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1、排列、组合和二项式定理1.两个原理.(1)分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合 数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。 只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的 则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计 数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较更杂的问题，常先分类再分步，分 类相加，分步相乘.(2) 一个模型：影射3个数若A有年n个元素，B有m个元素，则从A到B能建立利个不同的影射n件不同物品放入m个抽屉中，不限放法，共有
2、多少种不同放法？(解/种)四人去争夺三项冠军，有多少种方法？从集合A;1, 2, 3到集合B=3, 4的映射f中满足条件f (3) =3的影射个数是多少？ 求一个正整数的约数的个数(3)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a” a2,.a,其中限重复数为m、n2nk,且n=n.+n2+nk,则S的排列个数等于=-.!./如：已知数字3、2、2,求其排列个数型=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？1!2!其排列个数 = 2 = 1. 曳2.排列数 A；中 2 m2 1, 、777 e N、组合数 C；中 n in, n ,m 0,小e N.(1)排
3、列数公式A； = ( 1 )( 2)(一 5 +1) = - (m 4 )； A： =！ = (- 1 )( - 2) 21 o (/i-m)!如1! +2! +3! +n!(24wN)的个位数字为 (答：3)；(2)满足 k (keN*, 2，-1)的非负整数解有C，(“_2)g)个.方程内+刍+工”=7( N, )满足条件占 ，：/气 (邛/，. +(-1)七：/。特别提醒：项与项数、项的系数与二项式系数、奇数项与奇次项、偶数项与偶次项的 区别分别是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在(4( + )”的展开式中，第r+1项的二项式系数为C；，第r+1项
4、的系数为而(x +2)的展开式中的系数就是二项式系数;当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写 x出各项的二项式系数；审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式 系数？注意展开式的逆用，注意展开式中的项是否去首、少尾；必须关注n是正整数，r是 非负整数(r=0的情形容易忽视)，且如(D (2/一白)7的展开式中常数项是 (答：14)；(2)(1 + x)3+(14-x)4+ +(1+/严的展开式中的/的系数为(答：330)；(3)数If00-1的末尾连续出现零的个数是(答：3)；(4)(伍 +啦严展开后所得的x的多项式中，系数为有理数的项共有一项(答：7)；(5)若 I - 6%
5、 + 15x2 - 20/ +15/ _ 6/ + x61(xeN且xW21)的值能被5整除，则x的可取值的个数有一 个(答：5)；(6)若冲 (),且r + y = l,二项式*+)，)9按x降嘉展开后，其第二项不大于第三项，则x 的取值范围是 (答：(l,+oo)；函数/。) = (1一/4+(1+疝4的最大值 是 (答：1024).(8)已知等比数列&的首项为a,公比为q.求和：aC：+C：+&C；+-+a+C：.0 I2n 0I2n解：&C +aC +&C + + &- =aiCn +3 4-aiqCn +，+ aqC 012it=a (C +4 =+ 4X+生厂 +。2004”200
6、4,则（。0+。1）+（。0+。2） + （4+。2004）= （答：2004）； （3）设（1+1 + 工2） =。+ax + a2x2 + - - + a2nxln ,3 +1则。（）+ 生 +. +。2 = （答：）。8、系数最大项的求法：系数若就是二项式系数，利用二项式系数的最大值性质来求，否则设了的系数为Af+1,那么A川为最大的必要而不充分的条件是：A川2人且4+i44（若比商的话，注意A川的正负）如（1）求（6-严的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答： 2?105 -系数绝对值最大的项为-15小，系数最大的项为）8（2）二项式（1-幻4向的展开式系数最大的项是（）A.第2n+l项B.第2n+2项C.第2n项D第2n+l项或2n+2项注：若通过系数绝对值来求时，注意系数的正负9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、 应用其首尾儿项进行放缩证明不等式。如（1） （0.998尸精确到0.001近似值为 （答：o 990）；（2） 1+3 + 3?+ 3被4除所得的余数为（答：0）；（3）今天是星期一，1005天后是星期 （答：二）；（4）求证：32”+28 9（N*）能被 64 整除；（5）求证：3 5 + 2）27（N*,且 2）