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1、 呼和浩特市 2014 年中考数学试卷及答案(Word 解析版)2014 年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）（2014呼和浩特）下列实数是无理数的是（）A 1 B 0 C D 考点：无理数 分析：无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项 解答：解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是整数，是有理数，选项错误；C、正确；D、
2、是分数，是有理数，选项错误 故选 C 点评：本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 4（3 分）（2014呼和浩特）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A 60 B 70 C 90 D 160 考点：由三视图判断几何体 分析：易得此几何体为空心圆柱，圆柱的体积=底面积高，把相关数值代入即可求解 解答：解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内径为 3，外径为 4，高为 10，所以其体积为 10（4232）=70，故选 B 点本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本 评：题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到
3、计算此几何体所需要的相关数据 5（3 分）（2014呼和浩特）某商品先按批发价 a 元提高 10%零售，后又按零售价降低 10%出售，则它最后的单价是（）元 A a B 0.99a C 1.21a D 0.81a 考点：列代数式 分析：原价提高 10%后商品新单价为 a（1+10%）元，再按新价降低 10%后单价为 a（1+10%）（110%），由此解决问题即可 解答：解：由题意得 a（1+10%）（110%）=0.99a（元）故选：B 点评：本题主要考查列代数式的应用，属于应用题型，找到相应等量关系是解答此题的关键 6（3 分）（2014呼和浩特）已知O 的面积为 2，则其内接正三角形的面积
4、为（）A 3 B 3 C D 考点：垂径定理；等边三角形的性质 分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可 解答：解：如图所示，连接 OB、OC，过 O 作 ODBC 于 D，O 的面积为 2 O 的半径为 ABC 为正三角形，BOC=120，BOD=BOC=60，OB=，BD=OBsinBOD=，BC=2BD=，OD=OBcosBOD=cos60=，BOC 的面积=BCOD=，ABC 的面积=3SBOC=3=故选 C 点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关 键 7（3 分）（2014呼和浩特）实数 a，b，c
5、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A acbc B|ab|=ab C abc D acbc 考点：实数与数轴 分析：先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可 解答：解：由图可知，ab0c，A、acbc，故本选项错误；B、ab，ab0，|ab|=ba，故本选项错误；C、ab0，ab，故本选项错误；D、ab，c0，acbc，故本选项正确 故选 D 点评：本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键 8（3 分）（2014呼和浩特）下列运算正确的是（）A =B=a3 C（+）2（）=D（a）9a3=（a）6 考点：分式的混合运算；同底
6、数幂的除法；二次根式的混合运算 分析：分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可 解答：解：A、原式=3 =3，故本选项错误；B、原式=|a|3，故本选项错误；C、原式=，故本选项正确；D、原式=a9a3=a6，故本选项错误 故选 C 点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 9（3 分）（2014呼和浩特）已知矩形 ABCD 的周长为 20cm，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O作 AC 的垂线 EF，分别交两边 AD，BC 于 E，F（不与顶点重合），则以下关于CDE 与ABF 判断完全正确的一项
7、为（）A CDE 与ABF 的周长都等于 10cm，但面积不一定相等 B CDE 与ABF 全等，且周长都为 10cm C CDE 与ABF 全等，且周长都为 5cm D CDE 与ABF 全等，但它们的周长和面积都不能确定 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 分析：根据矩形的性质，AO=CO，由 EFAC，得EA=EC，则CDE 的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出CDE 与ABF 全等，进而得到问题答案 解答：解：AO=CO，EFAC，EF 是 AC 的垂直平分线，EA=EC，CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD=矩形ABCD 的周长
8、=10cm，同理可求出ABF 的周长为 10cm，根据全等三角形的判定方法可知：CDE 与ABF 全等，故选 B 点评：本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大 10（3 分）（2014呼和浩特）已知函数 y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点 A（a，c），点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2判断正确的是（）A x1+x21，x1x20 B x1+x20，x1x20 C 0 x1+x21，x1x20 D x1+x2与 x1x2的符号都 不确定 考点：根与系数
9、的关系；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：根据点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出 a0，c0，再点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出 b0，c1，再根据x1x2=，x1+x2=，即可得出答案 解答：解：点 A（a，c）在第一象限的一支曲线上，a0，c0，点 B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，b0，c+10，c1，x1x2=0，0 x1+x21，故选 C 点评：本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=，x1x
10、2=二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18分本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11（3 分）（2014呼和浩特）一个底面直径是 80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 160 考点：圆锥的计算 专题：计算题 分析：根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可 解答：解：圆锥的底面直径是 80cm，圆锥的侧面展开扇形的弧长为：d=80，母线长 90cm，圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=8090=3600，=3600，
11、解得：n=160 故答案为：160 点评：本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系 12（3 分）（2014呼和浩特）某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8 已知这组数据的平均数是 10，那么这组数据的方差是 1.6 考点：方差 分析：根据平均数的计算公式先求出 x 的值，再根据方差公式 S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，代入计算即可 解答：解：这组数据的平均数是 10，（10+10+12+x+8）5=10，解得：x=10，这组数据的方差是 3（1010）2+（1210）2+（810）2=1.6；故答案为：1.6 点此题考
12、查了方差，一般地设 n 个数据，x1，x2，xn 评：的平均数为，则方差 S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2 13（3 分）（2014呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36，则该等腰三角形的底角的度数为 63或 27 考点：等腰三角形的性质 专题：分类讨论 分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数 解答：解：在三角形 ABC 中，设 AB=AC，BDAC于 D 若是锐角三角形，A=9036=54，底角=（18054）2=63；若三角形是钝角三角形，BAC=36+90=126，此时底角=（180126）2=27 所以
13、等腰三角形底角的度数是 63或 27 点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理 14（3 分）（2014呼和浩特）把多项式 6xy29x2yy3因式分解，最后结果为 y（3xy）2 考点：提公因式法与公式法的综合运用 分析：首先提取公因式y，进而利用完全平方公式分解因式得出即可 解答：解：6xy29x2yy3=y（y26xy+9x2）=y（3xy）2 故答案为：y（3xy）2 点此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因 评：式，熟练掌握完全平方公式是解题关键 15（3 分）（2014呼和浩特）已知 m，n 是方程 x2+2x5
14、=0 的两个实数根，则 m2mn+3m+n=8 考点：根与系数的关系；一元二次方程的解 专题：常规题型 分析：根据 m+n=2，mn=5，直接求出 m、n即可解题 解答：解：m、n 是方程 x2+2x5=0 的两个实数根，且一元二次方程的求根公式是 解得：m=1，n=1 或者 m=1，n=1，将 m=1、n=1 代入 m2mn+3m+n=8；将 m=1、n=1 代入 m2mn+3m+n=8；故答案为：8 点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和 n 的值是解决问题的关键 16（3 分）（2014呼和浩特）以下四个命题：每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形 当
15、 m0 时，y=mx+1 与 y=两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 A，B，C，D 按逆时针依次排列，若 A 点坐标为（1，则 D 点坐标为（1，在一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为 其中正确的命题有 （只需填正确命题的序号）考点：命题与定理 分析：利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案 解答：解：每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，正确 当 m0 时，y=mx+
16、1 与 y=两个函数都是 y 随着 x 的增大而减小，错误 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点 A，B，C，D 按逆时针依次排列，若 A 点坐标为（1，则 D 点坐标为（1，错误 在一个不透明的袋子中装有标号为 1，2，3，4 的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于 4 的概率为，错误，故答案为：点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10 分）（2014
17、呼和浩特）计算（1）计算：2cos30+（2）1+|（2）解方程：=0 考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值 分析：（1）根据特殊角的三角函数、负指数幂运算、绝对值进行计算即可；（2）先去分母，化为整式方程求解即可 解答：解：（1）原式=2+=（+2）+=；（2）去分母，得 3x26xx22x=0，解得 x1=0，x2=4，经检验：x=0 是增根，故 x=4 是原方程的解 点评：本题考查了二次根式的混合运算、负指数幂运算、解分式方程以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握 18（6 分）（2014呼和浩特）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔
18、80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：首先根据题意得出MPA=A=65，以及DBP=DPB=45，再利用解直角三角形求出即可 解答：解：如图，过点 P 作 PDAB 于点 D 由题意知DPB=DBP=45 在 RtPBD 中，sin45=，PB=PD 点 A 在点 P 的北偏东 65方向上，APD=25 在 RtPAD 中，cos25=PD=PAcos25=80 cos25，PB=80 cos25 点评：此题
19、主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键 19（5 分）（2014呼和浩特）已知实数 a 是不等于 3的常数，解不等式组，并依据 a 的取值情况写出其解集 考点：解一元一次不等式组 专题：分类讨论 分析：首先分别解出两个不等式，再根据实数 a 是不等于 3 的常数，分两种情况进行讨论：当 a3时，当 a3 时，然后确定出不等式组的解集 解答：解：，解得：x3，解得：xa，实数 a 是不等于 3 的常数，当 a3 时，不等式组的解集为 x3，当 a3 时，不等式组的解集为 xa 点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小
20、小大中间找；大大小小找不到 20（9 分）（2014呼和浩特）学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了 50 名学生进行了 60 秒跳绳的测试，并将这 50名学生的测试成绩（即 60 秒跳绳的个数）从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答下列问题（1）跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于 60 秒跳绳成绩的一个什么结论？（2）若用各组数据的组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，求这 50 名学生的 60 秒跳绳的平均成绩（结果保留整数）；（3）若从
21、成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2 名学生，用列举法求抽取的 2 名学生恰好在同一组的概率 考点：频数（率）分布直方图；中位数；列表法与树状图法 分析：（1）根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出中间两个数的平均数，再根据中位数落在第四组估计出初三学生 60 秒跳绳再 120 个以上的人数达到一半以上；（2）根据平均数的计算公式进行计算即可；（3）先把第一组的两名学生用 A、B 表示，第六组的三名学生用 1，2，3 表示，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行计算即可 解答：解：（1）共有 50 个数，中位数是第 25、26 个数的平均数，跳绳次数的中位数落在第四组；可以估计初三学
22、生 60 秒跳绳再 120 个以上的人数达到一半以上；（2）根据题意得：（270+1090+12110+13130+10150+3170）50121（个），答：这 50 名学生的 60 秒跳绳的平均成绩是 121个；（3）记第一组的两名学生为 A、B，第六组的三名学生为 1，2，3，则从这 5 名学生中抽取两名学生有以下 10 种情况：AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23，则抽取的 2 名学生恰好在同一组的概率是：=；点评：此题考查了频数（率）分布直方图，用到的知识点是中位数、平均数、概率公式，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决
23、问题 21（7 分）（2014呼和浩特）如图，四边形 ABCD是矩形，把矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE与 DC 的交点为 O，连接 DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEAC 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质 专题：证明题 分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据 SSS 可证ADECED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得EDC=DEA，由于ACE 与ACB 关于 AC所在直线对称，可得OAC=CAB，根据等量代换可得OAC=DEA，再根据平行线的判定即可求解 解证明：（1）四边形 ABC
24、D 是矩形，答：AD=BC，AB=CD，又AC 是折痕，BC=CE=AD，AB=AE=CD，在ADE 与CED 中，ADECED（SSS）；（2）ADECED，EDC=DEA，又ACE 与ACB 关于 AC 所在直线对称，OAC=CAB，OCA=CAB，OAC=OCA，2OAC=2DEA，OAC=DEA，DEAC 点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键 22（7 分）（2014呼和浩特）为鼓励居民节约用电，我市自 2012 年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在 180 千瓦时
25、（含 180 千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在 180 千瓦时到450 千瓦时（含 450 千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出 450 千瓦时的部分，执行市场调节价格 我市一位同学家今年 2 月份用电 330 千瓦时，电费为 213 元，3 月份用电 240 千瓦时，电费为150 元已知我市的一位居民今年 4、5 月份的家庭用电量分别为 160 和 410 千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民 4、5 月份的电费分别为多少元？考点：二元一次方程组的应用 分析：设基本电价为 x 元/千瓦时，提高电价为 y 元/千瓦时，根据 2 月份用电 330 千瓦时
26、，电费为 213元，3 月份用电 240 千瓦时，电费为 150 元，列方程组求解 解答：解：设基本电价为 x 元/千瓦时，提高电价为 y元/千瓦时，由题意得，解得：，则四月份电费为：1600.6=96（元），五月份电费为：1800.6+2300.7=108+161=269（元）答：这位居民四月份的电费为 96 元，五月份的电费为 269 元 点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解 23（8 分）（2014呼和浩特）如图，已知反比例函数 y=（x0，k 是常数）的图象经过点 A（1，4），点 B（m，n），其中 m1，AMx
27、 轴，垂足为 M，BNy 轴，垂足为 N，AM 与 BN 的交点为 C（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：ACBNOM；（3）若ACB 与NOM 的相似比为 2，求出 B 点的坐标及 AB 所在直线的解析式 考点：反比例函数综合题 分析：（1）把 A 点坐标代入 y=可得 k 的值，进而得到函数解析式；（2）根据 A、B 两点坐标可得 AC=4n，BC=m1，ON=n，OM=1，则=，再根据反比例函数解析式可得=m，则=m1，而=，可得=，再由ACB=NOM=90，可得ACBNOM；（3）根据ACB 与NOM 的相似比为 2 可得m1=2，进而得到 m 的值，然后可得 B 点坐标，再利用待
28、定系数法求出 AB 的解析式即可 解答：解：（1）y=（x0，k 是常数）的图象经过点 A（1，4），k=4，反比例函数解析式为 y=；（2）点 A（1，4），点 B（m，n），AC=4n，BC=m1，ON=n，OM=1，=1，B（m，n）在 y=上，=m，=m1，而=，=，ACB=NOM=90，ACBNOM；（3）ACB 与NOM 的相似比为 2，m1=2，m=3，B（3，），设 AB 所在直线解析式为 y=kx+b，解得，解析式为 y=x+点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等 24（8 分）（2014呼和浩特）如图，AB 是O
29、 的直径，点 C 在O 上，过点 C 作O 的切线 CM（1）求证：ACM=ABC；（2）延长 BC 到 D，使 BC=CD，连接 AD 与 CM 交于点 E，若O 的半径为 3，ED=2，求ACE 的外接圆的半径 考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质 分析：（1）连接 OC，由ABC+BAC=90及 CM是O 的切线得出ACM+ACO=90，再利用BAC=AOC，得出结论，（2）连接 OC，得出AEC 是直角三角形，AEC 的外接圆的直径是 AC，利用 ABCCDE，求出 AC，解答：（1）证明：如图，连接 OC AB 为O 的直径，ACB=90，ABC+BAC=90，又CM 是O 的切
30、线，OCCM，ACM+ACO=90，CO=AO，BAC=AOC，ACM=ABC；（2）解：BC=CD，OCAD，又OCCE，ADCE，AEC 是直角三角形，AEC 的外接圆的直径是 AC，又ABC+BAC=90，ACM+ECD=90，ABCCDE，=，O 的半径为 3，AB=6，=，BC2=12，BC=2，AC=2，AEC 的外接圆的半径为 点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质 解题的关键是找准角的关系 25（12 分）（2014呼和浩特）如图，已知直线 l 的解析式为 y=x1，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A
31、（m，0），B（2，0），D（1，）三点（1）求抛物线的解析式及 A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点 P 作 PE 垂直 x 轴于点 E，延长PE 与直线 l 交于点 F，请你将四边形 PAFB 的面积 S表示为点 P 的横坐标 x 的函数，并求出 S 的最大值及 S 最大时点 P 的坐标；（3）将（2）中 S 最大时的点 P 与点 B 相连，求证：直线 l 上的任意一点关于 x 轴的对称点一定在 PB 所在直线上 考点：二次函数综合题 分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上
32、，得到0=m2 m+2，解方程即可得到 m 的值，从而得到 A 点的坐标；（2）根据四边形 PAFB 的面积 S=ABPF，可得 S=（x+2）2+12，根据函数的最值可得 S的最大值是 12，进一步得到点 P 的坐标为；（3）根据待定系数法得到 PB 所在直线的解析式为 y=x+1，设 Q（a，a1）是 y=x1上的一点，则 Q 点关于 x 轴的对称点为（a，1 a），将（a，1 a）代入 y=x+1 显然成立，依此即可求解 解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 B（2，0），D（1，），解得 a=，b=，抛物线的解析式为 y=x2 x+2，A（m，0）在抛物线上，0=m2
33、m+2，解得 m=4，A 点的坐标为（4，0）如图所示：（2）直线 l 的解析式为 y=x1，S=ABPF=6PF=3（x2 x+2+1 x）=x23x+9=（x+2）2+12，其中4x0，S 的最大值是 12，此时点 P 的坐标为（2，2）；（3）直线 PB 经过点 P（2，2），B（2，0），PB 所在直线的解析式为 y=x+1，设 Q（a，a1）是 y=x1 上的一点，则 Q 点关于 x 轴的对称点为（a，1 a），将（a，1 a）代入 y=x+1 显然成立，直线 l上的任意一点关于 x 轴的对称点一定在PB 所在直线上 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，函数的最值问题，四边形的面积求法，以及关于 x 轴的对称点的坐标特征