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1、函数的基本性质1.1.函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义单调函数的定义单调函数的定义设函数设函数设函数设函数f f(x x)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为I I，如果对于定，如果对于定，如果对于定，如果对于定义域义域义域义域I I内某个区间内某个区间内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的值值值值x x1 1，x x2 2，当，当，当，当x x1 1 x x2 2时，时，时，时，若若若若 ，则，则，则，则f f(x x)在区间在区间在区间在区间D D上是上是上是上是
2、增函数增函数增函数增函数若若若若 ，则，则，则，则f f(x x)在区间在区间在区间在区间D D上是上是上是上是减函数减函数减函数减函数基础知识梳理基础知识梳理f(x1)f(x2)(2)(2)单调区间的定义单调区间的定义单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数若函数若函数f f(x x)在区间在区间在区间在区间D D上是上是上是上是 或或或或 ，则称函数，则称函数，则称函数，则称函数f f(x x)在这一区间上在这一区间上在这一区间上在这一区间上具有具有具有具有(严格的严格的严格的严格的)单调性，单调性，单调性，单调性，叫做叫做叫做叫做f f(x x)的单调区间的单调区间的单调区间的单调区间
3、基础知识梳理基础知识梳理增函数增函数减函数减函数区间区间D基础知识梳理基础知识梳理1.1.单调区间与函数定义域有单调区间与函数定义域有单调区间与函数定义域有单调区间与函数定义域有何关系？何关系？何关系？何关系？【思考思考思考思考提示提示提示提示】单调单调单调单调区区区区间间间间是定是定是定是定义义义义域的子区域的子区域的子区域的子区间间间间2 2函数的最值函数的最值函数的最值函数的最值(1)(1)设函数设函数设函数设函数y yf f(x x)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为I I，如，如，如，如果存在实数果存在实数果存在实数果存在实数MM，满足：，满足：，满足：，满足：对于任意的对于任
4、意的对于任意的对于任意的x xI I，都有，都有，都有，都有 .存在存在存在存在x x0 0I I，使得，使得，使得，使得 .则称则称则称则称MM是是是是f f(x x)的最大值的最大值的最大值的最大值基础知识梳理基础知识梳理f(x)Mf(x0)M(2)(2)设函数设函数设函数设函数y yf f(x x)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为I I，如，如，如，如果存在实数果存在实数果存在实数果存在实数MM，满足：，满足：，满足：，满足：对于任意的对于任意的对于任意的对于任意的x xI I，都有，都有，都有，都有 .存在存在存在存在x x0 0I I，使得，使得，使得，使得 .则称则称则称则
5、称MM是是是是f f(x x)的最小值的最小值的最小值的最小值基础知识梳理基础知识梳理f(x)Mf(x0)M基础知识梳理基础知识梳理2.2.函数的最值与函数值域有何函数的最值与函数值域有何函数的最值与函数值域有何函数的最值与函数值域有何关系？关系？关系？关系？【思考思考思考思考提示提示提示提示】函数的最函数的最函数的最函数的最值值值值与函数的与函数的与函数的与函数的值值值值域是关域是关域是关域是关联联联联的，求出了的，求出了的，求出了的，求出了闭闭闭闭区区区区间间间间上上上上连续连续连续连续函数的函数的函数的函数的值值值值域也就有了函域也就有了函域也就有了函域也就有了函数的最数的最数的最数的最
6、值值值值，但只有了函数的最大，但只有了函数的最大，但只有了函数的最大，但只有了函数的最大 (小小小小)值值值值，未必能求出函数的，未必能求出函数的，未必能求出函数的，未必能求出函数的值值值值域域域域3 3函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性函数的奇偶性基础知识梳理基础知识梳理奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性定定定定义义义义图图图图象特点象特点象特点象特点偶函数偶函数偶函数偶函数如果如果如果如果对对对对于函数于函数于函数于函数f f(x x)的定的定的定的定义义义义域内任域内任域内任域内任意一个意一个意一个意一个x x，都有，都有，都有，都有f f(x x)f f(x x)，那，那，那，那么函数么函数么
7、函数么函数f f(x x)是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数关于关于关于关于对对对对称称称称奇函数奇函数奇函数奇函数如果如果如果如果对对对对于函数于函数于函数于函数f f(x x)的定的定的定的定义义义义域内任域内任域内任域内任意一个意一个意一个意一个x x，都有，都有，都有，都有f f(x x)f f(x x)，那么函数那么函数那么函数那么函数f f(x x)是奇函数是奇函数是奇函数是奇函数关于关于关于关于对对对对称称称称y轴轴原点原点基础知识梳理基础知识梳理3.3.奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？【思考思考思考思考提示提
8、示提示提示】若函数若函数若函数若函数f f(x x)具具具具有奇偶性，有奇偶性，有奇偶性，有奇偶性，则则则则f f(x x)的定的定的定的定义义义义域关于原点域关于原点域关于原点域关于原点对对对对称反之，若函数的定称反之，若函数的定称反之，若函数的定称反之，若函数的定义义义义域不关于域不关于域不关于域不关于原点原点原点原点对对对对称，称，称，称，则该则该则该则该函数无奇偶性函数无奇偶性函数无奇偶性函数无奇偶性4 4奇偶函数的性质奇偶函数的性质奇偶函数的性质奇偶函数的性质(1)(1)奇函数在关于原点对称的区奇函数在关于原点对称的区奇函数在关于原点对称的区奇函数在关于原点对称的区间上的单调性间上的
9、单调性间上的单调性间上的单调性 ，偶函数在关于，偶函数在关于，偶函数在关于，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性原点对称的区间上的单调性原点对称的区间上的单调性原点对称的区间上的单调性 (填填填填“相同相同相同相同”、“相反相反相反相反”)基础知识梳理基础知识梳理相同相同相反相反 (2)(2)在公共定义域内，在公共定义域内，在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是两个奇函数的和是两个奇函数的和是 ，两个，两个，两个，两个奇函数的积是奇函数的积是奇函数的积是奇函数的积是 ；两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是 ；一个奇函数，一个
10、偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是 基础知识梳理基础知识梳理奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数1 1在在在在(，0)0)上是减函数的是上是减函数的是上是减函数的是上是减函数的是()答案：答案：答案：答案：D D三基能力强化三基能力强化2 2已知已知已知已知f f(x x)axax2 2bxbx是定义在是定义在是定义在是定义在 a a1,21,2a a 上的偶函数，那么上的偶函数，那么上的偶函数，那么上的偶函数，那么a ab b的的的的值是值是值是值是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：B3 3(教材习题改编教材习题
11、改编教材习题改编教材习题改编)函数函数函数函数f f(x x)x x2 22 2x x，x x a a2 21,41,4的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为_答案：答案：答案：答案：8 8三基能力强化三基能力强化函数的单调性用以揭示随着自函数的单调性用以揭示随着自函数的单调性用以揭示随着自函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小变量的增大，函数值的增大与减小变量的增大，函数值的增大与减小变量的增大，函数值的增大与减小的规律在定义区间上任取的规律在定义区间上任取的规律在定义区间上任取的规律在定义区间上任取x x1 1、x x2 2，且，且，且，且x x1 1 x x2 2的条
12、件下，判断或证明的条件下，判断或证明的条件下，判断或证明的条件下，判断或证明f f(x x1 1)f f(x x2 2)，这一过程就，这一过程就，这一过程就，这一过程就是实施不等式的变换过程是实施不等式的变换过程是实施不等式的变换过程是实施不等式的变换过程课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明课堂互动讲练课堂互动讲练例1求证：函数 f(x)1在区间(，0)上是单调增函数【思路点拨思路点拨思路点拨思路点拨】利用定义进利用定义进利用定义进利用定义进行判断，主要判定行判断，主要判定行判断，主要判定行判断，主要判定f f(x x2 2)f f(x x1 1)的
13、的的的正负正负正负正负证明：任取x1x20，则f(x2)f(x1)(1)(1)因为x1x20，所以x1x20，x2x10，所以 0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)故f(x)在(，0)上是单调增函数【规律小结规律小结规律小结规律小结】用定义证明函数用定义证明函数用定义证明函数用定义证明函数单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：(1)(1)取值：即设取值：即设取值：即设取值：即设x x1 1，x x2 2是该区间内是该区间内是该区间内是该区间内的任意两个值，且的任意两个值，且的任意两个值，且的任意两个值，且x x1 1x x2 2.(2)(2)
14、作差：即作差：即作差：即作差：即f f(x x2 2)f f(x x1 1)()(或或或或f f(x x1 1)f f(x x2 2)，并通过通分、配方、因式分解，并通过通分、配方、因式分解，并通过通分、配方、因式分解，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方等方法，向有利于判断差的符号的方等方法，向有利于判断差的符号的方等方法，向有利于判断差的符号的方向变形向变形向变形向变形课堂互动讲练课堂互动讲练(3)(3)定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x x2 2x x1 1的符号，确定差的符号，确定差的符号，确定差的符号，确定
15、差f f(x x2 2)f f(x x1 1)()(或或或或f f(x x1 1)f f(x x2 2)的符号当符号不确定时，可以的符号当符号不确定时，可以的符号当符号不确定时，可以的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论进行分类讨论进行分类讨论进行分类讨论(4)(4)判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练练习：证明函数练习：证明函数 是增函是增函数数 判断函数的奇偶性，应该首先判断函数的奇偶性，应该首先判断函数的奇偶性，应该首先判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不分析函数的定义
16、域，在分析时，不分析函数的定义域，在分析时，不分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结要把函数化简，而要根据原来的结要把函数化简，而要根据原来的结要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关构去求解定义域，如果定义域不关构去求解定义域，如果定义域不关构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函于原点对称，则一定是非奇非偶函于原点对称，则一定是非奇非偶函于原点对称，则一定是非奇非偶函数数数数课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2【思路点拨思路点拨思路点拨思路点拨】可从定义域入手
17、，可从定义域入手，可从定义域入手，可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查在定义域关于原点对称情况下，考查在定义域关于原点对称情况下，考查在定义域关于原点对称情况下，考查f f(x x)与与与与f f(x x)的关系的关系的关系的关系课堂互动讲练课堂互动讲练故故故故f f(x x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数为非奇非偶函数(3)(3)当当当当x x000，则，则，则，则f f(x x)(x x)2 2x x(x x2 2x x)f f(x x)；当当当当x x00时，时，时，时，x x00，则，则，则，则f f(x x)(x x)2 2x xx x2 2x xf f(x
18、x)课堂互动讲练课堂互动讲练综上，对综上，对综上，对综上，对x x(，0)0)(0(0，)，都有都有都有都有f f(x x)f f(x x)f f(x x)为奇函数为奇函数为奇函数为奇函数(4)(4)易知易知易知易知f f(x x)的定义域是的定义域是的定义域是的定义域是(1,0)1,0)(0,1)(0,1)，f f(x x)是奇函数是奇函数是奇函数是奇函数课堂互动讲练课堂互动讲练【说明说明说明说明】对于对于对于对于(1)(1)的结论不能只的结论不能只的结论不能只的结论不能只说奇函数或偶函数说奇函数或偶函数说奇函数或偶函数说奇函数或偶函数课堂互动讲练课堂互动讲练规律方法总结规律方法总结2 2理
19、解函数的奇偶性应注意的问题理解函数的奇偶性应注意的问题理解函数的奇偶性应注意的问题理解函数的奇偶性应注意的问题(1)(1)定义域在数轴上关于原点对称是定义域在数轴上关于原点对称是定义域在数轴上关于原点对称是定义域在数轴上关于原点对称是函数函数函数函数f f(x x)为奇函数或偶函数的必要但不充为奇函数或偶函数的必要但不充为奇函数或偶函数的必要但不充为奇函数或偶函数的必要但不充分条件分条件分条件分条件f f(x x)f f(x x)或或或或f f(x x)f f(x x)是定是定是定是定义域上的恒等式义域上的恒等式义域上的恒等式义域上的恒等式规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结(3)
20、(3)若若若若f f(x x)是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则f f(x x)f f(|(|x x|)|)，反之亦真，反之亦真，反之亦真，反之亦真若若若若f f(x x)为奇函数，且为奇函数，且为奇函数，且为奇函数，且0 0在定义域在定义域在定义域在定义域内，则内，则内，则内，则f f(0)(0)0.0.若若若若f f(x x)0 0且且且且f f(x x)的定义域关于原的定义域关于原的定义域关于原的定义域关于原点对称，则点对称，则点对称，则点对称，则f f(x x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数规律方法总结规律方法总结今天的课程到此为止谢谢观看！