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1、习题习题 1 11-1已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(costi sint j)其中为常量求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。解：(1)由r=R(costi sint j)，知：x Rcost，y Rsint消去 t 可得轨道方程：x y R质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为 R 的圆；（2）由v 222d r，有速度：v Rsinti Rcost jdt12而v v，有速率：v(Rsint)2(Rcost)2R。21-2已知质点位矢随时间变化的函数形式为r 4t i(32t)j，式中r的单位为 m，t的单位为 s。求：（1）质点的轨道；（2）从t 0到t 1秒的位移；（3）
2、t 0和t 1秒两时刻的速度。解：（1）由r 4t i(32t)j，可知x 4t，y 32t消去 t 得轨道方程为：x(y 3)，质点的轨道为抛物线。（2）由v 222d r，有速度：v 8ti 2 jdt从t 0到t 1秒的位移为：r v d t(8ti 2 j)d t 4i 2 j0011（3）t 0和t 1秒两时刻的速度为：v(0)2 j，v(1)8i 2 j。21-3已知质点位矢随时间变化的函数形式为r t i 2t j，式中r的单位为 m，t的单位为 s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由v d rd v，有：v 2ti 2 j，a
3、，有：a 2i；dtdt12（2）而v v，有速率：v(2t)222at 2 t21a2at22t 12dvdt2tt 12222，利用a at an有：an。1-4 一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为12gt（1）212y2 v0t at（2）2y1 y2 d（3）y1 v0t（注意到y1为负值，有y1 y1）联立求解，有：t 2d。g a2d。g a1解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度
4、修正为g g a，利用d 12dgt2，有：t g21-5一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；（3）落地前瞬时小球的yhv0d rd vd v，。d td td t解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：x1212Ox v0t，y hgt，r v0ti(hgt)j；22gx2（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：y 2h（为抛物线方程）；2v0d r12 v0i gt j，（3）r v0ti(hgt)j，d t2d v g j即：v v0i gt j，d t在落地瞬时，有：t 又v 2x2yd r2h v0i 2gh j
5、，d tg202g 2ghg2tdvv v v(gt)，。2dtv2(gt)212v02gh01-6路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.证明：设人向路灯行走，t 时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2，由相似三角形关系可得：x1x1 x2h2，x1h1h1x2h1h2h1h2x1x2Od x1h1d x2d x2 v1，考虑到：d th1h2d td td x2h1v1（常数）知人影中头的速度：v影。d th1h2两边对时间求导有：21-7一质点沿直线运动，其运动方程为x 2 4t 2t(m)，在 t 从 0 秒到
6、 3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在03s 的时间间隔内，质点速度为0 的位置：v dx 4 4t若v 0解得t 1s，dtx1 x1 x0(2 4 2)2 2mx3 x3 x1(2 43 232)(2 4 2)8mx x1 x210m。1-8一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角 30，问它第二次碰到斜面的位远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时2h 20cm，斜面对水置距原来的下落点多人射角等于反射角)。解：小球落地时速度为v02gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，1vx0 v0cos600 x v0co
7、s600t gcos600t2（1）21vy0 v0sin600y v0sin600t gsin600t2（2）22v0第二次落地时：y 0，代入（2）式得：t，g22v0122gh002 4h 80cm。所以：x v0cos60 t gcos60 t 2gg1-9地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s。2解：由向心力公式：F，向 mR22赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向 mg，而现在赤道上物体的向心力为：F 向 mamgg98016.98170maa3.41-
8、10已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx v0cos，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。因此有：g v2112v0cos2g(v0cos)21，yv0vxganx；v0g（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成角，则：an g cos，2v0有：gcos则：2。gcos22v01-11一飞行火箭的运动学方程为x ut u(t)ln(1bt)，其中b 是与燃料燃烧速率有关的量，u 为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度
9、。解：一维运动，直接利用公式：v 1bdxdv，a 有：dtdtdxdvub（1）v uln(1bt)，（2）a dtdt1bt1-12飞机以v0100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h 98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?y解：设此时飞机距目标水平距离为x有：v0h3Oxx v0t，h 12gt2x 77.50。h联立方程解得：x 447m，arctan1-13一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 49.0m/s，而气球以速度v 19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第
10、二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？解：物体在任意时刻的速度表达式为：vy v0 gt故气球中的观察者测得物体的速度v vy v代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度：v29.8m，（向上）s第三秒末物体速度：v3 0第四秒末物体速度：v4 9.8m（向下）。s思考题思考题 1 11-1质点作曲线运动，其瞬时速度为v v，瞬时速率为v，平均速度为v v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（A）v v v,v v v；（B）v v v,v v v；（C）v v v,v v v；（D）v v v,v v v答：（C）1-2沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，
11、则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。答：B1-3如图所示为 A，B 两个质点在同一直线上运动的vt图像，由图可知（A）两个质点一定从同一位置出发（B）两个质点都始终作匀加速运动（C）在t2s末两个质点相遇（D）在0t2s时间内质点 B 可能领先质点 A答：D1-4质点的x t关系如图，图中a，b，c三条线表示三它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？答：匀速直线运动；va vb vc。1-5 如图所示，两船A和B相距R，分别以速度v vA会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离
12、 图答：方法一：如图，以A 船为参考系，在该参考系的速度v v v vB Bv vA。个速度不同的运动 问和v vB匀速直线行驶，它们中和为已知。中船 A 是静止的，而船 B条平行于v v方向的直线相靠最近的距离4v v是船B相对于船A的速度,从船B作一BC,它不与船 A 相交,这表明两船不会相碰.由 A 作 BC 垂线 AC,其长度rmin就是两船rmin Rsin作 FD/AB,构成直角三角形DEF，故有：sin在三角形 BEF 中,由余弦定理可得：v vBsinvAsin，v22vAvB 2vAvBcos()rminvBsinvAsinv v 2vAvBcos()2A2BR。方法二：两船
13、在任一时刻t的位置矢量分别为：r rA A(vAtcos)i i(vBtsin)j jr rB B(R vBtcos)i i(vBtsin)j jr r r rB-r rA AR(vBcos vAcos)ti i(vBsinvAsin)tj j任一时刻两船的距离为：r R(vBcosvAcos)t2(vBsinvAsin)t2dr(t)令：0dtvBcos vAcost R22(vBcos vAcos)(vBsinvAsin)vBsinvAsinrminR。22vA vB 2vAvBcos()1-6若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？（A）d rd rd vd vd
14、 ad a 0，0；0，0；0，0（B）（C）d td td td td td t答：(1)质点作圆周运动；(2)质点作匀速率曲线运动；(3)质点作抛体运动。1-7如图所示，质点在 t=0 时刻由原点出发作斜抛运动，其速度v vxivyj，回到 x 轴的时刻为 t，则（A）（C）tttt0vdt vxdt（B）0t00vdt vydt0t0t0vdt vxdt（D）vdt vydt0t答：A（注意：题目中各处的v 应为矢量！须加上箭1-8一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，t1t1t1y头。）（1）说明下面三个积分的意义：vxdt,0v dt,0vdt；0（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，
15、说明下面三个积分的意义：BBBdr r,At1dr r,Adr。A答：vxdt表示物体落地时 x 方向的距离，0t1v0ydt表示物体落地时 y 方向的距离，5t1vdt表示物体在t时间内走过的几何路程，10Bdr r抛出点到落地点的位移，ABdr r抛出点到落地点位移的大小，AB dr抛出点到落地点位移的大小。A习题习题 2 22-1质量为 16kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx 6N，fy 7N，当t 0时，x y 0，vx 2m/s，vy 0。当t 2s时，求：(1)质点的位矢；(2)质点的速度。解：由axfy7fx63m/s2，有：axm/s2，aym16m1
16、68235a dt 22 m/s，0 x84277vy vy0aydt 2 m/s。016857于是质点在2s时的速度：v i jm/s481212131 7（2）r (v0t axt)i ayt j (224)i()4 j22282 16137 i jm48（1）vx vx022-2质量为 2kg 的质点在 xy 平面上运动，受到外力F 4i 24t j的作用，t=0 时，它的初速度为v0 3i4 j，求 t=1s 时质点的速度及受到的法向力Fn。解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。d vd v2，有：4i 24t j 2，两边积分有：dtd tvt132v0d v 02(4i 24t
17、j)dt，v v0 2ti 4t j，考虑到v0 3i 4 j，t 1s，有v1 5i由于在自然坐标系中，v vet，而v1 5i（t 1s时），表明在t 1s时，切向速度方向就是i方向，所由：F m2以，此时法向的力是j方向的，则利用F 4i 24t j，将t 1s代入有F 4i 24 j 4et 24en，Fn 24N。62-3如图，物体A、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是多少？解：分别对 A，B 进行受力分析，可知：mAg T mAaA2T mBaB1aBaA2则可计算得到：aA4g。
18、5木箱，车板与箱底间的算拉车的力F为多少板车与木箱具有相同2-4如图，用质量为m1的板车运载一质量为m2的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计才能保证木箱不致滑动？解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。即：a fm2gfFmaxm1m2m2m2m2可得：F(m1m2)g解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为Fmax，列式有：Fmaxm2g m1am2g m2a联立得：Fmax(m1m2)g，有：F(m1m2)g。2-5如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为(tg)。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a的范围。解法一
19、：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：N sin N cos mgN c os m1aN s i n可计算得到：此时的a1tang1tan列式为：（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图 b），N sinmg N cosN sinN cos ma2tan可计算得到：此时的a2g，所1tantang a。1ta解法二：考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中，将物体 m 受力沿x和y方向分解，如图示，同时考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：7以：ngtNa1ntmaym
20、gxx方向：mgsinmacos f 0y方向：N mgcosmasin 0考虑到f N，有：mgsinmacos(mgcosmasin)0，sincostang g。解得：a cossin1tantantang a g。a的取值范围：1tan1tan2-6质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv又由牛顿第二定律可得：f m分离变量，可得：所以：v v0e考虑到ktmdvdv，则kv m
21、dtdt0dvtdvkk dt，两边同时积分，有：dt，v0v0vmm（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v 0的时候子弹的位移，则：xmaxdvdv dxdxm，v，可推出：dx dv，而这个式子两边积分就可以得到位移：dtdx dtdtk0mm dv v0。v0kk2-7质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，m2求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。m1解：利用隔离体方法，设方形物m2相对于劈形物m1沿斜面下滑的加速度为a2，劈形物m1水平向左的加速度为a1，分析受力有：方形物m2受力：m2g，N1，m2a1（惯性力）；劈形
22、物m1受力：m1g，N1，N2，如图；对于m2，有沿斜面平行和垂直的方程为：N1m2m2gm2a1m2a1cosm2gsin m2a2N1m2a1sin m2g cos对于m1，有：m1aN1s i n1m1a1m2a1sin m2gcos，sinm sincos(m1m2)singa ga12，代入，有：2m1m2sin2m1m2sin2再将a2在水平和竖直两方向上分解，有：N2将代入有：8m1N1m1ga2x(m1m2)sincosg2m1m2sin(m1m2)sin2a2yg a2y2m1m2sinm sincosga2x aa2x 1m1m2sin2m1m2cosm ag而相互作用力：
23、N11 1sinm1 m2sin22-8在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一小擦系数为，在t 0时，球的速率为v0，求任一时刻球的速球紧靠圆筒内壁运动，摩率和运动路程。v2解：利用自然坐标系，法向：N m，而：f NRdvv2dv 切向：f m，则：dtRdtv1tv0R2dv dt，得：v v0v0RR v0 tttvtdtRln(10)S vdt v0R00RvtR02-9如图，一质点在几个力作用下沿半径为R 20m的圆周运动，其中有一恒力F 0.6iN，求质点从 A 开始沿逆时针方向经3/4 圆周到达 B 的过程中，力F所做的功。解：本题为恒力做功，考虑到B 的坐标为（R，R）
24、，r rBrA 20i 20 j，再利用：A F r，有：A 0.6i(20i 20 j)12（焦耳）yOxBAF2-10质量为 m=0.5kg 的质点，在 xOy 坐标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=0.5(SI),从 t=2s 到 t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？解：由功的定义：A F r，题意：r 5t i 0.5 j2r24d2r r(4)r(2)60i，F m2 0.510i 5idtA 5i 60i 300J。22-11一质量为m的物体，在力F (at i bt j)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。解：由P F v，要求功率就必须
25、知道力和速度的情况，由题意：9v F11 11dt(ati bt2j)dt(at2i bt3j)mmm 23所以功率为：P F v(ati bt2j)1 1211 11(at i bt3j)(a2t3b2t5)。m 23m 2322-12一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F (52.8x38.4x)i，其中F和x单位分别为N和m。（1）计算当将弹簧由x1 0.522m拉伸至x21.34m过程中，外力所做之功；（2）此弹力是否为保守力?解：（1）由做功的定义可知：AF d x x1x21.340.522(52.8x38.4x2)dx 26.4(x22 x12)12.6(x23 x13)
26、69.2J（2）F(x)F(x)i，按保守力的定义：F(x)dl F(x)i dr F(x)i drABBAF(x)i(dxi d y j dzk)F(x)i(dxi d y j dzk)0AABB该弹力为保守力。2-13如图，一质量为m 的质点，在半径为R 的半球形容mA边缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压自 A 滑到 B 的过程中，摩擦力对其做的功。分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要器中，由静止开始自力数值为 N，求质点RB知道它的末速度的情况。v2解：求在 B 点的速度：N G m，R121mv(N G)R2212由动能定理：mgR Afmv 02
27、11Af(N G)RmgR(N 3mg)R22可得：2-14在密度为1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：G F浮，即2lsg 1hsg，则：h 利用功能原理：1221的 条 件最大深度H。2l。11mgh mv2 A浮，有：210h122slvmax2sglh1gsydy02可解得：vmax2gl1（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设：H l h，由
28、能量守恒有：2lsgH 即：2lsgH H l01ysgdy 1lsgh，l01ysgdy 1lsg(H l)1l。2(12)2-15一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：2-16在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求：（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，A还能往前移动多远?解：（1）当A与B开始分
29、离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时弹簧和B都不对A产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：(mAmB)v 111A EPmgl mgl48321221有：v kx02，2kx0，mA mBx l；（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：112mA，则：xAmAv2kxAx。mAmB0222-17已知地球对一个质量为m的质点的引力为F Gmem（1）若r（me,Re为地球的质量和半径)。3r选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能比较两种情况下的势能差解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：EPF
30、dr GmemReRe11dr Gm m；eRer2ReRe（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：EF dr Gmem11dr Gm mer2Re两种情况下势能差是完全一样的。2-18如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速 绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I；（2）质点所受张力T 的冲量IT。解：（1）设周期为，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，v1 v2，由I mv，旋转一周的冲量I 0；11lT（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且T cos mg，张力 T 旋转一周
31、的冲量：ITT cosj mg 22mg所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。j2-19质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为r acosti bsint j，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从t 0到t 2/的时间内质点受到的冲量。解：（1）根据动量的定义：P mv，而v drasinti bcost j，dtP(t)m(asinti bcost)j；（2）由I mv P(所以冲量为零。2-20质量为 M=2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为 l=1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g 的子弹以v0=600m/s 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度
32、大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小；（2）子弹在穿透过程中所受的冲量。解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0 mv M v1v12)P(0)mb j mb j 0，mv0mv5.7m/sMv12v12根据圆周运动的规律：T Mg M，有：T Mg M84.6N；ll（2）根据冲量定理可得：I mvmv0 0.02570 11.4N s。222-21 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.210kgm/s，中微子的动量为6.41023kgm/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子
33、核的质量为5.810kg，求其反冲动能。解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有：（1）P核222222P P 1.2 0.64 10电子中微子2226P中微子1.3610又tankgm/sP电子P0.640中微子，28.1，P1.2电子P核所以P核1.41022kgm/s，151.9；2P核 0.171018J。（2）反冲的动能为：Ek2m核2-22有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心
34、的轨迹为一抛物线，它的12落地点为xc。yxm1x1m2x2，而m1 m2 m，x1c，m1m22mxc2mx23xc,x2xc。4m2Oxcxxc/2c2-23如图，光滑斜面与水平面的夹角为 30，轻质弹簧上端固定今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M 1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动当木块向下滑x 30cm时，恰好有一质量xm 0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v 200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k 25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：11Mv12kx2 Mgxs
35、in22(碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：v1 0.83m/sMv1mvcos（m M）vv 0.89m/s。2-24以初速度0将质量为 m 的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在 Oxy 平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：（1）作用在质点上的力矩M；（2）质点的角动量L。解：（1）M r F mg v0cost kyv0vmgv0（2）L r mv M dt cost2k02tzOx2-25人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R 为地球半径），远地点离地心 r2=4R。求：（1）卫星在近地点及远地点处的速率v1和v2（用地球半径 R 以及地球表
36、面附近的重力加速度g 来表示）；（2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径。解：（1）利用角动量守恒：r1mv1 r2mv2，得v1 2v2，同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：EP G0Mm，r12Mm12Mm，mv1G0mv2G022R24R2RgMm考虑到：G02 mg，有：v1，v23R所以：（2）利用万有引力提供向心力，有：Rg；6G0Mm2 mv2，可得到：8R。32-26火箭以第二宇宙速度v22Rg沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R 的 A 处的速度。解：第二宇宙速度时E 0，由机械能守恒：1M
37、m0 mvA2G24RRO13A4RvM1gR2R2再由动量守恒：mv2R mvA4Rsin，vAGv22Rg代入：300。2-27 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：2mg T2 2ma2T1 mg ma(T2T)r J(T T1)r JTa r，J mr2/2111联立，解得：a g，T mg。482-28如图所示，一均匀细杆长为l，质
38、量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为：有微元摩擦力：m，在杆上取l一小质元dm dx，d f dmg gd x，微元摩擦力矩：dM gxd x，考虑对称性，有摩擦力矩：1M 2gxd x mgl；4t0d（2）根据转动定律M J J，有：Mdt Jd，00dtl11mglt ml20，t 0。3g4121ml2，或利用：Mt J J0，考虑到 0，J 12l有：t 0。3gl2022-29如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm，半径为7cm；物体的质量
39、为5kg，用一细绳与劲度系数（1）当绳拉直、弹k 200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。由机械能守恒：度达最大值时的位置12k xmax mgxmax，有：214xmax2mg 0.49m；k1211k x mv2J2 mg x，222v1211222考虑到，有：k x mRJ mg x，R222d 0，有：欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令dx1ddmgk x(mR2 J)2 mg，将 0代入，有：x 0.245(m)，2dxdx
40、k当x 0.245m 时物体速度达最大值，有：1mgxkx222，代入数值可算出：vmax1.31m/s。vmax1J(m2)2r（2）当物体下落时，由机械能守恒：2-30如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖2l轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水31平速度v v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。2直面内转动，转轴 O 距两端分别为l和解：根据角动量守恒，有：132122llmv0l mv0l m()22m()232333422221有：(l l)v0l v0l99333v02
41、l思考题2-1质量为 m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持板和墙壁之间的夹角为，当逐渐增大时，小球对木板的压力将怎解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于N2木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：N1N2sin mg，N1 N2cos平衡，如图所示设木样变化？所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；mg小球对墙壁的压力N1也减小。2-2 质量分别为 m1和 m2的两滑块 A 和 B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二
42、者的加速度 aA和 aB分别为多少？解：由于系统在拉力F 作用下做匀速运动，对 A 进行受力分析，知：F kxm1g，对 B 进行受力分析，知：kx m2g15突然撤消拉力时，对A 有：m1aA kxm1g，所以aA对 B 有：m2aB kxm2g，所以aB 0。2-3如图所示，用一斜向上的力F(与水平成 30角)，将一直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，静摩擦系数的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：m1m2g，m1重为G的木块压靠在竖则说明木块与壁面间的F sin300 G NN F cos300整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力 F，
43、都不能使木块向上滑动，则说明：31313F G F即：F F（此式中 F 无论为多大，总成立），则可得：。322222-4如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至 C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A)它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B)它的速率均匀增加。(C)它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。(D)它的合外力大小不变。(E)轨道支持力的大小不断增加。解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v 在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A 的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B 的说法
44、不对；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D 的说法都不对。v2下滑过程中的 和 v 都在增大，所以N 也在增大，N mgsin mR则 E 的说法正确。2-5A和B两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力F F一样，位移s s也一样，但一个接触面光滑，另一个粗糙F F力做的功是否一样?两物体动能增量是否一样?答：根据功的定义：A F r所以当它们受到的水平恒力F F一样，位移s s也一样时，两个功是相等的；但由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个物体的总功不同，动能的增量就不相同。2-6按质点动能定理，下列式子：1212mvx2
45、mvx1x122y21212F dy y1y2mvy22mvy1z21212F dz z1z2mvz22mvz1x2Fxdx 是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。16答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。2-7在劲度系数为k的弹簧下，如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少?答：如将质量为m的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为mg kx，所以x 如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒：mgx mg；k12kx，所以2x 2mg。k2-8一粒子初时沿x轴负向以速度v v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x轴
46、成120的方向运动(速度大小不变)试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量I I的大小和方向。解：由：I mv2mv1，考虑到v2 v1，mv2I见右图示。2-9试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。mv1风风解：可用动量定理来解释。设风沿与航向成角的方向f/从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，m表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它f f吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，但是由于m的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，m必然对帆有一个反作用力f f，此力的方向偏向船前进的方向，将f f 分解为两个分量，垂直船体的分量与水对
47、船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。2-10当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下列三个方程：Gmem1Gmem12mv2mv12，2r22r1mv2sin2 mv1sin1，mv2Gmem，rr2试分析上述三个方程各在什么条件下成立。解：（1）机械能守恒；（2）角动量守恒；（3）万有引力提供向心力。2-11在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？答：对于这个系统，（1）动量守恒；（2）能量守恒，因为没有外力做功。2-12体重相同的甲乙两人，分别用双
48、手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是：（A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。答：本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.当两小孩质量相等时，M=0。则系统角动量守恒，两人的实际的速度相同，将同时到达滑轮处，与谁17在用力，谁不在用力无关。选择 C。2-13一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动，若如一条直线的力F沿盘面图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？答：增大2-14一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂
49、伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒；（C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。答：（C）习题习题 3 33-1原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取 9.8）解：振动方程：x Acos(t)，在本题中，kx mg，所以k 9.8；k9.898。m0.1取竖直向下为 x 正向，弹簧伸长为 0.1m 时为物
50、体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。（98t）所以：x 0.1cos即：x 0.1cos(98t)。3-2有一单摆，摆长l 1.0m，小球质量m 10g，t 0时，小球正好经过 0.06rad处，并以角速度 0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g 取 9.8）解：振动方程：x Acos(t)我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：9.8 0.5Hz，22 2s；9.8（3.13t）（3.13t），3.13