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1、第69讲排列与组合考试要求1.排列与组合（B级要求）；2.高考中对本讲的考查将以运用排列、组合解决有关问题.注重与概率问题的联系，形成小综合问题.晅归教材;夯实基础：诊断自测1.思考辨析（在括号内打“ J ”或“ X ”）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.（）（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（）（4）（+1）! n =！.（） a*=/2A 汇 L（）左a=cxi.（）答案义（2）X （3）4 （4）4 （5）4 N2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为.解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙
2、供3人选择就座，因此任何两人不相邻的 坐法种数为A?=4X3X2=24.答案24.（2018苏州模拟）安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后 面，则排法的种数为.解析 先全排列有Ag,甲、乙、丙的顺序有A1,乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序A夕有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，共4种顺序，所以不同排法的种数为4X消=480.答案480.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生,种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A芬中排法，即满足 条件的四位数的个数为A纪从a=8.答案8.现有5名教师要带3个兴趣小
3、组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人， 但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种（用数字作答）.解析第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有 dA3=18（种）；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组, 有AU3=36（种）.根据分类计数原理可得，共有36+18=54（种）.答案54.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.解析 分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A?种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把
4、3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有c4aZ种分法.总获奖情况共有A3+C3aZ=6O（种）.答案60.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品6相邻，产品A与产品。不相邻，则不同的摆 法有 种.解析 先考虑产品A与5相邻，把A, 3作为一个元素有AM种摆法，而A, 5可交换位置， 所以有2A4=48（种）摆法，又当A, 3相邻且又满足A, C相邻，有2Am=12（种）摆法，故满足 条件的摆法有4812=36（种）.答案36.将A,B,C, D, 产六个字母排成一排，且A, 8均在C的同侧，则不同的排法共有种（用数字作答）.解析 从左往右看，若C排在第1位，共有AW= 120（种）排法；若
5、C排在第2位，A和5有C 右边的4个位置可以选，共有A用=72（种）排法；若C排在第3位，则43可排C的左 侧或右侧，共有AA3+A*/=48（种）排法；若C排在第4, 5, 6位时，其排法数与排在 第3, 2, 1位相同，故共有2X（120+72+48）=480（种）排法.答案48011.2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到 “9999”共10 000个号码中选择.公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个 数字“8”的一律作为“金猴卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴 卡”，求这组号码中“金猴
6、卡”的张数.解 当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C?X9X9=486（张）；当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有CgX9X9=486（张）.但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C2=6, 即“金猴卡”共有486X26=966（张）.12 .有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下 围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋 比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A, 3名会下围棋但不会下象棋的同学组成 集合5, 4名既会下围棋又会下象棋
7、的同学组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以分为 以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C1 C3 = 6（种）；第二类：。中选1人参加象棋比赛，3中选1人参加围棋比赛，方法数为CLG=12（种）； 第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为Cl - G=8（种）;第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为a3=12（种）.由分类计数原理，知不同的选派方法共有6+12+8+12=38（种）.二、选做题.已知集合M=1, 2, 3, 4, 5, 6,集合A, B,。为的非空子集，若?A、zC, %Vyz恒成立，贝ij称“A5C”为集合
8、M的一个“子集串”，则集合M的“子集串”共 有 个.解析由题意可先分类，再分步：第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有Cg种取法，第二步, 分成三组，共Cg种分法，所以共有CECg个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共 G种取法，然后将这5个元素分成三组共C2种分法，所以共有CR2个子集串；同理含4个元 素的子集串数为c2d;含3个元素的子集串数为C?C幺集合M的子集串共egeg+eld+aa +C&C3=U1（个）.答案山.某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如图所示）._BA（1）图中共有多少个矩形？（2）从A点到B点最近的走法有多少种？解（1）在7条竖
9、线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成1个矩形，故可组成矩形C 3=210（个）.（2）每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到3最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，选出4段走南北方向的，共有C%=C，o=21O（种）走法.所以共有210种走法.那么不同的选派方案有 种.解析分两类：有1名女生：Gc?=8.有2名女生：&=6.，不同的选派方案有8+6= 14（种）.答案145.（教材改编）用数字1, 2, 3, 4, 5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为解析
10、 末位数字排法有AJ种，其他位置排法有A?种，共有 A3a3=48（种）.答案48知识梳理1 .排列与组合的概念.排列数与组合数名称定义排列从n个不同元素中取出加W）个兀素按照一定的顺序排成一列组合并成一组（1）排列数的定义：从九个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不 同元素中取出m个元素的排列数，用 型表示.组合数的定义：从个不同元素中取出血加个元素的所有组合的个数,叫做从个不 同元素中取出m个元素的组合数，用理表示.2 .排列数、组合数的公式及性质I考点突破llllr h r分类讲练;以例求法公式九1（1）A7但一1）（一2）5加+1）一（）！；m_AJ?_n(一一1) (，一
11、2) (一二+1)nA(2)C 人份mm (一加)！性质(1)0! =1； A；?=n!；(2)C7=C厂僧；C%i=C“+C#；(3)C2=京呜；(4)CW=CD +。曰 +C 仁 + H办(5)Cff=C 胃 C9-+。厂 CL+ +C，C伊1 + C，C 生-考点一排列问题【例1】3名女生和5名男生排成一排.（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？（3）（一题多解）如果女生不站两端，有多少种排法？（4）其中甲必须排在乙前面（可不邻），有多少种排法？（5）（一题多解）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？解（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把
12、她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6 个元素，排成一排有Ag种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A3种排法，因此共有 Ag - Al=4 320（种）不同排法.（2）（插空法）先排5个男生，有A?种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个 位置排女生，有A2种排法，因此共有AW - Ag= 14 400（种）不同排法.法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有Ag种排法，剩 余的位置没有特殊要求，有Ag种排法，因此共有Ag - Ag= 14 400（种）不同排法.法二（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有At种排法，其余位置无限制，有AW
13、 种排法，因此共有A”屁=14 400（种）不同排法.（4）8名学生的所有排列共A解中，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中/，符合要求的 排法种数为:Ag20 160（#）.（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A外中；甲不在最右边时，可从余下6 个位置中任选一个，有AA种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有Al种, 其余人全排列,共有Ah A卜Ag种.由分类加法计数原理，共有A彳+Ah Ah Ag=30 960（种）.法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A3种，但应剔除乙在最右边时的排
14、法Ah Ag种，因此共有Al Ag=30 960（种）.法三（间接法）8个人全排，共A解中，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A3种，乙在最 右边时，有A3种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有AE种.因此共有 -2A?+A=30 960（种）.规律方法排列应用问题的分类与解法（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时 一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过 多的问题可以采用间接法.（2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件 的排列问题的常用方法.【训I练
15、1】（1）3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有 种不同的排法.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 种.解析（1）问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A=2 520（种）排法.当最左端排甲时，不同的排法共有Ag种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一, 则不同的排法共有CLAM种.故不同的排法共有AW+C1M= 120+96=216（种）.答案（1）2 520 （2）216考点二组合问题【例2】 若从1, 2, 3,，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同 的取法的种数是.要从12人中选出5人去参加一项活动，A, B,。三人
16、必须入选，则有 种不同选法.解析（D因为1，2, 3,9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有d+C3+CgCl=66（种）不同的取 法.（2）只需从4, B,。之外的9人中选择2人，即有C&=36（种）不同的选法.答案6636规律方法 组合问题常有以下两类题型变化（1） “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素 补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.（2） “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至 多”这两个关键词的含义，谨防重复
17、与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分 类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练21某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解（1）从余下的34种商品中，选取2种有C4=561（种），某一种假货必须在内的不同取法有561种.（2）从34种可选商品中，选取3种，有C%种或者C5C%=C%=5 984（种）
18、. 某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CioC?5 = 2 100（种）.，恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.（4）选取2件假货有C%）C，5种，选取3件假货有种，共有选取方式CioC?5+C?5=2 100+455 =2 555（种）. 至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.选取3件的总数为C%因此共有选取方式C5C彳5=6 545-455 = 6 090（种）.至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.考点三排列与组合问题的综合应用【例3】（1）（2018扬州月考）把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品8相邻
19、，且产品A 与产品。不相邻，则不同的摆法种数为.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同 类节目不相邻的排法种数是.（2018常州检测）从1, 2, 3, 4, 5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三 个数字中有2和3时，2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有 个.解析（1）将A、8捆绑在一起，有A3种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A?种摆法， 故共有AlM=48（种）摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、。相邻有C4B、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2XA1=12（种）摆法，故4、3相邻，A、C不相
20、邻的摆法有4812 = 36（种）.先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三 种：“小品1,小品2,相声”，“小品1,相声，小品2”和“相声，小品1,小品2” .对于 第一种情况,形式为“口小品1歌舞1小品2口相声口”，有A纪从4=36（种）安排方法;同 理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“口 小品1口相声口小品2口”，有A3Al=48（种）安排方法.由分类计数原理知共有36+36+48 = 120（种）安排方法.（3）分三类：第一类，没有2, 3,由其他三个数字组成三位数，有Al=6（个）； 第二类，只有2或
21、3其中的一个，需从1, 4, 5中选两个数字组成三位数，有 2dAm = 36（个）；第三类，2, 3均有，再从1, 4, 5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成=9（个）.由分类计数原理，知这样的三位数共有51个.答案 36 （2）120 （3）51规律方法 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略相邻问题捆绑法.在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之 后，再考虑它们“内部”的排列.（2）相间问题插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用.（3）特殊元素（位置）优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其
22、他一般元素 或位置.（4）多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类 计数原理求出排列总数.【训练3】（2017浙江卷）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2 人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法（用数字作答）.解析 第一类，先选1女3男，有CgC2=40种，这4人选2人作为队长和副队长有AZ=12 种，故有40X12=48。种，第二类，先选2男2女，有C支2=15种，这4人选2人作为队长 和副队长有AZ=12种,故有15X12=180种,故总共有480+180=660种.答案660|保时作业；分层训练,提升
23、能力；一、必做题.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定 要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为. 解析（捆绑法）爸爸排法有A夕种，两个小孩排在一起故看成一体，有A3种排法，妈妈和孩子 共有用种排法，.排法种数共有A3a3A1 = 24（种）.答案242.7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有 种排法（用数字作答）.解析先排最中间位置有一种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C?种排法，再 排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为Cg=20（种）.答案20.在航天员进行的
24、一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序8和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 种.解析 程序A有Al=2（种）结果，将程序5和。看作一个元素与除A外的3个元素排列有A3 A=48（种），由分步计数原理，知实验编排共有2X48=96（种）方法.答案96.将A, B, C, D, E排成一列，要求A, B,。在排列中顺序为“A, B,。”或“C, B, A”（可以不相邻），这样的排列数有 种.解析（消序法）五个元素没有限制全排列为Ag,由于要求A, B,。的次序一定（按A, B, C或C, B, A）,故除以这三个元素的全排列AL a5可得 AjX
25、2=40（种）.答案40.（2017南京质检）某校高二年级共TT 6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的 两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为.解析 法一 将4人平均分成两组有*2种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A专种.所以不同的安排方法有JdAg=90（种）.法二 先从6个班级中选2个班级有CW种不同方法，然后安排学生有C3C夕种，故有C&C支之=支 3=90（种）.答案90.（2016南京师大附中模拟）用1, 2, 3, 4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一 个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为.解析 首先排两个奇数1, 3,有A芬中排法，再在2, 4中取一个数放在1, 3排列之间，有