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1、第 1 页（共 25 页）2013 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的备选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（ ）A1，3，4B3，4 C3 D42 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ）A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x
2、0203 （5 分）（6a3）的最大值为（ ）A9BC3D4 （5 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为（ ）A2，5B5，5C5，8D8，85 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABC200 D2406 （5 分）若 abc，则函数 f（x）=（xa） （xb）+（xb） （xc）+（xc）第 2 页（共 25 页）（xa）的两个零点分别位于区间（ ）A （a，b）和（b，c）内B （，a）和（a，b）内 C （b，c）和（c，+）内D （，
3、a）和（c，+）内7 （5 分）已知圆 C1：（x2）2+（y3）2=1，圆 C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）A1B54C62D8 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出 S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）Ak6Bk7Ck8Dk99 （5 分）4cos50tan40=（ ）ABCD2110 （5 分）在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是（ ）第 3 页（共 25 页）A （0，B （， C （， D （，二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答小题，考生
4、作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答分，把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上11 （5 分）已知复数 z=（i 是虚数单位） ，则|z|= 12 （5 分）已知an是等差数列，a1=1，公差 d0，Sn为其前 n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则 S8= 13 （5 分）从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 （用数字作答） 14，15，16 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给三题为选做题，请从中任选两题作答，若三
5、题全做，则按前两题给分：分：14 （5 分）如图，在ABC 中，C=90，A=60，AB=20，过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为 15 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为 cos=4 的直线与曲线（t 为参数）相交于A，B 两点，则|AB|= 16若关于实数 x 的不等式|x5|+|x+3|a 无解，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、算步骤17 （13 分）设 f（x）=a（x5）2+6lnx，其中 aR，曲线 y=f（x）在点第 4 页（共 25 页）（1，f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6） （1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值18 （13 分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3 红 1 蓝200 元二等奖3 红 0 蓝50 元三等奖2 红 1 蓝
7、10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（x） 19 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F 为 PC 的中点，AFPB（1）求 PA 的长；（2）求二面角 BAFD 的正弦值20 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a2+b2+ab=c2（1）求 C；第 5 页（共 25 页）（2）设 cosAcosB=，=，求 tan 的值21 （12 分）如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在
8、x 轴上，离心率，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A两点，|AA|=4（）求该椭圆的标准方程；（）取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P，过 P、P作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程22 （12 分）对正整数 n，记 In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合 P7中元素的个数；（2）若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为“稀疏集”求 n 的最大值，使 Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集第 6 页（共 25 页）2013 年重庆市高考数学试卷（理科）年重庆市高考数学试卷（理科）参
9、考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的备选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，集合 A=1，2，B=2，3，则U（AB）=（ ）A1，3，4B3，4 C3 D4【分析】根据 A 与 B 求出两集合的并集，由全集 U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合【解答】解：A=1，2，B=2，3，AB=1，2，3，全集 U=1，2，3，4，U（AB）=4故选：D【点评】此题考查了交、并、补集的混合
10、运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （5 分）命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为（ ）A对任意 xR，都有 x20 B不存在 xR，都有 x20C存在 x0R，使得 x020 D存在 x0R，使得 x020【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为存在 x0R，使得 x020故选：D【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查第 7 页（共 25 页）3 （5 分）（6a3）的最大值为（ ）A9BC3D【分析】令 f（a）=（3a） （a+6）
11、=+，而且6a3，利用二次函数的性质求得函数 f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值【解答】解：令 f（a）=（3a） （a+6）=+，而且6a3，由此可得当 a=时，函数 f（a）取得最大值为 ，故（6a3）的最大值为 =，故选：B【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题4 （5 分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为（ ）A2，5B5，5C5，8D8，8【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以 5找甲组数据的中位数
12、要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）5=16.8；y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27所以中位数为：10+x=15，x=5故选：C第 8 页（共 25 页）【点评】本题考查了中位数和平均数的计算平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABC200 D240【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为 4，8，10 的长方体砍去两个小三棱
13、柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为 4，8，10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知 V=200故选：C【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6 （5 分）若 abc，则函数 f（x）=（xa） （xb）+（xb） （xc）+（xc）（xa）的两个零点分别位于区间（ ）A （a，b）和（b，c）内B （，a）和（a，b）内 C （b，c）和第 9 页（共 25 页）（c，+）内D （，a）和（c，+）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b） ， （b，c）内分别存在一个零点；又函数 f（x）是二次函数，最多有两个零点，
14、即可判断出【解答】解：abc，f（a）=（ab） （ac）0，f（b）=（bc） （ba）0，f（c）=（ca） （cb）0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b） ， （b，c）内分别存在一个零点；又函数 f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数 f（x）的两个零点分别位于区间（a，b） ， （b，c）内故选：A【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键7 （5 分）已知圆 C1：（x2）2+（y3）2=1，圆 C2：（x3）2+（y4）2=9，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）A1
15、B54C62D【分析】求出圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A，以及半径，然后求解圆 A与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值【解答】解：如图圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A（2，3） ，半径为 1，圆 C2的圆心坐标（3，4） ，半径为 3，由图象可知当 P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆 C3与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|31=4=4=54故选：B第 10 页（共 25 页）【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算
16、能力8 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输出 S=3，那么判断框内应填入的条件是（ ）Ak6Bk7Ck8Dk9【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是 S=3，可得判断框内应填入的条件【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第 11 页（共 25 页）第一次循环 log23 3第二次循环 log23log34 4第三次循环 log23log34log45 5第四次循环 log23log34log45log56 6第五次循环 log23log34log45log56log67 7第六次循环 log23log34log45log56log67log78=log28=3
17、 8故如果输出 S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是 k7故选：B【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律本题属于基础题9 （5 分）4cos50tan40=（ ）ABCD21【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果【解答】解：4cos50tan40=4sin40tan40=故选：C【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数
18、间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键10 （5 分）在平面上，|=|=1，=+若|，则|的取值范围是（ ）第 12 页（共 25 页）A （0，B （， C （， D （，【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论【解答】解：根据条件知 A，B1，P，B2构成一个矩形 AB1PB2，以 AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点 O 的坐标为（x，y） ，则点 P 的坐标为（a，b） ，由=1，得，则|，（xa）2+y2=1，y2=1（xa）21，y21同理 x21x2+y22由知，|=，
19、|故选：D【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 3 小题，考生作答小题，考生作答 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答分，把答第 13 页（共 25 页）案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上11 （5 分）已知复数 z=（i 是虚数单位） ，则|z|= 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果【解答】解：|z|=故答案为：【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力12 （5 分）已知an是等差数列，a1=1，公差 d0，Sn为其前 n 项和，若a1，a2，a5
20、成等比数列，则 S8= 64 【分析】依题意，a1=1，=a1（a1+4d） ，可解得 d，从而利用等差数列的前 n 项和公式即可求得答案【解答】解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，=a1（a1+4d） ，又 a1=1，d22d=0，公差 d0，d=2其前 8 项和 S8=8a1+d=8+56=64故答案为：64【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题13 （5 分）从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 590 （用数字作答） 【分析】不同的组
21、队方案：选 5 名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人，方法共有 6 类，他们分别是：3 名骨科、1 名脑外科和 1 名内科医生；1 名骨科、3 名脑外科和 1 名内科医生，在每一类中都用分步计数原理解答第 14 页（共 25 页）【解答】解：直接法：3 名骨科、1 名脑外科和 1 名内科医生，有 C33C41C51=20种，1 名骨科、3 名脑外科和 1 名内科医生，有 C31C43C51=60 种，1 名骨科、1 名脑外科和 3 名内科医生，有 C31C41C53=120 种，2 名骨科、2 名脑外科和 1 名内科医生，有 C32C42C51=90 种，1
22、名骨科、2 名脑外科和 2 名内科医生，有 C31C42C52=180 种，2 名骨科、1 名脑外科和 2 名内科医生，有 C32C41C52=120 种，共计 20+60+120+90+180+120=590 种间接法：+1=590故答案为：590【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步14，15，16 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：分：14 （5 分）如图，在ABC 中，C=90，A=60，AB=20，过 C 作ABC 的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与
23、外接圆交于点 E，则 DE 的长为 5 【分析】利用直角ABC 的边角关系即可得出 BC，利用弦切角定理可得BCD=A=60利用直角BCD 的边角关系即可得出 CD，BD再利用切割线定理可得 CD2=DEDB，即可得出 DE【解答】解：在ABC 中，C=90，A=60，AB=20，BC=ABsin60=CD 是此圆的切线，BCD=A=60在 RtBCD 中，CD=BCcos60=，BD=BCsin60=15第 15 页（共 25 页）由切割线定理可得 CD2=DEDB，解得 DE=5故答案为 5【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键15 （5 分）在直角坐标系
24、 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为 cos=4 的直线与曲线（t 为参数）相交于A，B 两点，则|AB|= 16 【分析】先将直线极坐标方程 cos=4 化成直角坐标方程，再代入曲线（t 为参数）中得 A，B 两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|【解答】解：将直线极坐标方程 cos=4 化成直角坐标方程为 x=4，代入曲线（t 为参数）中得 A，B 两点的直角坐标为（4，8） ， （4，8） ，则|AB|=16故答案为：16【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力16若关于
25、实数 x 的不等式|x5|+|x+3|a 无解，则实数 a 的取值范围是 （，8 【分析】利用绝对值的意义求得|x5|+|x+3|最小值为 8，由此可得实数 a 的取值范围【解答】解：由于|x5|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到 5 和3 对应点的距离之和，其最小值为 8，再由关于实数 x 的不等式|x5|+|x+3|a 无解，可得 a8，第 16 页（共 25 页）故答案为：（，8【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x5|+|x+3|最小值为 8，是解题的关键，属于中档题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明、
26、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （13 分）设 f（x）=a（x5）2+6lnx，其中 aR，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6） （1）确定 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值【分析】 （1）先由所给函数的表达式，求导数 f（x） ，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线与 y 轴相交于点（0，6）列出方程求 a 的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在
27、各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值【解答】解：（1）因 f（x）=a（x5）2+6lnx，故 f（x）=2a（x5）+， （x0） ，令 x=1，得 f（1）=16a，f（1）=68a，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y16a=（68a） （x1） ，由切线与 y 轴相交于点（0，6） 616a=8a6，a=（2）由（I）得 f（x）=（x5）2+6lnx， （x0） ，f（x）=（x5）+=，令 f（x）=0，得 x=2 或 x=3，第 17 页（共 25 页）当 0x2 或 x3 时，f（x）0，故 f（x）在（0，2） ， （
28、3，+）上为增函数，当 2x3 时，f（x）0，故 f（x）在（2，3）上为减函数，故 f（x）在 x=2 时取得极大值 f（2）=+6ln2，在 x=3 时取得极小值 f（3）=2+6ln3【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想属于中档题18 （13 分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，
29、设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3 红 1 蓝200 元二等奖3 红 0 蓝50 元三等奖2 红 1 蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级（1）求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 x 的分布列与期望 E（x） 【分析】 （1）从 7 个小球中取 3 的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红 2 白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量 X 的所有可能取值为 200，50，10，0 根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（1）设 Ai表示摸到
30、 i 个红球，Bi表示摸到 i 个蓝球，则 Ai 与 Bi 相互独立（i=0，1，2，3）P（A1）=第 18 页（共 25 页）（2）X 的所有可能取值为 0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）=P（X=10）=P（A2）P（B1）=P（X=0）=1=X 的分布列为x01050200PEX=4 元【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力19 （13 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB
31、=ACD=，F 为 PC 的中点，AFPB（1）求 PA 的长；（2）求二面角 BAFD 的正弦值【分析】 （I）连接 BD 交 AC 于点 O，等腰三角形 BCD 中利用“三线合一”证出ACBD，因此分别以 OB、OC 分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系如图所第 19 页（共 25 页）示结合题意算出 A、B、C、D 各点的坐标，设 P（0，3，z） ，根据 F 为 PC 边的中点且 AFPB，算出 z=2，从而得到=（0，0，2） ，可得 PA 的长为2；（II）由（I）的计算，得=（，3，0） ，=（，3，0） ，=（0，2，） 利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出 =（3
32、，2）和=（3，2）分别为平面 FAD、平面 FAB 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角 BAFD的正弦值 【解答】解：（I）如图，连接 BD 交 AC 于点 OBC=CD，AC 平分角 BCD，ACBD以 O 为坐标原点，OB、OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 OC=CDcos=1，而 AC=4，可得 AO=ACOC=3又OD=CDsin=，可得 A（0，3，0） ，B（，0，0） ，C（0，1，0） ，D（，0，0）由于 PA底面 ABCD，可设 P（0，3，z）F 为 PC 边的中点，F（0
33、，1，） ，由此可得=（0，2，） ，=（，3，z） ，且 AFPB，=6=0，解之得 z=2（舍负）因此，=（0，0，2） ，可得 PA 的长为 2；（II）由（I）知=（，3，0） ，=（，3，0） ，=（0，2，） ，设平面 FAD 的法向量为 =（x1，y1，z1） ，平面 FAB 的法向量为 =（x2，y2，z2） ，第 20 页（共 25 页） =0 且 =0，取 y1=得 =（3，2） ，同理，由 =0 且 =0，解出 =（3，2） ，向量 、 的夹角余弦值为 cos ， =因此，二面角 BAFD 的正弦值等于=【点评】本题在三棱锥中求线段 PA 的长度，并求平面与平面所成角的正
34、弦值着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题20 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a2+b2+ab=c2（1）求 C；（2）设 cosAcosB=，=，求 tan 的值【分析】 （1）利用余弦定理表示出 cosC，将已知等式变形后代入求出 cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由 A+B 的度数求出 sin（A+B）的值，进而求出
35、cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函第 21 页（共 25 页）数公式化简 cos（A+B） ，将 cosAcosB 的值代入求出 sinAsinB 的值，将各自的值代入得到 tan 的方程，求出方程的解即可得到 tan 的值【解答】解：（1）a2+b2+ab=c2，即 a2+b2c2=ab，由余弦定理得：cosC=，又 C 为三角形的内角，则 C=；（2）由题意=，（cosAtansinA） （cosBtansinB）=，即 tan2sinAsinBtan（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2sinAsinBtansin（A+B）+cosAcosB=，C=
36、，A+B=，cosAcosB=，sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosBsinAsinB=sinAsinB=，即sinAsinB=，tan2tan+=，即 tan25tan+4=0，解得：tan=1 或 tan=4【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键21 （12 分）如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A、A两点，|AA|=4（）求该椭圆的标准方程；（）取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P、P，过 P、P作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点
37、均在圆 Q 外若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程第 22 页（共 25 页）【分析】 （）利用点 A（c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（）设出圆 Q 的圆心坐标及半径，由 PQPQ 得到 P 的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于 x 的二次方程后由判别式等于 0 得到关于 t 与 r 的方程，把 P 点坐标代入椭圆方程得到关于 t 与 r 的另一方程，联立可求出 t 与 r 的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆 Q 外，结合对称性即可求得圆 Q 的标准方程【解答】解：（）由题意知点 A（c，2）在椭圆上，则，即离心率，联立得：，所以 b2=8把 b
38、2=8 代入得，a2=16椭圆的标准方程为；（）设 Q（t，0） ，圆 Q 的半径为 r，则圆 Q 的方程为（xt）2+y2=r2，不妨取 P 为第一象限的点，因为 PQPQ，则 P（） （t0） 联立，得 x24tx+2t2+162r2=0由=（4t）24（2t2+162r2）=0，得 t2+r2=8第 23 页（共 25 页）又 P（）在椭圆上，所以整理得，代入 t2+r2=8，得解得：所以，此时满足椭圆上的其余点均在圆 Q 外由对称性可知，当 t0 时，t=，故所求圆 Q 的标准方程为【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题22
39、 （12 分）对正整数 n，记 In=1，2，3，n，Pn=|mIn，kIn（1）求集合 P7中元素的个数；（2）若 Pn的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 A 为“稀疏集”求 n 的最大值，使 Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集【分析】 （1）对于集合 P7 ，有 n=7当 k=4 时，根据 Pn中有 3 个数与In=1，2，3，n中的数重复，由此求得集合 P7中元素的个数（2）先用反证法证明证当 n15 时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证 P14满足要求，从而求得 n 的最大值【解答】解：（1）对于集合 P7 ，有 n=7当 k=1 时，m=1，2，3，7，Pn
40、=1，2，3，7，7 个数，当 k=2 时，m=1，2，3，7，Pn对应有 7 个数，当 k=3 时，m=1，2，3，7，Pn对应有 7 个数，当 k=4 时，Pn=|mIn，kIn=Pn=，1，2，3，中有 3 个数第 24 页（共 25 页）（1，2，3）与 k=1 时 Pn中的数重复，当 k=5 时，m=1，2，3，7，Pn对应有 7 个数，当 k=6 时，m=1，2，3，7，Pn对应有 7 个数，当 k=7 时，m=1，2，3，7，Pn对应有 7 个数，由此求得集合 P7中元素的个数为 773=46（2）先证当 n15 时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集假设当 n15时，Pn可以
41、分成两个不相交的稀疏集的并集，设 A 和 B 为两个不相交的稀疏集，使AB=PnIn 不妨设 1A，则由于 1+3=22，3A，即 3B同理可得，6A，10B又推出15A，但 1+15=42，这与 A 为稀疏集相矛盾再证 P14满足要求当 k=1 时，P14=|mI14，kI14=I14，可以分成 2 个稀疏集的并集事实上，只要取 A1=1，2，4，6，9，11，13，B1=3，5，7，8，10，12，14，则 A1和 B1都是稀疏集，且 A1B1=I14当 k=4 时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列 3 个稀疏集的并：A2=，B2=，当 k=9 时，集合|mI14中，除整数外，剩下的数组成集合，可以分为下列 3 个稀疏集的并：A3=，B3=，第 25 页（共 25 页）最后，集合 C|mI14，kI14，且 k1，4，9 中的数的分母都是无理数，它与 Pn中的任何其他数之和都不是整数，因此，令 A=A1A2A3C，B=B1B2B3，则 A 和 B 是不相交的稀疏集，且AB=P14综上可得，n 的最大值为 14【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题