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1、一元函数一元函数积分学分学(定定积分几何分几何应用和物理用和物理应用用)3.3 3.3 定积分的应用定积分的应用3.3.2 立体体积立体体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积3.3.3 平面曲线弧长平面曲线弧长 直角坐标情形直角坐标情形参数方程情形参数方程情形极坐标情形极坐标情形计算曲线弧长习例计算曲线弧长习例3-7计算立体体积习例计算立体体积习例1-23.3.4 物理应用物理应用 变力沿直线做功变力沿直线做功 变力做功习例变力做功习例8-12液体压力液体压力 液体压力习例液体压力习例13-14万有引力万有引力万有引力习例万有引力习例15函数的平均值与均方根函数的平均
2、值与均方根函数平均值习例函数平均值习例1616内容小结内容小结定定积积分分的的应应用用平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用如果一个立体，我们知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算定积分来计算.立体体积立体体积一、立体体积一、立体体积注意注意:若立体垂直于若立体垂直于 y 轴的截面面积为轴的截面面积为B(y),则则计算立体体积习例计算立体体积习例例例1例例2解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积例例1解解
3、取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积例例2 二、平面曲线弧长二、平面曲线弧长弧长元素弧长元素弧长弧长1.直角坐标情形直角坐标情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长2.参数方程情形参数方程情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长3.极坐标情形极坐标情形计算曲线弧长习例计算曲线弧长习例例例3 例例4 例例5 例例6 例例7 解解所求弧长为所求弧长为例例3 解解 例例4 解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例5 解解 例例6 解解例例7 变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、变力
4、作功包括有：电场力作功、气体压力作功、克服阻力作功、万有引力作功、克服阻力作功、万有引力作功、弹力作功等弹力作功等.三、变力沿直线所作的功三、变力沿直线所作的功 解题思路：解题思路：(1)适当选取坐标系适当选取坐标系和和积分变量；积分变量；(2)写出功元素写出功元素 dw 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 w.变力做功习例变力做功习例例例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问 作多少功？作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？若半球形贮水池平底在
5、下，问作多少功？例例11 半径为半径为R，比重为，比重为(大于大于1)的球沉入深为的球沉入深为H(2R)的的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？例例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？解解功元素功元素所求功为所求功为点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解
6、解建立坐标系如图建立坐标系如图例例9 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为米，底半径为3米，池内盛满米，池内盛满 了水了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？问要把池内的水全部吸出，需作多少功？这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)例例10 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？问作多少功？(2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？若半球形贮水池平底在下，问作多少功？解解(1)如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力
7、为这一薄层水的重力为(2)如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 y 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为注意：注意：也可建立另一如图所示的坐标系，也可建立另一如图所示的坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x 为积分变量，为积分变量，这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为例例11 半径为半径为R，比重为，比重为(大于大于1)的球沉入深为的球沉入深为H(2R)的的 水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？解解如图所示建立坐标系，如图所示建立坐标系，则边界曲线方程为则边界曲线方程为选选 x
8、 为积分变量，为积分变量，将其取出水面总行程为将其取出水面总行程为H,在水中行程为在水中行程为H 2R x,在水外行程为在水外行程为H (H 2R x)2R x,在水中作功的力为在水中作功的力为在水外作功的力为在水外作功的力为此时功元素为两部分此时功元素为两部分之和之和(水中与水外水中与水外)解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为例例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的
9、功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为四、液体压力四、液体压力解题思路：解题思路：(1)适当选取坐标系适当选取坐标系和和积分变量；积分变量；(2)写出液体压力元素写出液体压力元素 dF 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 F.液体压
10、力习例液体压力习例解解在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图解解建立坐标系如图建立坐标系如图斜边方程为斜边方程为积分变量为积分变量为小面积小面积五、万有引力五、万有引力 解题思路：解题思路：(1)适当选取坐标系适当选取坐标系和和积分变量；积分变量；(2)写出引力元素写出引力元素 dF 的表达式；的表达式；(以不变代变，其中用了公式以不变代变，其中用了公式(3)列出定积分并求值即得列出定积分并求值即得 F.解解建立坐标系如图建立坐标系如图将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为万有引力习例万有引力习例 小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力元素引力元素水平方向的分
11、力元素水平方向的分力元素铅直方向的分力元素铅直方向的分力元素六、函数的平均值与均方根六、函数的平均值与均方根 1.平均值平均值 实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：求气温在一昼夜间的平均温度问题：求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：连续函数入手点：连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.讨论思想：分割、求和、取极限讨论思想：分割、求和、取极限.(1)分割：分割：每个小区间的长度每个小区间的长度设各分点处的函数值为设各分点处
12、的函数值为函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.(2)求和：求和：(3)取极限：取极限：函数函数 在区间在区间 上的平均值为上的平均值为几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度解解设电阻为设电阻为R,功率功率一个周期区间一个周期区间平均功率平均功率则电路中的电压为则电路中的电压为函数平均值习例函数平均值习例 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一2.均方根均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均功率通常交流电器上标明的功率就是平均功率.交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值称为有效值按定义有按定义有有效值计算公式的推导有效值计算公式的推导:即即结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 内容小结内容小结1.已知平行截面面积函数的立体体积2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.功、液体压力、万有引力、平均值、均方根谢谢观赏！2020/11/552