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1、兰州理工大学兰州理工大学 20152015 级线性系统理论大作业级线性系统理论大作业线性系统理论线性系统理论 MatlabMatlab 实验报告实验报告1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成 2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：.0.80.02 0.051x x0.0010u0.020y x1,x2
2、其中，系统的状态变量 x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量 u1=纸浆流量 u2=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于 5解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于 5，而特征根是正数时系统不稳定，这样的设计是无意义的，故而不妨采用状态反馈后的两个期望特征根为-7，-6，这样满足题目中所需的要求。要对系统进行状态反馈的设计首先要判断其是否能控，即求出该系统的能控性判别矩阵，然后判断其秩，从而得出其是否可控。Matlab 判断该系统可控性和求取状态反
3、馈矩阵 K 的程序,如图 1 所示，同时求得加入状态反馈后的特征根并与原系统的特征根进行了对比。1图 1 系统能控性、状态反馈矩阵和特征根的分析程序上述程序的运行结果如图 2 所示：图 2 系统能控性、反馈矩阵和特征根的运行结果2图 2 中为图 1matlab 程序的运行结果，经过判断得知系统是可控的，同时极点的配置个数与系统状态相符，求得了状态反馈矩阵 K 的值，并把原系统的特征根（rootsold）和加入状态反馈后的特征根（rootsnew）进行对比。同时通过特征值可以看出该系统是稳定的。2、描述恒速制导导弹的运动方程为：100 0-0.1-0.500.x 0.5000010001000.
4、5y 00010 x0010 0 x0u 0000运用 ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；计算从 u 到 Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；说明恒速制导导弹是否稳定？讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）。解：该题是通过描述的恒速制导导弹的运动方程求解相应问题。（a）运用 ctrb 函数计算系统的能控性矩阵，并判断该系统不可控，详细 matlab程序和判断结果如图 3 和图 4 所示。
5、图 3 是判断该系统能控性的 matlab 程序，通过求得能控性矩阵 Qc，并通过秩判据来判定该系统是否能控。3图 3 系统能控性的判别程序判定的结果如图 4 所示：图 4 系统的能控性矩阵和能控性判定结果通过 matlab 分析求得了系统的能控性矩阵 Qc，同时通过秩判据判定该系统不可控。（b）、（c）计算 u 到 y 的传递函数，并通过 tf2ss 函数确定新的状态变量模型，同时判断该模型是能控的。具体程序如图 5 所示，判断的结果如图 6 示。4图 5 确定新状态空间并判定能控性的程序图 6 系统的传递函数、新的状态空间模型和能控性判定结果5分析得知 u 到 y 的传递函数可通过状态空间
6、描述的矩阵求得，同时通过 tf2ss函数确定了新的状态空间（A1，B1，C1，D1），运用函数ss 求得新模型的状态方程，再通过能控型矩阵判定系统的能控性。显然得到系统是可控的，同时还要声明通过传递函数求得空间描述和通过状态矩阵求得结果不同，从而验证了传递函数对系统的内部描述不完整。（d）判断恒速制导导弹系统稳定性以下通过求得矩阵的特征值即传递函数的极值点来判断该系统是否稳定。图 7是求取极值点的程序，通过 roots 和 eig 函数来求取，目的进行必要的对比。图 8是通过两种途径获得的系统的极值点。图 7 求取极值点的源程序6图 8 是图 7 程序的运行结果：图 8 系统的传递函数和极值点
7、从求得的结果中可以看出其特征值的根的实部都不是正数，从而就说明了该系统在李雅普洛夫意义下是稳定的。图 9 系统的单位阶跃响应7通过程序给系统一个单位阶跃信号，从上图可以看出系统不是严格收敛的，而是发散的。（e）状态变量模型的能控性和复杂性的关系（用状态变量的数目来度量复杂性）。讨论状态变量模型的能控性与复杂性的关系。很直观地讲，一个系统要能控，必须要其能控型判别矩阵的秩等于系统的阶数也即就是状态变量的数目，但是反过来，系统越复杂，状态变量的个数越多，能控型判别矩阵要求满足的秩也就越大，也即意味着越难达到要求，从而其能控性也就越不容易满足。从而可以得出结论，即越复杂的系统越不容易达到完全可控。3
8、、垂直起降的飞机的线性化模型为：=Ax+B1u1+B2u2其中0.01880.4555 0.03660.02710.04821.01000.00244.0208A 0.10020.3681.0.70701.4200 0010 0.4422 0.1761 3.54467.5922 ,B2B15.5200 4.4900 00系统的状态变量为水平速度x1（节）、垂直速度x2（节）、倾斜率x3（度/秒）和倾斜角x4（度）；系统的控制输入为u1和u2，其中u1用于控制垂直运动，u2用于控制水平运动。(a)计算系统矩阵A的特征值，并由此判断系统是否稳定；(b)利用 poly 函数确定A的特征多项式，计算特
9、征根，并与(a)中得到的特征根相比较；(c)当只有u1发挥作用时，系统能控吗？当只有u2发挥作用时，结果又如何？请比较解释你的结论。8解：通过给定的垂直起降的飞机的线性化模型分析系统的属性（a）计算系统矩阵 A 的特征值，并根据特征值判断系统是否稳定图 10 矩阵 A 的特征值和 u1、u2 分别作用的能控性判别程序（b）利用 poly 函数确定 A 的特征多项式，计算特征值，并与（a）中的结果进行对比（c）当只有 u1 作用时，系统能控性；只有 u2 作用时，系统能控性。针对以上三点问题，通过图 10 所示的 matlab 程序来判断所有问题，最终的结果在图 11 中显示。求取矩阵 A 的特
10、征值和 u1、u2 分别作用时系统可控性的运行结果：9图 11 特征值、特征多项式和 u1、u2 分别作用的能控性结果其中 roots1 是通过 eig 函数求得的状态矩阵 A 的特征值，显然有两个特征值具有正实部，故系统不稳定；Q1 是通过 poly 函数确定的 A 的特征多项式，roots2是通过roots 函数求得的 A矩阵的特征多项式的根，经过对比发现 roots1 和 roots2的数值一样；只有 u1 或者 u2 作用是通过能控型矩阵 Qc，用秩判据得到系统都是可控的。dimA 是通过 size 函数求得矩阵 A 的维数。对比的当 u1 与 u2 发挥作用时所对应的能控型判别矩阵的
11、秩都为 4，即其秩等于系统的阶数也就是矩阵 A 的维数，从而说明在这两种情况下，系统均为能控。104、为了探究月球背面（远离地球的一面）的奥秘，人们付出了不懈的努力。例如，在地球-太阳-月球系统中，人们希望通信卫星能定点在不受月球遮挡的轨道上，并为此开展了广泛的论证研究工作。图中给出了预期卫星轨道的示意图，从地球上看上去，卫星轨道的光影恰似环绕月球的外层光晕，因此这种轨道又称为光晕轨道。轨道控制的目的是，使通信卫星在地球可见的光晕轨道上运行，从而保证通信链路的畅通，所需的通信链路包括从地球到卫星和从卫星到月球背面共两段线路。卫星绕定点位置运动时，经过标准化和线性化的漂移运动方程为：001000
12、000000 x 0007.380902.19040203.1904000000000010 00001x u1 u2 u32010001000 0000 1其中，状态变量x是卫星在三个方向上的位置和速度漂移，输入ui(i 1,2,3)分别是轨控发动机在、和方向上产生的加速度。(a)卫星的定点位置是否稳定？(b)如果只有u1发挥作用，卫星是否能控？(c)如果只有u2发挥作用，卫星是否能控？(d)如果只有u3发挥作用，卫星是否能控？(e)如果能够测得方向的位置漂移，请确定由u2到该位置漂移量的传递函数。（提示：可以令观测输出为y 0 10000 x）(f)用 tf2ss 函数，计算(e)中得到的
13、传递函数的状态变量模型，并验证该轨迹子系统是能控系统；(g)采用状态反馈u2 Kx，设计合适的反馈控制器，使(f)中得到的系统的闭环极点为s1,2 1 j和s3,4 10。解：在给定的卫星绕定点位置运动时的标准化和线性化的漂移运动方程，通过matlab 分析一下几点问题。11图 12 系统稳定性和 u1、u2、u3 分别作用时的能控性（1）关于卫星的定点位置的稳定性和分别只有 u1 或者 u2 或者 u3 作用时，卫星的能控性通过图 12 的程序来判断，判断结果在图 13 中显示。卫星定位系统的稳定性和 u1、u2、u3 分别作用时的能控性判别结果如图 13 所示12图 13 系统特征根和 u
14、1、u2、u3 分别作用的能控性判别结果图 14 系统极值点分布图通过图 13 可以看出系统的极值点（roots1）中有大于零的点，直观的从图 14的系统极值点分布图中看出在虚轴的右半平面上有一个极值点，所以系统是不稳定的；从图 13 中还可以发现系统在只有 u1 或者 u2 或者 u3 作用时，均不可控。13（2）确定由 u2 到漂移量的传递函数并确定传递函数所对应的状态变量模型，然后验证其为能控系统。执行程序如图 15 所示，该程序用于求解传递函数和状态模型，并验证该模型的能控性。运行的结果如图 16 所示。图 15 传递函数、状态变量模型和能控性求解程序以上程序中求得了新系统的传递函数以
15、及状态空间模型，并通过求取系统的能控性矩阵，根据秩判据判定系统的可控性，由 if 语句来选取，把最终结果显示在命令窗口。图 15 程序的运行结果如图 16 所示：14图 16 传递函数、状态空间描述和能控性的结果图 16 中显示了由 u2 到 n 方向的位置漂移量的传递函数，以及通过tf2ss 函数得到该传递函数的状态变量模型，最后验证得到该模型是能控的。（3）在给定状态空间描述的基础上采用状态反馈 u2=-Kx，使得（1）中得到的模型的闭环极点为-1+j，-1-j，-10，-10.具体程序如图 17 所示，运行的结果如图 18,图 19 所示。15图 17 状态反馈设计的程序：图 17 状态
16、反馈设计程序该程序首先判定极值点是否配置合理，求得反馈矩阵，并画出加入状态反馈后的根轨迹，再求得加入状态反馈后系统的零极点及增益，最后画出系统加入反馈后的阶跃响应图。图 18 是上述程序运行得到的反馈矩阵和系统的零极点以及增益值。16图 18 状态反馈矩阵、零极点和增益其中 K 是状态反馈矩阵，zI 是加入状态反馈后的零点，pI 是加入状态反馈后的极点，gainI 是系统增益，透过极点可以看出系统是稳定的。通过图 18 可以看出再加入状态反馈 K 时，求得的极点正好是期望的值，也验证了求取的正确性。最后求得加入状态反馈时系统的增益。通过图 19 可以看出系统是渐近稳定的。图 19 是加入状态反
17、馈后系统的根轨迹和阶跃响应：17图 19 加入反馈 K 时系统的根轨迹和阶跃响应从图 19 看到系统是稳定的正好验证了极值点实部小于零系统稳定，同时可以发现系统在加入状态反馈后调节时间较快。5、在 8.2 风力机的一阶模型中，采用浆距角控制风力机的转速，风速的变化视为扰动，设计风力机转速的闭环 PI 控制，使转速恒定。解：给定风力机的一阶模型，采用浆距角控制风力机转速，风速变化视为扰动，设计风力机的 PI 控制，使转速恒定。PI 控制器的模型为 K1+K2/s，从而可以求出该系统闭环系统的特征方程为S2+0.3397K1*S+0.3397K2=0要使得该风力机稳定运行，则需让特征方程的根具有负
18、实部。syms s k1 k2;s=solve(s2+0.339*k1*s+0.339*k2)18s=-(339*k1)/2000-(114921*k12)/1000000-(339*k2)/250)(1/2)/2 (114921*k12)/1000000-(339*k2)/250)(1/2)/2-(339*k1)/2000使其为负数，从而可得出 K1=180，K2=86,得到的 PI 控制器就能满足要求，不妨取 K1=80，K2=60.simulink 仿真如图 20 所示。图 20 加入 PI 控制的系统仿真图其中输入采用阶跃信号，扰动信号为单位脉冲。在未加入扰动信号时，只有阶跃信号输入的
19、系统响应如图 21 所示：图 21 未加脉冲扰动只有阶跃信号输入的输出响应19图 22 在加入脉冲扰动情况下系统输出响应通过图 21 和 22 对比发现系统能很好的通过反馈调节使系统在扰动情况下趋于稳定，同时可以看出调节速度较快，所以得到的PI 控制器可以满足所要求的指数。6、在 8.2 风力机的三阶模型中，采用浆距角控制风力机的转速，风速的变化视为扰动，电磁转矩视为常数，采用状态反馈和极点配置算法，设计风力机转速的闭环控制系统。解：理论上一般选取观测器的期望极点为传递函数极点的 2 到 5 倍为佳，在以下程序中选取观测器的极值点为-2.2986e004,-300，-0.0286e004。具体
20、求解程序如图23 所示。同时通过求取加入状态反馈后的伯德图，根轨迹以及单位阶跃响应来判定系统的稳定性和调节速度。通过图 23 的分析程序，我们能得到图 24 能控性矩阵和状态反馈矩阵 K，图 25的加入状态反馈后系统的伯德图以及图 26 的根轨迹，图27 的反馈系统的阶跃响应曲线。图 23 是利用极点配置算法求取风力机转速的闭环控制系统的程序：20图 23 系统状态反馈矩阵的求取程序图 24 能控性矩阵和状态反馈矩阵 K图 25 是加入反馈矩阵 K 时系统的伯德图：21图 25 加入状态反馈后系统的伯德图图 26 加入状态反馈后系统的根轨迹图图 27 是加入状态反馈后系统的单位阶跃响应：22图
21、 27 加入状态反馈后系统的单位阶跃响应在求取系统状态反馈时，首先应该判断该系统的能控性，所以程序开始通过求取能控型矩阵，运用秩判据来判断系统能控性，把结果显示在命令窗口。图 24 中Qc 是能控型矩阵，判断结果为系统可控，并求得状态反馈矩阵 K。通过图 25，图26，图 27 分析得知系统在加入反馈后，系统不仅稳定而且调节和响应速度较快。7、给定风力机的三阶模型，采用浆距角控制风力机的转速，风速变化视为扰动，设计风力机的 LQR 控制器。解：在 设 计LQR控 制 器 时，首 先 要 确 定 加 权 矩 阵Q（不 妨 选 取Q=diag(4e004,0,1e004),R=1），然后直接利用l
22、qr 函数求取 LQR 控制器的状态反馈矩阵 k。求取程序如图 28 所示：23图 28 LQR 控制器的求取程序图 29 LQR 控制器的状态反馈矩阵 k同时在图 28 所示的程序中求取加入状态反馈后系统的伯德图，根轨迹和单位阶跃24响应，如图 30，图 31，图 32 所示。图 30 加入状态反馈后系统的伯德图图 31 加入状态反馈后系统的根轨迹图图 32 是加入状态反馈后系统的单位阶跃响应：25图 32 加入状态反馈后系统的单位阶跃响应通过图 28 所示的程序求得了 LQR 控制器的状态反馈矩阵 k 在图 29 中显示。同时求得加入反馈后系统的伯德图，根轨迹和单位阶跃响应。可以看出加入反
23、馈后系统不仅稳定而且响应较快。8、风力机的三阶模型中表示系统轴上的扭转弹力第二个状态是不容易测量的状态变量，设计关于该状态的观测器，并构成状态反馈系统。解：题目要设计风力机三阶模型的状态反馈及其状态观测器，并且为降维观测器，由于输出矩阵 C 的秩为 1，故而降维观测器的维数为 3-1=2；不妨设状态反馈的期望极点为-4e004，0，-1e004，状态观测器的期望极点为-20，-30 则相应的设计程序如下：图 33 是设计降阶观测器的程序：26图 33 设计降阶观测器的程序图 33 的状态观测器设计程序的运行结果如下：27续图 34（1）：图 34（1）状态观测器运行结果28图 34（2）状态观
24、测器运行结果35 是加入状态反馈和降维观测器时系统的根轨迹图：29图图 35 状态观测器下的系统根轨迹图图 36 状态观测器下的系统伯德图图 37，图 38，图 39 分别是状态 x1，x2 和 x3 的实际状态与观测状态的对比。30图 37 状态 x1 和 x1*的对比图 38 状态 x2 和 x2*的对比31图 39 状态 x3 和 x3*的对比程序中所求出的 k 即为状态反馈控制器的状态反馈矩阵，Lr 为降维观测器所求矩阵。由程序所求的矩阵则可构成所求状态反馈控制器与降维观测器。通过观测状态和实际状态的对比发现 x1=x1*，x3=x3*，只有状态 x2 不容易测量，需要状态观测器来观测。32