t）=t2=2，此时不成立，若 t0，由 f（t）=2 得，t2+2t+2=2，即 t2+2t=0，解得 t=0 或 t=2，即 f（a）=0 或 f（a）=2，若 a0，则 f（a）=a2=0，此时不成立；或 f（a）=a2=2，即 a2=2，解得a=第 16 页（共 24 页）若 a0，由 f（a）=0 得，a2+2a+2=0，此时无解；或 f（a）=2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为

23、：【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可16 （4 分）已知实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则 a 的最大值是【分析】由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到 b、c 是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关 a 的不等式后确定 a 的取值范围【解答】解：a+b+c=0，a2+b2+c2=1，b+c=a，b2+c2=1a2，bc=（2bc）=（b+c）2（b2+c2）=a2b、c 是方程：x2+ax+a2=0 的两个实数根，0a24（a2）0 即 a2a即 a 的最大值为故答案为：【点评】本题考查了函数最值问题，解决本

24、题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得 a 的取值范围第 17 页（共 24 页）17 （4 分）设直线 x3y+m=0（m0）与双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线分别交于点 A，B若点 P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是【分析】先求出 A，B 的坐标，可得 AB 中点坐标为（，），利用点 P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=3，从而可求双曲线的离心率【解答】解：双曲线（a0，b0）的两条渐近线方程为 y=x，则与直线 x3y+m=0 联立，可得 A（，），B（，），AB 中点坐标为（，），点 P（m，0）满足|PA|=|PB|，=3，

25、a=2b，=b，e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题第 18 页（共 24 页）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，满分小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。演算步骤。）18 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 4sin2+4sinAsinB=2+（）求角 C 的大小；（）已知 b=4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值【分析】（）ABC 中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos（A+B）=，从而

26、得到 cosC=，由此可得 C 的值（）根据ABC 的面积为 6=absinC 求得 a 的值，再利用余弦定理求得 c=的值【解答】解：（）ABC 中，4sin2+4sinAsinB=2+，4+4sinAsinB=2+，2cosAcosB+2sinAsinB=，即 cos（A+B）=，cosC=，C=（）已知 b=4，ABC 的面积为 6=absinC=a4，a=3，c=【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题19 （14 分）已知等差数列an的公差 d0，设an的前 n 项和为Sn，a1=1，S2S3=36（）求 d 及 Sn；（）求 m，k（m，

27、kN*）的值，使得 am+am+1+am+2+am+k=65【分析】（）根据等差数列通项公式和前 n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意 d 的范围对方程的根进行取舍；第 19 页（共 24 页）（）由（）求出等差数列an的通项公式，利用等差数列的前 n 项和公式，对 am+am+1+am+2+am+k=65 化简，列出关于 m、k 的方程，再由 m，kN*进行分类讨论，求出符合条件的 m、k 的值【解答】解：（）由 a1=1，S2S3=36 得，（a1+a2）（a1+a2+a3）=36，即（2+d）（3+3d）=36，化为 d2+3d10=0，解得 d=2 或5，又

28、公差 d0，则 d=2，所以 Sn=n=n2（nN*）（）由（）得，an=1+2（n1）=2n1，由 am+am+1+am+2+am+k=65 得，即（k+1）（2m+k1）=65，又 m，kN*，则（k+1）（2m+k1）=513，或（k+1）（2m+k1）=165，下面分类求解：当 k+1=5 时，2m+k1=13，解得 k=4，m=5；当 k+1=13 时，2m+k1=5，解得 k=12，m=3，故舍去；当 k+1=1 时，2m+k1=65，解得 k=0，故舍去；当 k+1=65 时，2m+k1=1，解得 k=64，m=31，故舍去；综上得，k=4，m=5【点评】本题考查了等差数

29、列的通项公式、前 n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力20 （15 分）如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面BCDE，CDE=BED=90，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=（）证明：AC平面 BCDE；第 20 页（共 24 页）（）求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值【分析】（）如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，可得 DF=DC=1=BE，于是四边形 BEDF 是矩形，在 RtBCF 中，利用勾股定理可得BC=在ACB 中，再利用勾股定理的逆定理可得 ACBC，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论（）过点 E

30、作 EMCB 交 CB 的延长线于点 M，连接 AM由平面 ABC平面BCDE，利用面面垂直的性质定理可得：EM平面 ACB因此EAM 是直线 AE与平面 ABC 所成的角再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：（）如图所示，取 DC 的中点 F，连接 BF，则 DF=DC=1=BE，CDE=BED=90，BEDF，四边形 BEDF 是矩形，BFDC，BF=ED=1，在 RtBCF 中，BC=在ACB 中，AB=2，BC=AC=，BC2+AC2=AB2，ACBC，又平面 ABC平面 BCDE，AC平面 BCDE（）过点 E 作 EMCB 交 CB 的延长线于点 M，连接 AM

31、又平面 ABC平面 BCDE，EM平面 ACBEAM 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角在 RtBEM 中，EB=1，EBM=45第 21 页（共 24 页）EM=MB在 RtACM 中，=在 RtAEM 中，=【点评】本题综合考查了矩形的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性质定理、线面角的求法、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、辅助线的作法，属于难题21 （15 分）已知函数 f（x）=x3+3|xa|（a0），若 f（x）在1，1上的最小值记为 g（a）（）求 g（a）；（）证明：当 x1，1时，恒有 f（x）g（a）+4【分析】（

32、）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求 g（a）；（）设 h（x）=f（x）g（a），分类讨论，求最值，可以证明 x1，1时，恒有 f（x）g（a）+4【解答】（）解：a0，1x1，当 0a1 时，若 x1，a，则 f（x）=x33x+3a，f（x）=3x230，故此时函数在（1，a）上是减函数，若 x（a，1，则 f（x）=x3+3x3a，f（x）=3x2+30，故此时函数在（a，1）上是增函数，第 22 页（共 24 页）g（a）=f（a）=a3当 a1，f（x）=x3+3|xa|=x33x+3a，f（x）=3x230，故此时函数在1，1上是减函数，则 g（a）=f（1）=2+

33、3a综上：g（a）=（）证明：设 h（x）=f（x）g（a），当 0a1 时，g（a）=a3，若 xa，1，h（x）=x3+3x3aa3，h（x）=3x2+3，h（x）在a，1上是增函数，h（x）在a，1上的最大值是 h（1）=43aa3，且 0a1，h（1）4，f（x）g（a）+4若 x1，a，h（x）=x33x+3aa3，h（x）=3x23，h（x）在1，a上是减函数，h（x）在1，a上的最大值是 h（1）=2+3aa3，令 t（a）=2+3aa3，则 t（a）=33a2，t（a）在（0，1）上是增函数，t（a）t（1）=4h（1）4，f（x）g（a）+4a1 时，g（a）=2+3a，h

34、（x）=x33x+2，h（x）=3x23，h（x）在1，1上是减函数，h（x）在1，1上的最大值是 h（1）=4，f（x）g（a）+4；综上，当 x1，1时，恒有 f（x）g（a）+4第 23 页（共 24 页）【点评】利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键22 （14 分）已知ABP 的三个顶点在抛物线 C：x2=4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，=3，（）若|PF|=3，求点 M 的坐标；（）求ABP 面积的最大值【分析】（）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M 的坐标；（）设直线 AB 的方程为 y=kx

35、+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值【解答】解：（）由题意知焦点 F（0，1），准线方程为 y=1，设 P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得 y0=2，x0=，即 P（2，2）或 P（2，2），由=3，得 M（，）或 M（，）（）设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由得 x24kx4m=0，于是=16k2+16m0，x1+x2=4k，x1x2=4m，即 AB 的中点 M 的坐标为（2k，2k2+m）由=3，得（x0，1y0）=3（2k，2k2+m1），解得，由，得 k2=+，第 24 页（共 24 页）由0，k20 得m，又|AB|=4，点 F 到直线 AB 的距离 d=，SABP=4SABF=8|m1|，设 f（m）=3m35m2+m+1，（），则 f（m）=9m210m+1=0，解得 m1=，m2=1，于是 f（m）在（）是增函数，在（，1）上是减函数，在（1，）上是增函数，又 f（）=，当 m=时，f（m）取得最大值，此时 k=，ABP 面积的最大值为【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，三角形面积公式，平面向量等基础知识，同时也考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力运算量大，综合性强，难度较大

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