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1、第 1 页（共 19 页）2014 年全国统一高考数学试卷（文科）年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）设集合 M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，则 MN 中元素的个数为（ ）A2B3C5D72 （5 分）已知角 的终边经过点（4，3） ，则 cos=（ ）ABCD3 （5 分）不等式组的解集为（ ）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1Dx|x14 （5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ）ABC
2、D5 （5 分）函数 y=ln（+1） （x1）的反函数是（ ）Ay=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）6 （5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60，则（2 ） =（ ）A1B0C1D27 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种B70 种C75 种D150 种8 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（ ）A31B32C63D649 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点为 F1
3、、F2，离心率第 2 页（共 19 页）为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ）A+=1B+y2=1C+=1D+=110 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）AB16 C9D11 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（ ）A2B2C4D412 （5 分）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）=（ ）A2B1C0D1二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4
4、 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13 （5 分） （x2）6的展开式中 x3的系数是 （用数字作答）14 （5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是 15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=x+4y 的最大值为 16 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 三、解答题三、解答题17 （10 分）数列an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式第 3 页（共 19 页）18 （12 分）A
5、BC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求 B19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小20 （12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需
6、使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值21 （12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0） （）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围22 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程第 4 页（共 19 页）2014 年全国统一高考数学试卷（文
7、科）年全国统一高考数学试卷（文科） （大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）设集合 M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，则 MN 中元素的个数为（ ）A2B3C5D7【分析】根据 M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可【解答】解：M=1，2，4，6，8，N=1，2，3，5，6，7，MN=1，2，6，即 MN 中元素的个数为 3故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）已知角 的终边经过点（4，3） ，则 co
8、s=（ ）ABCD【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cos 的值【解答】解：角 的终边经过点（4，3） ，x=4，y=3，r=5cos=，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题3 （5 分）不等式组的解集为（ ）Ax|2x1Bx|1x0Cx|0x1Dx|x1【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求第 5 页（共 19 页）【解答】解：由不等式组可得 ，解得 0x1，故选：C【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题4 （5 分）已知正四面体 ABCD 中
9、，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ）ABCD【分析】由 E 为 AB 的中点，可取 AD 中点 F，连接 EF，则CEF 为异面直线 CE与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值【解答】解：如图，取 AD 中点 F，连接 EF，CF，E 为 AB 的中点，EFDB，则CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角，ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点，CE=CF设正四面体的棱长为 2a，则 EF=a，CE=CF=在CEF 中，由余弦定理得：=故选：B第 6 页
10、（共 19 页）【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题5 （5 分）函数 y=ln（+1） （x1）的反函数是（ ）Ay=（1ex）3（x1）By=（ex1）3（x1）Cy=（1ex）3（xR）Dy=（ex1）3（xR）【分析】由已知式子解出 x，然后互换 x、y 的位置即可得到反函数【解答】解：y=ln（+1） ，+1=ey，即=ey1，x=（ey1）3，所求反函数为 y=（ex1）3，故选：D【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题6 （5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60，则（2 ） =（ ）A1B0C1D2【分析】由条件利用两个向量
11、的数量积的定义，求得、的值，可得（2 ） 的值【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2 ） =2=0，故选：B第 7 页（共 19 页）【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题7 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种B70 种C75 种D150 种【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=1
12、5 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法，则不同的选法共有 155=75 种；故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同8 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn若 S2=3，S4=15，则 S6=（ ）A31B32C63D64【分析】由等比数列的性质可得 S2，S4S2，S6S4成等比数列，代入数据计算可得【解答】解：S2=a1+a2，S4S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以 S2，S4S2，S6S4成等比数列，即 3，12，S615 成等比数列，可得 122=3（S615） ，解得
13、 S6=63故选：C【点评】本题考查等比数列的性质，得出 S2，S4S2，S6S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题第 8 页（共 19 页）9 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【分析】利用AF1B 的周长为 4，求出 a=，根据离心率为，可得c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B 的周长为 4，AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率
14、为，c=1，b=，椭圆 C 的方程为+=1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）AB16 C9D【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上，记为 O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积第 9 页（共 19 页）【解答】解：设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为 4（）2=故选：A【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题1
15、1 （5 分）双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为，则 C 的焦距等于（ ）A2B2C4D4【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论【解答】解：=1（a0，b0）的离心率为 2，e=，双曲线的渐近线方程为 y=，不妨取 y=，即 bxay=0，则 c=2a，b=，焦点 F（c，0）到渐近线 bxay=0 的距离为，d=，第 10 页（共 19 页）即，解得 c=2，则焦距为 2c=4，故选：C【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础12 （5 分）奇函
16、数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）=（ ）A2B1C0D1【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到 f（x+8）=f（x） ，即可得到结论【解答】解：f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，设 g（x）=f（x+2） ，则 g（x）=g（x） ，即 f（x+2）=f（x+2） ，f（x）是奇函数，f（x+2）=f（x+2）=f（x2） ，即 f（x+4）=f（x） ，f（x+8）=f（x+4+4）=f（x+4）=f（x） ，则 f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D【点评】本题主要考查函数
17、值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13 （5 分） （x2）6的展开式中 x3的系数是 160 （用数字作答）第 11 页（共 19 页）【分析】根据题意，由二项式定理可得（x2）6的展开式的通项，令 x 的系数为3，可得 r=3，将 r=3 代入通项，计算可得 T4=160x3，即可得答案【解答】解：根据题意， （x2）6的展开式的通项为 Tr+1=C6rx6r（2）r=（1）r2rC6rx6r，令 6r=3 可得 r=3，此时 T4=（1）323C63x3=160x3，即
18、x3的系数是160；故答案为160【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x2）6的展开式的通项14 （5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是 【分析】利用二倍角公式对函数化简可得 y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=，结合1sinx1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：y=cos2x+2sinx=12sin2x+2sinx=又1sinx1当 sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意1sinx1 的条件15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则
19、z=x+4y 的最大值为 5 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案第 12 页（共 19 页）【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 C（1，1） 化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大此时 zmax=1+41=5故答案为：5【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正
20、切值等于 【分析】设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得 sin= 的值，可得 cos、tan 的值，再根据tan2=，计算求得结果【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外部，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA=，圆的半径为 r=，sin=，cos=，tan=，第 13 页（共 19 页）tan2=，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题三、解答题三、解答题17 （10 分）数列
21、an满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1an+2（）设 bn=an+1an，证明bn是等差数列；（）求an的通项公式【分析】 （）将 an+2=2an+1an+2 变形为：an+2an+1=an+1an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出 b1，由等差数列的定义证明bn是等差数列；（）由（）和等差数列的通项公式求出 bn，代入 bn=an+1an并令 n 从 1 开始取值，依次得（n1）个式子，然后相加，利用等差数列的前 n 项和公式求出an的通项公式 an【解答】解：（）由 an+2=2an+1an+2 得，an+2an+1=an+1an+2，由 bn=an+1an得，
22、bn+1=bn+2，即 bn+1bn=2，又 b1=a2a1=1，所以bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列（）由（）得，bn=1+2（n1）=2n1，由 bn=an+1an得，an+1an=2n1，则 a2a1=1，a3a2=3，a4a3=5，anan1=2（n1）1，第 14 页（共 19 页）所以，ana1=1+3+5+2（n1）1=（n1）2，又 a1=1，所以an的通项公式 an=（n1）2+1=n22n+2【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题18 （12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、
23、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求 B【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan（A+C）=tan（A+C）即可得出【解答】解：3acosC=2ccosA，由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，tanA=，2tanC=3=1，解得 tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1，B（0，） ，B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，
24、考查了推理能力和计算能力，属于中档题第 15 页（共 19 页）19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小【分析】 （）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角，解三角形由反三角函数可得【解答】解：（）A1D平面 ABC，A1D平面 AA1C1C，平面 AA1C1C平面 ABC，又 BCACBC平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA
25、1C1C 为菱形可得 AC1A1C，又 AC1BC，A1CBC=C，AC1平面 A1BC，AB1平面 A1BC，AC1A1B；（）BC平面 AA1C1C，BC平面 BCC1B1，平面 AA1C1C平面 BCC1B1，作 A1ECC1，E 为垂足，可得 A1E平面 BCC1B1，又直线 AA1平面 BCC1B1，A1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离，即 A1E=，A1C 为ACC1的平分线，A1D=A1E=，作 DFAB，F 为垂足，连结 A1F，第 16 页（共 19 页）又可得 ABA1D，A1FA1D=A1，AB平面 A1DF，A1F平面 A1DFA1FAB，A1FD 为二面角
26、 A1ABC 的平面角，由 AD=1 可知 D 为 AC 中点，DF=，tanA1FD=，二面角 A1ABC 的大小为 arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题20 （12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值【分析】 （）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设
27、备的概率相加，即得所求（）由（）可得若 k=2，不满足条件若 k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为 0.060.1，满足条件，从而得出结论第 17 页（共 19 页）【解答】解：（）由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5（10.4）=0.31（）由（）可得若 k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于 2”的概率为0.310.1，不满足条件若 k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于 3”的概率为 0.60.50.5
28、0.4=0.060.1，满足条件故 k 的最小值为 3【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题21 （12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a0） （）讨论 f（x）的单调性；（）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围【分析】 （）求出函数的导数，通过导数为 0，利用二次函数的根，通过 a 的范围讨论 f（x）的单调性；（）当 a0，x0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当 a0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出 f（1）0 且 f（2）0，即可求 a 的取值范围【解答】解：（）函数 f（x）=ax3+3x
29、2+3x，f（x）=3ax2+6x+3，令 f（x）=0，即 3ax2+6x+3=0，则=36（1a） ，若 a1 时，则0，f（x）0，f（x）在 R 上是增函数；因为 a0，a1 且 a0 时，0，f（x）=0 方程有两个根，x1=，x2=，当 0a1 时，则当 x（，x2）或（x1，+）时，f（x）0，故函数在（，x2）或（x1，+）是增函数；在（x2，x1）是减函数；第 18 页（共 19 页）当 a0 时，则当 x（，x1）或（x2，+） ，f（x）0，故函数在（，x1）或（x2，+）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（）当 a0，x0 时，f（x）=3ax2+6x+30 故 a0
30、 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当 a0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f（1）0 且 f（2）0，解得，a 的取值范围）（0，+） 【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用22 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程【分
31、析】 （）设点 Q 的坐标为（x0，4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得 x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程（）设 l 的方程为 x=my+1 （m0） ，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线 l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程【解答】解：（）设点 Q 的坐标为（x0，4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px（p0） ，可得 x0=，点 P（0，4
32、） ，|PQ|=又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，第 19 页（共 19 页）+=，求得 p=2，或 p=2（舍去） 故 C 的方程为 y2=4x（）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点 F（1，0） ，设 l 的方程为 x=my+1（m0） ，代入抛物线方程可得 y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4AB 的中点坐标为 D（2m2+1，2m） ，弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1） 又直线 l的斜率为m，直线 l的方程为 x=y+2m2+3过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N两点，把线 l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3） 故线段 MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，） ，|MN|=|y3y4|=，MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，+DE2=MN2，4（m2+1）2 +=，化简可得 m21=0，m=1，直线 l 的方程为 xy1=0，或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题