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1、FFT 的 DSP 实现 简介：快速傅里叶变换是一种高效实现离散傅里叶变换的的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学、语音、电信和信号处理等领域有着广泛的应用。一设计目的:1.加深对 DFT 算法原理和基本性质的理解；2.熟悉 FFT 的算法原理和 FFT 子程序的算法流程和应用；3.学习用 FFT 对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法；4.学习 DSP 中 FFT 的设计和编程思想；5.学习使用 CCS 的波形观察窗口观察信号波形和频谱情况。￥二设计内容:用 DSP 汇编语言及 C 语言进行编程，实现 FFT 运算，对输入信号进行频谱分析。三设计原理:1 离散傅里叶变换 D
2、FT:对于长度为 N 的有限长序列 x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT）为 X(k)=0*)(nWnxN-nk ,k=0,1,2N-1 （1）式中，WN=e-j*2/N ，称为旋转因子或蝶形因子。从 DFT 的定义可以看出，在 x(n)为复数序列的情况下，对某个 k值，直接按（1）式计算 X(k)只需要 N 次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有 N 个 k 值，共需要 N2次复数乘法和 N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有 N 值（如 1024 点）来说，直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的，因此 DFT 运算的应用受到了很大的限制。2快速傅里叶变换 FFT 旋转因子 W
3、N 有如下的特性。对称性：WNk+N/2=-WNk 周期性：WNn(N-k)=WNk(N-n)=WN-nk 利用这些特性，既可以使 DFT 中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的 DFT 分解成几个短序列的 DFT。FFT 就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。FFT 的算法是将长序列的 DFT 分解成短序列的 DFT。例如：N 为偶数时，先将 N 点的 DFT 分解为两个 N/2 点的 DFT，使复数乘法减少一半：再将每个 N/2 点的 DFT 分解成 N/4 点的 DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为 2 的 F
4、FT 算法，它的最小变换是 2 点 DFT。一般而言，FFT 算法分为按时间抽取的 FFT（DIT）和按频率抽取的（DIF FFT）两大类。IF FFT 算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇偶分成个短序列进行计算。而 DIF FFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇偶分成个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIF FFT 算法中，旋转因子WNk出现在输入端，而在 DIF FFT 算法中它出现在输入端。假定序列 x(n)的点数 N 是 2 的幂，按照 DIF FFT 算法可将其分为偶序列和奇序列。偶序列：x(2r)=x1(r)奇序列：x(2r+1)=x2(
5、r)其中：r=0,1,2,N/2-1 则 x(n)的 DFT 表示为()=x(2r)WN2rk21=0+x(2r+1)WN(2r+1)k21=0=x1(r)21=0(WN2)rk+WNk x2(r)21=0(WN2)rk=x1(r)21=0 WN2rk+WNk x2(r)21=0 WN2rk=X1(k)+WNkX2(k)r，k=0，1，2，N2 1 式中，x1(k)和x2(k)分别为x1(r)和x2(r)的 N/2 的 DFT,式中，x1(k)和x2(k)分别为x1(r)和x2(r)的 N/2 的 DFT。由于对称性，WNk+N/2=-WNk。因此，N 点DFT可分为两部分：前半部分：x(k)
6、=x1(k)+WkNx2(k)k=0,1,N/2-1 （4）后半部分：x(N/2+k)=x1(k)-WkNx2(k)k=0,1,N/2-1 （5）从式（4）和式（5）可以看出，只要求出 0N/2-1 区间 x1(k)和x2(k)的值，就可求出 0N-1 区间 x(k)的 N 点值。以同样的方式进行抽取，可以求得 N/4 点的 DFT，重复抽取过程，就可以使 N 点的 DFT 用上组 2 点的 DFT 来计算，这样就可以大减少运算量。基 2 DIF FFT 的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为X1(K)和X2(K)，输出为 x(k)和 x(N/2+K)，则有 x(k)=x1(k)+WkNx2(
7、k)（6）)x(N/2+k)=x1(k)-WkNx2(k)（7）在基数为 2 的 FFT 中，设 N=2M，共有 M 级运算，每级有 N/2 个 2点 FFT 蝶形运算，因此，N 点 FFT 总共有 MN/2 个蝶形运算。图(a)基 2 DIF FFT 的蝶形运算 例如：基数为 2 的 FFT，当 N=8 时，共需要 3 级，12 个基 2 DIT FFT的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。x(0)x(0)1.WN0 x(4)x(1)-1 WN0 x(2)x(2)-1 WN0 WN2 x(6)x(3)-1 -1 WN0 x(1)x(4)-1 CABA BCA BC WN0 WN1 x(5)x
8、(5)-1 -1 WN0 WN2 x(3)x(6)-1 -1 WN0 WN2 WN3 x(7)x(7)-1 -1 -1 图(b)8 点基 2 DIF FFT 蝶形运算 从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为 x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)。输出的是按自然顺序排列，其顺序为x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7).四FFT 算法的 DSP 实现过程：DSP芯片的出现使FFT的实现方法变得更为方便。由于大多数DSP芯片都具有在单指令周期内完成乘法累加操作，并且提供了专门的FF
9、T 指令，使得 FFT 算法在 DSP 芯片实现的速度更快。FFT 算法可以分为按时间抽取 FFT 和按频率抽取 FFT 两大类，输入也有实数和复数之分，一般情况下，都假定输入序列为复数。（一）FFT 运算序列的存储分配 FFT运算时间是衡量DSP芯片性能的一个重要指标，因此提高FFT的运算速度是非常重要的。在用 DSP 芯片实现 FFT 算法时，应允许利用 DSP 芯片所提供的各种软、硬件资源。如何利用 DSP 芯片的有限资源，合理地安排好所使用的存储空间是十分重要的。(二)FFT 运算的实现 用 TMS320C54x 的汇编程序实现 FFT 算法主要分为四步：|1.实现输入数据的比特反转
10、输入数据的比特反转实际上就是将输入数据进行码位倒置，以便在整个运算后的输出序列是一个自然序列。在用汇编指令进行码位倒置时，使用码位倒置可以大大提高程序执行速度和使用存储器的效率。在这种寻址方式下，AR0 存放的整数 N 是 FFT 点的一半，一个辅助寄存器指向一个数据存放的单元。当使用位码倒置寻址将 AR0 加到辅助寄存器时，地址将以位码倒置的方式产生。2.实现 N 点复数 FFT N 点复数 FFT 算法的实现可分为三个功能块，即第一级蝶形运算、第二级蝶形运算、第三级至log2N级蝶形运算。对于任何一个 2 的整数幂N=2M，总可以通过 M 次分解最后成为 2 点的 DFT 计算。通过这样的
11、 M 次分解，可构成 M（即log2N）级迭代计算，每级由 N/2 个蝶形运算组成。3.功率谱的计算 用 FFT 计算想 x(n)的频谱，即计算 X（k）=x(n)N1n=0Wnk（X(k)一般是由实部XR(k)和虚部Xl(k)组成的复数，即 X（k）=XR(k)+jXl(k)因此，计算功率谱时只需将FFT变换好的数据，按照实部实部XR(k)和虚部Xl(k)求它们的平方和，然后对平方和进行开平方运算。但是考虑到编程的难度，对于求 FFT 变换后数据的最大值，不开平方也可以找到最大值，并对功率谱的结果没有影响，所以在实际的 DSP 编程中省去了开方运算。4.输出 FFT 结果(三)汇编语言程序
12、程序主体由 rfft-task、bit-rev、fft 和 power 四个子程序组成。rfft-task：主调用子程序，用来调用其他子程序，实现统一的接口。bit-rev：位码倒置子程序，用来实现输入数据的比特反转。#fft：FFT 算法子程序，用来完成 N 点 FFT 运算。在运算过程中，为避免运算结果的溢出，对每个蝶形的运算结果右移一位。fft 子程序分为三个功能块：第一级蝶形运算、第二级蝶形运算、第三级至至log2N级蝶形运算。(四）正弦系数表和余弦系数表：正弦系数表和余弦系数表可以由数据文件给出，主程序通过.copy 汇编命令将正弦和余弦系数表与程序代码汇编在一起。在本例中，数据文件
13、给出 1024 复数点 FFT 的正弦、余弦系数各 512个。利用此系数表可完成 81024 点 FFT 的运算。（五）FFT 算法的模拟信号输入：FFT 算法的模拟信号输入可以采用 C 语言编程来生成一个文本文件 sindata，然后在 rfft-task 汇编程序中，通过.copy 汇编命令将生成的数据文件复制到数据存储器中，作为 FFT 算法的输入数据参与FFT 运算。这种方法的优点是程序的可读性强，缺点是当输入数据修改后，必须重新编译、汇编和链接。五设计步骤：1.启动 CCS，在 CCS 中建立一个 C 源文件和一个命令文件，并将这两个文件添加到工程，再编译并装载程序：阅读 Dsp 原
14、理及应用中 fft 用 dsp 实现的有关程序。2.双击，启动 CCS 的仿真平台的配着选项。选择 C5502 Simulator。3.启动 ccs2 后建立工程文件 4.建立源文件与链接文件 5.将这两个文件加到这个工程中。6.创建 out 文件 7.加载 out 文件 8.加载数据 9.观察输入输出波形 /输入波形（时域）输出图形（频域）10.改变信号的频率可以再做次实验。也可作 512 点或更多点的 FFT.六实验程序：.title .mmregs.copy .def rfft_task sine:.usect sine,512 cosine:.usect cosine,512 fft_
15、data:.usect fft_data,2048 d_input:.usect fft_data,2048 fft_out:.usect fft_out,1024;d_input:.copy sindata STACK:.usect STACK,10 K_DATA_IDX_1 .set 2 K_DATA_IDX_2 .set 4 K_DATA_IDX_3 .set 8 K_FLY_COUNT_3 .set 4 K_TWID_TBL_SIZE .set 512 K_TWID_IDX_3 .set 128 K_FFT_SIZE .set 32 K_LOGN .set 5 .bss d_twid_
16、idx,1.bss d_data_idx,1.bss d_grps_cnt,1.sect rfft_prg rfft_rask:SSBX FRCT STM#STACK+10,SP STM#sine,AR1】RPT#K_TWID_TBL_SIZE-1 MVPD sine1,*AR1+STM#cosine,AR1 RPT#K_TWID_TBL_SIZE-1 MVPD cosine1,*AR1+CALL bit_rev CALL fft CALL power!RET*位码倒置程序 bit_rev*.asg AR2,REORDERED.asg AR3,ORIGINAL_INPUT.asg AR7,DA
17、TA_PROC_BUF.sect rfft_prg;bit_rev:STM#d_input,ORIGINAL_INPUT EPROM PAGE0 cosine1 :EPROM PAGE0 fft_prg :EPROM PAGE0.bss :SPRAM PAGE1 sine :align(512)DARAM PAGE1 cosine :align(512)DARAM PAGE1 d_input :RAM PAGE1 fft_data :RAM PAGE1 fft_out :RAM PAGE1 STACK :SPRAM PAGE1.vectors :VECS PAGE0 七心得体会：通过这次 DSP 课程设计，加深对 DFT 算法原理和基本性质的理解，熟悉了 FFT 的算法原理和 FFT 子程序的算法流程和应用，掌握了 DSP 中 FFT 的设计和编程思想，以及用 FFT 对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法，和使用 CCS 的波形观察器观察波形和频谱情况。