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1、小波基础小波基础l线性代数（高等代数）；线性代数（高等代数）；l数字信号处理；数字信号处理；l泛函分析初步；泛函分析初步；lMatlabl数字图像处理；数字图像处理；1Y=kx与y=kx+bLinear space（线性空间）（线性空间）2Normed space（赋范空间与范数）（赋范空间与范数）绝对值=模=长度=距离=范数3Examples4Hilbert Space（内积与希尔伯特空间）内积与希尔伯特空间）5Orthogonality6Orthogonal system（正交系）（正交系）7Basis（基）（基）线性无关向量线性无关向量线性无关向量线性无关向量线性表出线性表出线性表出线性
2、表出8Direct sum（直和）（直和）9线性空间线性空间线性空间线性空间空间内元素满足线性运算空间内元素满足线性运算空间内元素满足线性运算空间内元素满足线性运算线性赋范空间线性赋范空间线性赋范空间线性赋范空间巴拿赫空间巴拿赫空间巴拿赫空间巴拿赫空间希尔伯特空间希尔伯特空间希尔伯特空间希尔伯特空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间酉空间酉空间酉空间酉空间L L2 2空间空间空间空间线性线性线性线性+范数范数范数范数+完备完备完备完备线性线性线性线性+范数范数范数范数+完备完备完备完备+内积内积内积内积线性线性线性线性+范数范数范数范数线性空间线性空间10l l函数函数函数函数映射映射映射映射f
3、:f:数集数集数集数集XX数集数集数集数集Y Y。例：y=f(x)l l泛函泛函泛函泛函映射映射映射映射J:J:抽象集抽象集抽象集抽象集XX数集数集数集数集Y Y。例：y=Jf(x)=F(x)+cl l算子算子算子算子映射映射映射映射A:A:抽象集抽象集抽象集抽象集XX抽象集抽象集抽象集抽象集Y Y。l l 例：例：例：例：y=Ax (x,yy=Ax (x,y都是向量都是向量都是向量都是向量)11l l电脑不能处理无限的，连续的数据。电脑不能处理无限的，连续的数据。l l例如：无穷大，趋于例如：无穷大，趋于0，连续函数，连续函数l l电脑只能处理离散的，有限长的数据序列。电脑只能处理离散的，有
4、限长的数据序列。l l例如：例如：t=0:0.001:1024l l 数据长度有限（不是无穷大）数据长度有限（不是无穷大）l l 数据间隔有限（不是无穷小）（离散）数据间隔有限（不是无穷小）（离散）12l l信号信号信号信号时间域：反映不同时间点的情况时间域：反映不同时间点的情况时间域：反映不同时间点的情况时间域：反映不同时间点的情况l l 频率域：频率域：频率域：频率域：F F变换系数变换系数变换系数变换系数l l 空间域：传播距离，对应深度等空间域：传播距离，对应深度等空间域：传播距离，对应深度等空间域：传播距离，对应深度等l l同一点不同时刻的振动同一点不同时刻的振动同一点不同时刻的振动
5、同一点不同时刻的振动y=sin(t)y=sin(t)l l tt时间时间时间时间l l yy幅度幅度幅度幅度l l离散离散离散离散是对时间进行间隔采样（是对时间进行间隔采样（是对时间进行间隔采样（是对时间进行间隔采样（x x轴离散）轴离散）轴离散）轴离散）l l量化量化量化量化就是对幅度也离散（就是对幅度也离散（就是对幅度也离散（就是对幅度也离散（y y轴离散）轴离散）轴离散）轴离散）l l数字信号数字信号数字信号数字信号只有二者都离散后，才可称为只有二者都离散后，才可称为只有二者都离散后，才可称为只有二者都离散后，才可称为。l l （才可以在电脑上处理）（才可以在电脑上处理）（才可以在电脑上
6、处理）（才可以在电脑上处理）13l l采样点间隔：一般是等时间间隔采样（采样点间隔：一般是等时间间隔采样（采样点间隔：一般是等时间间隔采样（采样点间隔：一般是等时间间隔采样（tsts）l l （等步长）（等步长）（等步长）（等步长）l l采样点数：数出一共取了多少个样点采样点数：数出一共取了多少个样点采样点数：数出一共取了多少个样点采样点数：数出一共取了多少个样点(N(N点点点点)l l采样总长度采样总长度采样总长度采样总长度=离散总长度离散总长度离散总长度离散总长度=（点数（点数（点数（点数-1-1）x x间隔间隔间隔间隔l l 例如：例如：例如：例如：t=1:0.01:1024t=1:0.
7、01:1024l l 若若若若tsts单位是秒，单位是秒，单位是秒，单位是秒，l l 则总时间则总时间则总时间则总时间t=(1024-1)x0.01=10.23(s)t=(1024-1)x0.01=10.23(s)l l采样频率：采样频率：采样频率：采样频率：fs=1/ts=100(Hz)fs=1/ts=100(Hz)14l l信号（周期的）本身频率信号（周期的）本身频率y=sin(t)l l 信号周期信号周期信号周期信号周期T=2pi/1 T=2pi/1 信号频率信号频率信号频率信号频率f=1/T=1/2pi f=1/T=1/2pi 采样周期（间隔）采样周期（间隔）0：0.01：1024 采
8、样周期采样周期采样周期采样周期ts=0.01ts=0.01 采样频率采样频率采样频率采样频率fs=1/ts=1/0.01=100fs=1/ts=1/0.01=100时间采样频率是频谱信号的信号周期时间采样频率是频谱信号的信号周期频率离散间隔对应时间信号的信号同期频率离散间隔对应时间信号的信号同期152.f(t)的频谱（线频谱）f(t)分解为傅氏级数后包含哪些频率分量和各分量所占“比重”用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段进行表示，并按频率的高低把它们依次排列起来所得到的图形，称为 f(t)的频谱。幅度频谱：表示出各谐波分量的振幅。相位频谱：把各次谐波的初相用相应的线段依次排列得到。16利用利用
9、 FFT 进行频谱分析进行频谱分析l l利用利用利用利用FFTFFT进行频谱分析的基本方法进行频谱分析的基本方法进行频谱分析的基本方法进行频谱分析的基本方法设设设设 为长为为长为为长为为长为 N N 的有限长序列，则：的有限长序列，则：的有限长序列，则：的有限长序列，则：利用利用利用利用 FFT FFT 进行频谱分析的实现过程框图为：进行频谱分析的实现过程框图为：进行频谱分析的实现过程框图为：进行频谱分析的实现过程框图为：N=2m17离散时间、连续频率离散时间、连续频率离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 时域的离散化造成频域的周
10、期时域的离散化造成频域的周期时域的离散化造成频域的周期时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于延拓，而时域的非周期对应于延拓，而时域的非周期对应于延拓，而时域的非周期对应于频域的连续频域的连续频域的连续频域的连续18图17-8 当T=2,5,10时周期矩形波的频谱矩形周期信号（矩形周期信号（矩形周期信号（矩形周期信号（不变，不变，不变，不变，T T变化时）的频谱变化时）的频谱变化时）的频谱变化时）的频谱时间信号周期时间信号周期时间信号周期时间信号周期越大越大越大越大频率离散间隔频率离散间隔频率离散间隔频率离散间隔越小越小越小越小19时间采样频率是频谱信号的信号周期时间采样频率是频谱
11、信号的信号周期时间采样频率是频谱信号的信号周期时间采样频率是频谱信号的信号周期频率离散间隔对应时间信号的信号同期频率离散间隔对应时间信号的信号同期频率离散间隔对应时间信号的信号同期频率离散间隔对应时间信号的信号同期时间信号本身周期时间信号本身周期时间信号本身周期时间信号本身周期T0T0信号频率信号频率信号频率信号频率F0F0时间信号采样周期时间信号采样周期时间信号采样周期时间信号采样周期TT采样频率采样频率采样频率采样频率fs fs频率信号本身周期频率信号本身周期频率信号本身周期频率信号本身周期fs fs频率采样间隔频率采样间隔频率采样间隔频率采样间隔F0F0F0=fs/N=/2时间信号一个周
12、期长度时间信号一个周期长度时间信号一个周期长度时间信号一个周期长度T0=NTT0=NT时间信号一个周期采样点数时间信号一个周期采样点数时间信号一个周期采样点数时间信号一个周期采样点数N NN=T0/T=(1/F0)/(1/fs)=fs/F0N=T0/T=(1/F0)/(1/fs)=fs/F020l l几个常用基本概念几个常用基本概念几个常用基本概念几个常用基本概念利用利用 FFT 进行频谱分析进行频谱分析1 1、数字频率分辨率：、数字频率分辨率：、数字频率分辨率：、数字频率分辨率：2 2、模拟频率分辨率：、模拟频率分辨率：、模拟频率分辨率：、模拟频率分辨率：3 3、用于、用于、用于、用于FFT
13、FFT的采样点数：的采样点数：的采样点数：的采样点数：4 4、频率刻度值：、频率刻度值：、频率刻度值：、频率刻度值：5 5、模拟信号长度：、模拟信号长度：、模拟信号长度：、模拟信号长度：6 6、分辨率：、分辨率：、分辨率：、分辨率：21例例例例1-11-1在某工程实际应用中，有一信号的主要在某工程实际应用中，有一信号的主要在某工程实际应用中，有一信号的主要在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是由频率成分是由频率成分是由频率成分是由50 Hz50 Hz和和和和300 Hz300 Hz的正弦信号组成，的正弦信号组成，的正弦信号组成，的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，该
14、信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，该信号被一白噪声污染，现对该信号进行采样，采样频率为采样频率为采样频率为采样频率为1000 Hz1000 Hz。通过傅里叶变换对其频率。通过傅里叶变换对其频率。通过傅里叶变换对其频率。通过傅里叶变换对其频率成分进行分析。成分进行分析。成分进行分析。成分进行分析。22解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其解该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析，其MATLABMATLAB程序程序程序程序如下
15、：如下：如下：如下：t t0 0：0.0010.001：1.31.3；%时间间隔为时间间隔为时间间隔为时间间隔为0.0010.001说明采样频率为说明采样频率为说明采样频率为说明采样频率为1000 Hz1000 Hz x xsin(2*pi*50*t)sin(2*pi*50*t)sin(2*pi*300*t)sin(2*pi*300*t)；%频率为频率为频率为频率为50 Hz50 Hz和和和和300Hz300Hz的信号的信号的信号的信号 f fx x3.5*randn(13.5*randn(1，length(t)length(t)；%在信号中加入白噪声在信号中加入白噪声在信号中加入白噪声在信号
16、中加入白噪声subplot(321)subplot(321)；plot(f)plot(f)；%画出原始信号的波形图画出原始信号的波形图画出原始信号的波形图画出原始信号的波形图Ylabel(Ylabel(幅值幅值幅值幅值)；Xlabel(Xlabel(时间时间时间时间)；title(title(原始信号原始信号原始信号原始信号)；y yfft(ffft(f，1024)1024)；%对原始信号进行离散傅里叶变对原始信号进行离散傅里叶变对原始信号进行离散傅里叶变对原始信号进行离散傅里叶变 换，参加换，参加换，参加换，参加DFTDFT的采样点个数为的采样点个数为的采样点个数为的采样点个数为102410
17、24p py.*conj(y)/1024y.*conj(y)/1024；%计算功率谱密度计算功率谱密度计算功率谱密度计算功率谱密度 ff ff1000*(01000*(0：511)/1024511)/1024；%计算变换后不同点所对应的频率值计算变换后不同点所对应的频率值计算变换后不同点所对应的频率值计算变换后不同点所对应的频率值subplot(322)subplot(322)；plot(ffplot(ff，p(1p(1：512)512)；%画出信号的频谱图画出信号的频谱图画出信号的频谱图画出信号的频谱图Ylabel(Ylabel(功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度)；Xlabel(Xl
18、abel(频率频率频率频率)；title(title(信号功率谱图信号功率谱图信号功率谱图信号功率谱图)；程序输出结果如图程序输出结果如图程序输出结果如图程序输出结果如图1.11.1所示。所示。所示。所示。23从图从图从图从图1.1(a)1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信中我们看不出任何频域的性质，但从信中我们看不出任何频域的性质，但从信中我们看不出任何频域的性质，但从信号的功率谱图号的功率谱图号的功率谱图号的功率谱图(图图图图1.1(b)1.1(b)中，我们可以明显地看出中，我们可以明显地看出中，我们可以明显地看出中，我们可以明显地看出该信号是由频率为该信号是由频率为该信号是由频
19、率为该信号是由频率为50 Hz50 Hz和和和和300 Hz300 Hz的正弦信号和频的正弦信号和频的正弦信号和频的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看率分布广泛的白噪声信号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。出信号的频率特性。出信号的频率特性。出信号的频率特性。24基一维基一维基一维基一维25小波分解和小波分解和小波基小波基 小波基D小波基A原始信号小波系数wd小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得“小波系数”分量反变换：所有“小波分解”合成原始信号 例如：小波分解 a=小波
20、系数 wa 小波基A基二维基二维基二维基二维26小波基表示发生的时间和频率小波基表示发生的时间和频率“时频局域性时频局域性时频局域性时频局域性”图解：图解：图解：图解：FourierFourier变换的基（上）小波变换基（中）变换的基（上）小波变换基（中）变换的基（上）小波变换基（中）变换的基（上）小波变换基（中）和时间采样基（下）的比较和时间采样基（下）的比较和时间采样基（下）的比较和时间采样基（下）的比较 傅里叶变换(Fourier)基小波基时间采样基27小波原始信号分解过程：小波原始信号分解过程：原始信号原始信号原始信号原始信号s s可分解成小波近似可分解成小波近似可分解成小波近似可分解
21、成小波近似 a a 与小波细节与小波细节与小波细节与小波细节d d 之和。之和。之和。之和。s s=a a+d d小波系数小波系数小波系数小波系数 w=ww=wa a ,w,wd d 的分量，乘以的分量，乘以的分量，乘以的分量，乘以 基函数，形成小波分解：基函数，形成小波分解：基函数，形成小波分解：基函数，形成小波分解：小波近似系数小波近似系数小波近似系数小波近似系数wwa a 基函数基函数基函数基函数A=A=近似分解近似分解近似分解近似分解 a a-平均平均平均平均小波细节系数小波细节系数小波细节系数小波细节系数wwd d 基函数基函数基函数基函数D=D=细节分解细节分解细节分解细节分解 d
22、 d-变化变化变化变化 28小波小波分析分析在一维信号处理中的应用在一维信号处理中的应用小波变换小波变换就是将就是将就是将就是将 “原始信号原始信号原始信号原始信号 s”s”变换变换变换变换 成成成成 “小波小波小波小波 系数系数系数系数 w”w”，w=ww=wa a ,w,wd d 包括近似包括近似包括近似包括近似(approximation)approximation)系数系数系数系数wwa a 与细节与细节与细节与细节(detail)detail)系数系数系数系数wwd d 近似系数近似系数近似系数近似系数wwa a-平均成分（低频）平均成分（低频）平均成分（低频）平均成分（低频）细节系数细节系数细节系数细节系数wwd d-变化成分（高频）变化成分（高频）变化成分（高频）变化成分（高频）29由尺度函数得到正交小波基由尺度函数得到正交小波基由尺度函数得到正交小波基由尺度函数得到正交小波基30离散小波变换公式离散小波变换公式l l信号信号信号信号 s s 有有有有MM个样本，个样本，个样本，个样本，J J 级小波变换：级小波变换：级小波变换：级小波变换：小波分解小波系数正变换正变换正变换正变换反变换反变换反变换反变换小波基函数小波基函数小波基函数小波基函数31