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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一讲 定义新运算知识精要1、我们学过的常用运算有：、等。如：235，236。都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”。 2、解题关键：是要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义
2、的式子进行计算。 3、注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律、结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的、通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。例题精讲：例1、设a、b都表示数，规定：ab表示a的3倍减去b的2倍，即：ab = a3b2。（1）求56；65。（2）求（176）2 ；17（ 62）。（3）这个运算有交换律和结合律吗？（4）如果已知4b=2,求b。练习：1、设a、b都表示数，规定：ab=6a2b。试计算34。2、设a、b都表示数，规定：a*b=3a2b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）例2、对于两个数a与b，规定
3、ab=abab。（1）求6 2；2 6。（2）求（17 6） 2 ；17 （ 6 2）。（3）这个运算有交换律和结合律吗？（4）如果5x=17,求x。练习：1、对于两个数a与b，规定：ab=ab（ab）。（1）求35, 53 。 （2）求12 （34）, （12 3）4。2、对于两个数A与B，规定：AB=AB2。试算64，46。例3、如果：23=234,54=5678，按此规律计算35。 练习：1、如果52=56，23=234，计算：34。2、如果24=24（24），36=36（36），计算84。例4、对于两个数a与b，规定ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)。已知x6=27，求x。
4、 练习：1、如果23=234=9，65=678910=40。已知x3=5973，求x。2、对于两个数a与b，规定ab=a+(a+1)+(a+2)+(a+b1)，已知95x=585，求x。例5、24=8，53=13，35=11，97=25。按此规律计算：73。 练习：1、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：62=12，43=13，34=15，51=8。按此规律计算：84。2、表示一种新运算符号。已知23=9，72=15，35=25。按此规律计算：16 4。针对练习：1、有两个整数是A、B，AB表示A与B的平均数。已知A6=17，求A。2、对于两个数a与b，规定：ab= abab。如果5x=2
5、9，求x。3、如果23=234，54=5678，且1x=15， 求x。4、如果1！=1，2！=12=2，3！=123=6， 按此规律计算5！。3、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立：52=60，73=861，44=4936，按此规律计算：15。第二讲 假设法解题趣味数学 “鸡兔同笼”问题是我国古代一类著名的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代名著孙子算经中。在那时，一个名叫孙子的人。有一天，他到一位朋友家中做客，看到朋友养了很多的鸡和兔，随口问道：“你家里养了多少只鸡和兔啊？”朋友回答说：“鸡、兔共35只，脚共94只。请你算一下，鸡、兔各有几只？”你们知道孙子的朋友家养的鸡和兔各多
6、少只吗？ 知识回顾1、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有10个头，从下面数有32条腿。鸡和兔各有几只？2、鸡兔同笼，共有45个头，146条腿。笼中鸡兔各有多少只？3、停车场上停放了39辆三轮车和自行车，两种车共有108个轮子。三轮车和自行车各有多少辆？例题精讲例1、52名师生到颐和园去划船，共租了11条船。每条大船坐6人，每条小船坐4人，且每条船恰好坐满。大船、小船各租了多少只？例2、为了迎接“新中国60华诞”，学校组织了“祖国在我心中知识竞赛”。共20道题，每做对一道题得5分，做错或未答扣2分。小明本次竞赛得了79分，他做对了多少道题？例3、有5元和10元的人民币共14张，共100元。问5元币
7、和10元币各多少张？例4、运输公司给某工厂运送2000箱玻璃。合同规定：完好运到一箱给50元运费；如损坏一箱，不但不给运费，还要赔偿400元成本费。这批玻璃运到后，运输公司共收到运货款91900元。运输过程中，损坏了几箱玻璃？例5、有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元。已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有几张？针对练习：1、鸡兔同笼，共有100个头，320只脚。鸡兔各有多少只？2、签字笔每支1.9元，圆珠笔每支1.1元。小红两种笔共买了16支，花了28元。小红两种笔各买了多少支？3、停车场上停放了24辆汽车和三轮摩托车，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3个轮子，这些车
8、共有86个轮子。那么，停车场上有三轮摩托车多少辆？4、六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票99张，共花28元。其中单程票每张0.2元，往返票每张0.4元。那么单程票和往返票相差多少张？5、某此数学竞赛，共有20道题。每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分。小聪本次竞赛得了60分，他做对了多少道题？6、古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗个多少首？7、有2分和5分硬币共78枚，总钱数为2元6角4分。两种硬币各多少枚？8、小明从甲地翻山到乙地，路程是19.5千米，上山每小时走3千米，
9、下山每小时走5千米，共花5.5小时。问上、下山各用多少小时？9、鸡兔同笼共100只，鸡的腿比兔的腿多80只，问鸡与兔各多少只？10、甲、乙、丙三个数的和是260，其中甲数比乙数多20，乙数比丙数多60，甲，乙，丙三个数各是多少？11、王老师在班上搞了一次数学小测验，共20道选择题，规定答对一道题得8分，答错一道题扣5分，不答得0分，结果小华一共得了92分。问小华一共答对了几道题？12、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元。其中7元的和5元的张数相等，三种价格的电影票各有多少张？13、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少
10、张？14、100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个？15、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对。问蜻蜓有多少只？（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀）第三讲 倍数与因数（一） 知识精要：被除数，除数，商都是整数，并且结果没有余数，符合这两个条件就称为“整除”。一个数的因数是 ，最小的是 ，最大的是 。一个数的倍数是 ，最小的是 ，最大的是 。既是一个数的因数又是这个数的倍数是 。能被2整除的数的特征： 我们把能被2整除的数叫做 。不能被2整除的数叫做 。能被5整除的数的特征： 能被3整除的数的特征： 既能被
11、2又能被5整除的数的特征是 能被2、3、5整除的数的特征是 例题精讲：例1、找规律，按照下面每个数因数的个数进行分类。1的因数： 2的因数： 3的因数： 4的因数： 5的因数： 6的因数： 7的因数： 8的因数： 9的因数： 10的因数： 总结： 叫做质数。质数有 个因数。 叫做合数。合数最少有 个因数。 既不是质数也不是合数，它有 个因数。最小的质数是 。最小的合数是 。自然数中， 既是质数又是偶数。练习：写出100以内所有的质数。例2、136是质数还是合数？ 。2把36写成几个质数相乘的形式： 36 方法一： 方法二：总结：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做 。“质因数”既是这个数的
12、 数，还必须是 数。练习：用短除法将8，30，24，50分解质因数。例3、写出每组数中公有的因数。8和9： 18和1： 3和6： 13和14： 1和30： 9和12： 25和26： 13和31： 18和24： 总结： 当 叫做“互质数”思考：哪种情况下的两个数一定是互质数？ （1） （2） （3） 练习：下面哪几组是互质数？14和15 9和16 1和20 13和23 81和2724和15 31和62 23和46 15和50 91和14例4、12和18两个数的最大的公因数是 ？方法一：（求两个数的因数） 方法二：（分解质因数）方法三：（短除法）练习：求下面各组数的最大公因数。8和14 15和25
13、 81和27 91和21 56和72 例5、12和18两个数的最小的公倍数是 ？方法一：（求两个数的倍数） 方法二：（分解质因数）方法三：（短除法）练习：求下面各组数的最小公倍数。7和14 15，70和25 45和36 16，64和24 57和9 例6、用短除法求最大公因数和最小公倍数。 99和11 64和16 5 ，45和15 11和12 13和17 8，9和7总结： （1）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。（2）当两个自然数是 关系时，它们的最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 。练习：求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。50和75 78和26 6和11
14、36和54 15和2035和42 8、24和36 45、60和75针对练习一、填空：1、写出下列数的所有因数16（ ） 87（ ）23（ ） 45（ ） 81（ ） 9（ ）62（ ） 14（ ）2、30130（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）3、64=24，6和4是24的（ ），24是6的（ ），也是4的（ ）。4、一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。5、既是42的因数，又是7的倍数，这些数有（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。6、既是24的因数又是8的倍数： 7、能同时被2、3、5整除的两位数有( )。8、有因数3，也是2和5的倍数的最小三位数是（ ）。9、凡是个位上是（
15、）或（ ）的数，都是5的倍数。一个数既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字一定是（ ）。10、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（ ）；一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（ ）。11、在自然数中，最小的奇数是( )，最小的偶数是( )12、 48的最小倍数是（ ），最大因数是（ ）。最小因数是（ ）。13、 用5、6、7这三个数字，组成是5的倍数的三位数是（ ）；组成一个是3的倍数的最小三位数是（ ）。14、在 27、68、44、72、587、602、431、800中。奇数是（ ），偶数是（ ）。15、如果2754是3的倍数，那么里最小能填（ ），最大能填（ ）。16、a是大
16、于0的自然数，它的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。17、最小的自然数是( )；最小的奇数是( )；最小的偶数是( )；最小的质数是( )；最小的合数是( )。18、即有因数2，又有因数3的最小数是( )；既有约数2，又有因数5的最小数是( )；既有因数3，又有因数5的最小的数是( )。19、既不是质数，又不是偶数的最小自然数是( )；既是质数；又是偶数的数是( )；既是奇数又是质数的最小数是( )；既是偶数，又是合数的最小数是( )；既不是质数，又不是合数的最小数是( )；既是奇数，又是合数的最小的数是( )。20、除以2、5、3余数都是1的数，其中，最小的一个是( )。21、甲数除以乙数
17、的商是15，甲乙两数的最大公因数是( )；最小公倍数是( )。22、从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成一个同时能被2、3、5整除的最小的四位数( )。23、A225，B235，那么 A、B 的最小公倍数是（ ）。二、判断题1、任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。 ( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。 ( )3、个位上是0的数都是2和5的倍数。 ( )4、一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 ( )5、5是因数，10是倍数。 ( )6、任何一个自然数最少有两个因数。 ( )7、一个自然数越大，它的因数个数就越多。 ( )8、任何数都没有最大的倍数。
18、( )9、1是所有非零自然数的因数。 ( )10、一个数的因数总是比这个数小。 ( )11、互质的两个数中，至少有一个是质数。 ( )12、所有的质数都是奇数。 ( )13、质因数必须是质数，不能是合数。 ( )14、有公约数1的两个数一定是互质数。 ( )15、1是质数而不是偶数。 ( )16、质数一定是奇数，合数一定是偶数。 ( )17、两个质数的和一定是偶数。 ( )18、除2以外，所有的质数都是奇数。 ( )19、连续的两个自然数相加的和一定是奇数。 ( )20、两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小 ( )三、选择题1、15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。1 3 5 1
19、52、在1427中，2和7都是14的（ ）。倍数 因数 偶数3、一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。6 12 24 1444、自然数中,凡是17的倍数（ ）。都是偶数 有偶数有奇数 都是奇数5、下面的数，因数个数最多的是（ ）。 18 36 406、自然数按是不是2的倍数来分，可以分为（ ）。奇数和偶数 倍数和因数 倍数、因数和07、甲数3=乙数，乙数是甲数的（ ）。 倍数 因数 自然数8、同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。 18 120 75 8109、在100以内，能同时被3和5整除的最大奇数是（）。95 90 7510、从323中至少减去（ ）才能被3整除。减去3
20、 减去2 减去111、已知a能整除19，那么a（ ）是38 必定是19 是整数 是1或者1912、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数 13、几个质数的连乘积是（ ） 合数 质数 最大公因数 最小公倍数14、甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（ ） 15 甲 乙 甲乙15、一个数的最大因数（ ）它的最小倍数 16、已知a能整除19，那么a（ ） 是38 必定是19 是整数 是1或者1917、一棵桔子上结了不少桔子，表示桔子个数的数是（ ） 小数 分数 自然数18、下列除不尽的算式是（ ） 1682 522.5 12180.6.19、一个质数的因数有（ ）个。 1 2 320、在100以内，能同
21、时被3和5整除的最大奇数是（）。 95 90 7521、从323中至少减去（ ）才能被3整除。 减去3 减去2 减去122、20的质因数有（）个。 1 2 323、下面的式子，（ ）是分解质因数。54239 42237 15351四、1、2、3、6、8、16、24、32、84、96各数按要求填在横线上。 6的倍数 8的倍数 24的因数 32的因数 五、 从0、3、6、9中任意选出3个数字，组成符合要求的三位数，（1）3的倍数有： （2）同时是2、5的倍数有： （3）同时是2、3的倍数有： （4）同时是2、3、5的倍数有： 六、食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一
22、袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？七、晚上小明家正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了5下开关，这时灯是亮还是暗？如果按了50下呢？八、（思考题）偶数+偶数= 奇数+奇数= 偶数+奇数= 不计算，直接判断下列算式的结果是奇数还是偶数，填在横线上。1428+205 65+285 365+447 100+232 454+222 15+488 546+258 223+3 1454+54 454+236 14+258 25+958 九、找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。20 29 45 53 91 102 117十、求下面各组数的最大公因数。56和42 84和105 54、72
23、和90 60、90和120十一、求下面各组数的最小公倍数。18和36 45和135 8、18和72 48、16和24第四讲 倍数与因数（二） 知识精要：能被2整除的数的特征： 个位上是0,2,4,6,8的数；能被5整除的数的特征： 个位上是0或5的数；能被3整除的数的特征： 各个数位上数字之和是3的倍数；能被2、5整除的数的特征： 个位数字是0；能被2、3、5整除的数的特征： 个位数字是0，并且能被3整除；能被4整除的数的特征： 末两位能被4整除；能被8整除的数的特征： 末三位能被8整除；能被9整除的数的特征： 各个数位上数字之和能被9整除 ；能被7，11和13整除的数的特征： 末三位数字所表
24、示的数与末三位前面的数字所组成的数的差（大数减小数）能被7或11或13整除。例题精讲：例1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234， 789， 7756， 8865， 3728， 8064。 例2、在四位数562中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？例3、从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，3，5整除的数，并将这些数从小到大进行排列。例4、五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？例5、六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？例6、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？例7、abca
25、bc能否被7，11和13整除。 例8、判断能不能被7或11或13整除。例9、判断能否被7整除？能否被13整除？例10、已知七位数138A679是7的倍数，求A。针对练习：练习：1、能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？2、个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？3、一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4、五位数能被12整除，求这个五位数。5、有一个能被24整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？6、在内填上合适的数，使五位数210能同时被8和9整除。7、学校买了72只小足球，发票
26、上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？8、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？ 88205， ， ， ， ， ， 。9、六位数17562是13的倍数。中的数字是几？10、已知108971能被11整除，求中的数。11、判断能不能被7或11或13整除。12、 173是个四位数字.数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？13、四位数7AA3被9整除，则A=（ ）14、在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。15、641是一个四位数，在内依次填入三个
27、数字，使组成的三个四位数依次能被6、9、11整除。这三个数字之和是（ ）。16、四位数6a2b能被2、3、5整除，这样的四位数是（ ）。17、写出一个同时能被3、9、11整除的最大四位数：（ ）。18、首位是7，其余各位数字都不相同，并能被9整除的七位数中最小的是（ ）。19、有一个六位数1989能被88整除，这个六位数是（ ）。 第五讲 倍数与因数（三）例题精讲: 例1、求240有多少个约数，其约数和是多少？例2、用一张长1072毫米，宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少（不同方法）？例3、求1234484950乘积的末尾有多少个连续的0
28、。针对练习: 1、求360有多少个约数？其约数和是多少？2、求437和323的最大公约数是多少（用辗转相除法）？3、将一个长、宽分别是1833cm和423cm的长方形分割成若干个正方形，则正方形最少可以分割成多少个？4、用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。如果每支钢笔便宜一元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。问共买了多少支钢笔？5、165有多少个约数？其约数和是多少？6、小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。问小明买了多少张画片？7、求10111213149899100它所包含的因数5的个数。8、自然数6的因数有1、2、3、6，这些因数之和除
29、去它本身即为1+2+3=6，我们将除去他本身，其他的因数之和为它本身的数称之为“完全数”，30以内还有一个“完全数”，请你找到它。9、已知一个自然数，它最小两个因数的和是4，最大两个因数的和是60，这个自然数是多少？10、将一个三位数的个位上与百位上数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的积等于65125，这两个三位数的和是多少？（思考） 第六讲 长方体和正方体（一） 例题精讲：例1、将下面的硬纸板按虚线折成一个立方体，哪两个面是相对的？例2、 用8块棱长1厘米的立方体小木块拼成长方体（含正方体），其中表面积最小的是哪个？最小表面积是多少？ 例3、 将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体。（1）两个长方体表面积的总和最大？（2）两个长方体表面积的总和最小？例4、一张长、宽分别为12 dm、10dm的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为2 dm的小正方形，焊接成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的容积大约是多少升？例5、观察计算，玻璃杯中原有500mL水，现在在玻璃杯中放入一个土豆，则玻璃杯的水到了625mL，求