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1、命题与证明本课内容本节内容2.2证明与定理证明与定理 下列命题哪些正确？哪些错误？下列命题哪些正确？哪些错误？说一说说一说（1），（），（2）（）（3）是错的是错的，（4）是正确的是正确的.（1 1）每一个月都有）每一个月都有3131天；（天；（2 2）如果）如果a是有理数，是有理数，那么那么a是整数是整数.（3 3）同位角相等；）同位角相等；（4 4）同角的补角相等同角的补角相等.结论结论 我们把正确的命题称为我们把正确的命题称为真命题真命题，把错误的命题称为把错误的命题称为假命题假命题判断下列命题是真命题还是假命题判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角相等的角是对顶角(2)内
2、错角相等内错角相等(3)大于大于90度的角是平角度的角是平角(4)如果如果ab，bc，那么，那么ac真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题举举例例1、同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行.2、如果两个角都是直角，那么如果两个角都是直角，那么这这两个角相等两个角相等.逆命题：两直线平行，同旁内角互补逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假假3、如果一个整数的个位数字是如果一个整数的个位数字是5 5，那么，那么这这个整数能被个整数能被5 5整除整除.逆命题：如果一个整数能被逆命题：如果一个整
3、数能被5 5整除，那么这个整数的整除，那么这个整数的 个位数字是个位数字是5.5.假假说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.牛刀小试牛刀小试 像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道像此例那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理理(推理推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作这个过程叫作证明证明.（1）如果如果a是整数，那么是整数，那么a是有理数；是有理数；解解 如果如果a是整数，是整数，根据有理数的定义：根据有理数的定义：“整整数和分数统称为有理数数和分数统称为有理数”，得出得出a是实数是实数.因此命题因此命题(1)为
4、真为真结论结论 像此例像此例那样，找出一个例子，它符合命题的条件，那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作个过程叫作举反例举反例.（2）如果）如果a是有理数，那么是有理数，那么a是整数是整数解解 0.50.5是有理数，是有理数，因此命题因此命题(2)为假为假但是但是0.50.5不是整数不是整数.判断下列命题为真命题是根据什么呢？判断下列命题为真命题是根据什么呢？说一说说一说 是分别根据有理数、是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定等腰（等边）三角形的定义作出的判断义作出的判断 （1）如果）如果
5、a是整数，那么是整数，那么a是有理数；是有理数；（2）如果）如果三角形三角形ABCD是是等边三角等边三角形，那么它是形，那么它是等腰等腰三角形三角形 从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？去判断命题的
6、真假呢？动脑筋动脑筋结论结论数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在长期人们在长期实践中总实践中总结结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的始依据，这样的真命题叫做真命题叫做真命题叫做真命题叫做基本事实基本事实基本事实基本事实。有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真真真真命题叫做命题叫做命题叫做命题叫做定理。定理。古希腊数学家古
7、希腊数学家欧几里得欧几里得(Euclid，约公元前约公元前330前前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为作为证明的原始依据，称这些真命题为公理公理.欧几里得欧几里得结论结论小知识小知识 欧几里得按照这种方法欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法现在称为公理化方法)编写编写了一本书，书名叫了一本书，书名叫原本原本.全书共分全书共分13卷，包括有卷，包括有5条条公理，公理，5条公设，条公设，119个定义和个定
8、义和465条命题，构成了历史条命题，构成了历史上第一个数学公理体系上第一个数学公理体系（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不近代数学对此不再区分，都称为公理再区分，都称为公理.).)举例：举例：1 本书中常用的基本事实：本书中常用的基本事实：过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线.（2 2）两点之间，线段最短两点之间，线段最短.（1 1）（3 3）经过直线外一点，有且只有一条直线经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行与已知直线平行.举例
9、：举例：2.2.定理：定理：同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等.（2 2）余角的性质：）余角的性质：同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等.（4 4）垂线的性质：）垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1 1）补角的性质：）补角的性质：（3 3）对顶角的性质：）对顶角的性质：对顶角相等对顶角相等垂线段最短垂线段最短.内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行.（5 5）平行线的判定定理：）平行线的判定定理：定理也可以作为判断其他命题真假的依据定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的由某定理直接得出
10、的真命题叫作这个定理的推论推论.结论结论 例如，例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的两个内角的和”称为称为“三角形内角和定理的推三角形内角和定理的推论论”，也可称为，也可称为“三角形外角定理三角形外角定理”平行线的性质定理平行线的性质定理 两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等平行，那么同位角相等动脑筋动脑筋平行线的基本事实平行线的基本事实 两两条条直直线线被被第第三三条条直直线线所所截截，如如果果同同位位角角相相等等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行上述这两个定理是不是上述这两
11、个定理是不是互逆互逆的的命题？命题？1212结论结论 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.例如，例如，平行线的基本事实平行线的基本事实是是平行线的性质定理平行线的性质定理的的逆定理逆定理下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来 两条直线被第三条直线所截，如果这两直线两条直线被第三条直线所截，如果这两直线 平行，那么内错角相等；平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
12、那么这两条直线平行；那么这两条直线平行；牛刀小试牛刀小试练习练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是绝对值最小的数是0；答：真命题答：真命题（2）相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线在同一平面内，如果直线al，bl，那么那么ab.答：假命题答：假命题答：假命题答：假命题答：真命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；两个锐角的和是钝角；（2）如果数如果数a，b
13、的积的积ab0，那么，那么a，b都是正数；都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：答：-1和和-3的积是的积是(-1)()(-3)0，-1和和-3不是正数不是正数.答：两条相交的直线答：两条相交的直线a、b被第三条直线被第三条直线l所截，所截，它们的同位角不相等它们的同位角不相等3.试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。内错角相
14、等，两直线平行。小结与复习小结与复习证明证明1.说明一个命题是真命题的方法：说明一个命题是真命题的方法：举反例举反例2.说明一个命题是假命题的方法：说明一个命题是假命题的方法：3.基本事实、定理、互逆定理基本事实、定理、互逆定理.中考中考 试题试题 题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；所以它是错的；解解下列四个命题中是真命题的有下列四个命题中是真命题的有（）.同位角相等；同位角相等；相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；直角三角形两直角三角形两锐角互余；锐角互余；三个内角相等的三角形是等边三角形三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个C 题相等的角并不一定是对顶角；题相等的角并不一定是对顶角；题正确；题正确；题正确题正确.作业作业P59 习题习题2.2 A组组 3、4结束结束