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1、一道习题的多角度挖掘习习 题题（初中几何第三册（初中几何第三册117页页B组第组第2题）题）已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且 OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延线于点的延线于点R.求证：求证：RP=RQ.OABPQR123451231223306 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB，P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：
2、求证：RP=RQ.OABPQ123451231223306R 一一 一一 题多解题多解OBPARQC 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.123451231223306ORBQPAD 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线
3、于点R.求证求证：RP=RQ.123451231223306BORQPA 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点 Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.123451231223306RQAPBC 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=R
4、Q.123451231223306ORQAPBC 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.123451231223306O 二二 一题多变一题多变 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且 OAOB,P是是OA上上任意一点，任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的的延长线于点延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.ABR
5、 探索一：如果原题中的结论探索一：如果原题中的结论RP=RQ，与条件与条件RQ是是 O的切的切线互换。问所得结论成立吗？如线互换。问所得结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，果成立，请证明，如果不成立，说明理由。说明理由。123451231223306QOPPBQAR 已知：如图已知：如图OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.探索二：如果点探索二：如果点P运动到运动到OA的延长线上时，其它条件不变，的延长线上时，
6、其它条件不变，问原题的结论还成立吗？若问原题的结论还成立吗？若成立成立,请证明，若不成立，说请证明，若不成立，说明理由。明理由。123451231223306二二 一题多变一题多变 OB 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.RQA 探索三：已知探索三：已知OA OB，如果如果OA向上平移，问原题的向上平移，问原题的结论还成立吗？若成立，请结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由。证明
7、，若不成立，说明理由。123451231223306二二 一题多变一题多变 POOBCROQAP 三三 一题多用一题多用 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且OAOB,P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.在原题的基础上延长在原题的基础上延长RO交交 O 于点于点C.（1）求证：求证：RP =RARC 2123451231223306BCROQA三三 一题多用一题多用 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且
8、OA OB,P是是OA上任意上任意一点，一点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.在原题的基础上延长在原题的基础上延长RO交交 O于点于点C.（1）求证：求证：RP =RARC 2 (2)P为为OA上任意一点（与上任意一点（与O，A不重合）若不重合）若OP=x,RP=y,且且OB=2.求求 y与与x之间的函数关系式。之间的函数关系式。123451231223306PBCROQAP三三 一题多用一题多用 已知：如图，已知：如图，OA和和OB是是 O的半径，并且的半径，并且 OA OB,P是是OA上任意一
9、上任意一点，点，BP的延长线交的延长线交 O于点于点Q,过点过点Q作作 O的切线交的切线交OA的延长线于点的延长线于点R.求证：求证：RP=RQ.在原题的基础上延长在原题的基础上延长RO交交 O于点于点C.（1）求证：求证：RP =RARC 2 (2)P为为OA上任意一点（与上任意一点（与O、A不重合）不重合）若若OP=x,RP=y,且且OB=2.求求y与与x之间的之间的 函数关系式。函数关系式。（3）若）若 O的半径为的半径为23，OA=3OP 试判断试判断RPQ的形状？并求出其周长的形状？并求出其周长123451231223306(2)P为为OA上任意一点（与上任意一点（与O、A不合）不合
10、）若若OP=x,RP=y,且且OB=2.求求y与与x之间的之间的函数关系式函数关系式。解：解：OB=2 OP=x，RP=y RA=ROOA=x+y 2 RC=OR+OC=x+y+2 由（由（1）得）得 RP =RARC 即即 y =（x+y 2）（x+y+2）化简化简 得得 y=2/x x/2（0 x 2）y与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为 y=2/x x/2（0 x 2）22BCROAP123451231223306Q（3）若）若 O的半径为的半径为23，OA=3OP试判断试判断RPQ的形状？并求出其周长的形状？并求出其周长解解：23，且，且 又又 为为 23 3 由由原题原题可知
11、可知 RPQ为为等边三角形等边三角形 设设RPQ的边长为的边长为 根据（）可得根据（）可得 （23）（）（23）解方程得：解方程得：RPQ的的周长为周长为 23一BCROAP123451231223306Q 思考题思考题 如图，正方形如图，正方形ABCD中，有一直径为中，有一直径为BC的半圆的半圆,BC=2cm。现有两点现有两点E、F，分别从点分别从点B、点、点A同时出发，点同时出发，点E 沿线段沿线段BA以以1cm/s的速度向点的速度向点A 运运动，点动，点F沿折线沿折线A-D-C以以2cm/s的速度向点的速度向点C运动运动,设点设点E离开点离开点B的时间为的时间为t（秒）秒）（1）当）当t 为何值时，线段为何值时，线段 EF与与BC 平行？平行？（2）设）设1 t 2，当，当t为何值时，为何值时，EF与半圆相切？与半圆相切？（3）当）当1 t 2时，设时，设EF与与AC相交于点相交于点P，问点问点E、F运动时，点运动时，点P的位的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求明，并求AP：PC的值。的值。123451231223306ABCD