向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料175.pdf-淘文阁

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1、向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切

2、圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO 0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx

3、O是ABC的重心.证法 2：如图 OABCDE精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 OCOBOA02ODOA ODAO2 DOA、三点共线，且O分AD为 2：1 O是ABC的重心（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示 O是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD垂直 BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA ACOB 同理BCOA，ABOC O为ABC的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心 OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB

4、平分BAC,(AObACcAB)，令cbabc cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba 0OCcOBbOAa （4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题：例 1、O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）OABCDE精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 A外心 B内心 C重心 D垂心分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2 ADOAOP2 APOAOP ADAP2 AP/AD 点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例 2、（03 全国理

5、4）O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B ）A外心 B内心 C重心 D垂心分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例 3、O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 ABCDE精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5 分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE垂直 A

6、C，D、E是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.例 4、已知点 G是ABC内任意一点,点 M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断 G点可能通过ABC的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点 G可能通过ABC的_.(2)若点 D是ABC的底边 BC 上的中点,满足GCGDGBGD,则点 G可能通过ABC的_.(3)若存在常数,满足0sinsinCAC

7、ACBABABMAMG,则点 G可能通过ABC的_.ABCDE精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6(4)若存在常数,满足0coscosCACACBABABMAMG,则点 G可能通过ABC的_.例 5、若 O点是ABC的外心,H点是ABC的垂心,且()OHm OAOBOC,求实数 m的值.练习 1：1已知ABC三个顶点CBA、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A2 B 23 C3 D 6 2若ABC的外接圆的圆心为 O，半径为 1，0OCOBOA，则OBOA()A21 B0 C1 D21 3点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则A

8、BC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A0 B23 C45 D34 4ABC的外接圆的圆心为 O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 5O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7 222ABOCCA，则O是ABC的（）A外心 B 内心 C重心 D垂心 6ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=7（06 陕西）已知非零向量 AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12,则 ABC

9、为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 8已知ABC三个顶点CBA、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A等腰三角形 B 等腰直角三角形 C直角三角形 D 既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C 练习 2：举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若P点为ABC内任意一点，若P点满足:精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢8 1(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，;2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且 DP P

10、BDP PCPABCEP PCEP PA为的外心;3.1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，;4.00AP BCPABCBP AC为的垂心.5已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足 OP=31(21OA+OB21+2OC),则点 P一定为三角形 ABC 的（B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点 6.B取 AB边的中点 M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得 3MCOMOP23，MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过

11、重心，故选 B.7.在同一个平面上有ABC及一点满足关系式：2OA2BC2OB2CA2OC2AB，则为ABC的（D ）外心内心 C 重心 D 垂心 8.已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足：0PAPBPC，则P 为ABC的（C ）精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢9 外心内心 C 重心 D 垂心 9已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：)(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的（C ）外心内心 C 重心 D 垂心 10已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：0PA

12、PCPA PBPBPC，则 P 点为三角形的（D ）外心内心 C 重心 D 垂心 11已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：0a PAb PBc PC ，则 P 点为三角形的（B ）外心内心 C 重心 D 垂心 12在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CPABCBCA222，则 P点轨迹一定通过ABC 的：（B ）外心内心 C 重心 D 垂心 13.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC 为()A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足(

13、|ABACABAC)=0，即角 A的平分线垂直于 BC，AB=AC，又cos A|ABACABAC=12，A=3，所以ABC 为等边三角形，选D 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10 14.ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=1 15.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1、O是ABC的重心0OCOBOA;若 O是A

14、BC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS。故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心.2、O是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA;若 O是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：故0OCCtanOBBtanOAAtan 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11 3、O是ABC的外心|OC|OB|OA|(或222OCOBOA)若 O是ABC外心0OCC2sinOBB2sinOAA2sin。C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：4、O是内心ABC的充要条

15、件是：0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 ；O是ABC内心的充要条件0OCcOBbOAa；若 O是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：；故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;|0AB PCBC PACA PBPABC的内心;向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；范例(一

16、)将平面向量与三角形内心结合考查例 1O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P 点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee 和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知 AP平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选 B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H是ABC 所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H是ABC 的垂心.由ACHBACHBHAH

17、CHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故 H是ABC 的垂心.（反之亦然（证略）A C B 1e2eP 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢12 例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC 的（D）A外心 B内心 C重心 D垂心解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,同理所以 P 为ABC的垂心.故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算

18、及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4 G是ABC 所在平面内一点，GCGBGA=0点 G是ABC 的重心.证明作图如右，图中GEGCGB 连结 BE和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D是 BC 的中点，AD 为 BC 边上的中线.将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故 G是ABC 的重心.（反之亦然（证略）例 5 P是ABC 所在平面内任一点.G是ABC 的重心)(31PCPBPAPG.证明 CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG G是

19、ABC 的重心 GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3 由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略）例 6若O 为ABC内一点，0OAOBOC，则O 是ABC 的（）A内心 B 外心 C垂心 D重心解析：由0OAOBOC得OBOCOA，如图以 OB、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选 D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相

20、平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例 7若O 为ABC内一点，OAOBOC，则O 是ABC 的（）ABCEDO精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢13 A B(x1,0)C(x2,y2)y x H Q G D E F A内心 B外心 C垂心 D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心，选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|

21、3OP|=1，求证 P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B组第 6 题）证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理 2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点 O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即 O是ABC 所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O是正P1P2P3的中心.例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、

22、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、由题设可设1324,)(,)2xQyH xy（、,122(,)33xxyG 212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,)BCxxy 2212422142()0()AHBCAHBCxxxy yxxxyy 212223221232()()0222()22QFA CxxyQFA Cxyyxxxyy

23、y 121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢14 2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y 即=3QHQG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂

24、直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10若 O、H 分别是ABC 的外心和垂心.求证 OCOBOAOH.证明若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO并延长交外接圆于 D，连结 AD，CD.ABAD，BCCD.又垂心为 H，BCAH，ABCH，AHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍。“欧

25、拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11 设 O、G、H 分别是锐角ABC 的外心、重心、垂心.求证 OHOG31 证明按重心定理 G是ABC 的重心)(31OCOBOAOG 按垂心定理 OCOBOAOH 由此可得 OHOG31.补充练习 1已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足 OP=31(21OA+OB21+2OC),则点 P一定为三角形 ABC 的（B ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15 1.B取 AB边的中点

26、 M，则OMOBOA2，由OP=31(21OA+OB21+2OC)可得 3MCOMOP23，MCMP32，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点 P不过重心，故选 B.2在同一个平面上有ABC及一点满足关系式：2OA2BC2OB2CA2OC2AB，则为ABC的（D ）外心内心 C 重心 D 垂心 2已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足：0PAPBPC，则 P 为ABC的（C ）外心内心 C 重心 D 垂心 3已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(ACABOAOP，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的（C ）外

27、心内心 C 重心 D 垂心 4已知ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足：0PA PCPA PBPBPC，则 P 点为三角形的（D ）外心内心 C 重心 D 垂心 5已知ABC，P 为三角形所在平面上的一点，且点 P 满足：0a PAb PBc PC ，则 P 点为三角形的（B ）外心内心 C 重心 D 垂心 6在三角形 ABC 中，动点 P 满足：CPABCBCA222，则 P 点轨迹一定通过ABC 的：（B ）外心内心 C 重心 D 垂心 7.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC 为()A.三

28、边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：非零向量与满足(|ABACABAC)=0，即角 A的平分线垂直于 BC，AB=AC，又cos A|ABACABAC=12，A=3，所以ABC 为等边三角形，选D 8.ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=1 精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢16 A B C M N G 图 1 9.点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O 是ABC的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（

29、C）三条中线的交点（D）三条高的交点 10.如图 1，已知点 G 是ABC的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于M，N 两点，且AMxAB，ANyAC，则113xy。证:点 G 是ABC的重心，知GAGBGCO，得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC。又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上），于是存在,，使得(1)AGAMAN且，有AGxAByAC=1()3ABAC，得113xy，于是得113xy。三角形中与向量有关的问题 1、课前练习 1.1 已知 O 是ABC 内的一点，若222OCOBOA，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、

30、内心 1.2 在ABC 中，有命题BCACAB；0CABCAB；若0ACABACAB，则ABC 为等腰三角形；若0 ACAB，则ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是 A、B、C、D、精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢17 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质；2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例 1、已知ABC 中，有0BCACACABAB和21ACACABAB,试判断ABC的形状。练习 1、已知ABC 中，aAB，bBC，B 是ABC 中的最大角，若0ba，试判断A

31、BC 的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，满足222222ABOCACOBBCOA，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 P 是ABC 所在平面内的一动点，且点 P 满足,0,ACACABABOAOP，则动点 P 一定过ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢18 练习 2、已知 O 为平面内一点，A、B、C 平面上不共线的三点，动点 P 满足,0,21BCABOAOP，则动点

32、 P 的轨迹一定通过 ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例 4、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，动点P 满足,0,coscosCACACBABABOAOP，则动点 P 一定过ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习 3、已知 O 是ABC 所在平面内的一点，动点 P 满足,0,coscos2CACACBABABOCOBOP，则动点 P 一定过ABC的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例 5、已知点 G 是的重心，过 G 作直线与 AB、AC 分别相交于 M、N 两点，且ACyANABxAM,，求证：311yx 6、作业 1）已知 O 是ABC 内

33、的一点，若0OCOBOA，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢19 2）若ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，且0OCOBOA，则OBOA 等于 A、21 B、0 C、1 D、21 3）已知 O 是ABC 所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若0OCcOBbOAa，则 O 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 4）已知 P 是ABC 所在平面内与 A 不重合的一点，满足APACAB3，则 P 是ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5）平面上的三个向量OA、OB

34、、OC满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证：ABC 为正三角形。6）在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM2，求)(OCOBOA 三角形四心与向量的典型问题分析一、“重心”的向量风采【命题 1】已知G是ABC所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC的重心如图.AGCAB 图图 M PCBAO精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢20【命题 2】已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的重心.【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中

35、线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题 3】P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的垂心【解析】由PA PBPB PC，得()0PBPAPC，即0PB CA，所以PBCA同理可证PCAB，PABCP是ABC的垂心如图.PABC 【命题 4】已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心图 HFEMABCOP图精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢21【解析】由题意coscosABACAPABB

36、ACC，由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosAB BCAC BCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题 5】已知I为ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa 若0aIA bIB cIC，则I是ABC的内心【解析】IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abc IAbABcAC，ABACbABcACACABAB ACACABABAC，bcABACAIabcABACABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，AI与BAC平分线共线，

37、即AI平分BAC 图图ABCOPbacIACB精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢22 OCAB同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB从而I是ABC的内心，如图.【命题 6】已知O是平面上一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心【解析】由题意得ABACAPABAC，当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题 7】已知O是ABC所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC的外心【解析】若222OAOBO

38、C，则222OAOBOC，OAOBOC，则O是ABC的外心，如图。【命题 7】已知O是平面上的一定点，A BC，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的外心。图 MOBCAP图精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢23【解析】由于2OBOC过BC的中点，当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC的外心，如图。向量专题复习一、与三角形“四心”相关的向量问题题 1：已知 O是平面上

39、一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足|ABACOPOAABAC,0,).则 P 点的轨迹一定通过ABC 的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由已知得|ABACAPABAC，|ABAB是AB方向上的单位向量，|ACAC是AC方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点 P 在BAC的角平分线上，故点P 的轨迹过ABC 的内心，选 B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 练习：在直角坐标系 xoy中，已知点 A(0,1)和点 B(3,4)，若点 C 在AOB的平分线上，且|2OC，则OC=_.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢24 略解

40、：点 C 在AOB 的平线上，则存在(0,)使()|OAOBOCOAOB=3 4(0,1)(,)5 5=39(,)55,而|2OC，可得103，10 3 10(,)55OC .题 2：已知 O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OPOAABAC,0,).则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由已知得()APABAC，设 BC 的中点为 D，则根据平行四边形法则知点 P 在 BC 的中线 AD所在的射线上，故 P 的轨迹过ABC 的重心，选 C.题 3：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点

41、P 满足()|sin|sinABACOPOAABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解：由已知得()|sin|sinABACAPABBACC，由正弦定理知|sin|sinABBACC，()|sinAPABACABB，设 BC 的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心，故选 A.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢25 题 4：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()|cos|cosABACOP

42、OAABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解：由已知得()|cos|cosABACAPABBACC，()|cos|cosAB BCAC BCAP BCABBACC=|cos()|cos()|cos|cosABBCBACBCCABBACC=(|)BCBC=0，APBC，即 APBC，所以动点 P 的轨迹通过ABC 的垂心，选 B.题 5：已知 O是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足()2|cos|cosOBOCABACOPABBACC,0,),则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.重心 B.垂心

44、 B.重心 C.内心 D.外心解：|ABCAABCA表示与ABC 中A的外角平分线共线的向量，由()|ABCAOAABCA=0 知 OA垂直A的外角平分线，因而 OA 是A的平分线，同理，OB和 OC 分别是B和C 的平分线，故选 C.题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O为ABC 的外心，动点 P满足1(1)(1)(12)3OPOAOBOC(,0)R，则 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.内心 B.垂心 C.重心 D.AB边的中点解：CPOPOC=1(1)(1)2(1)3OAOBOC =1()()3OAOCOBOC=1()3CACB,由平行四边形法则知CACB必过 AB边的

45、中点，注意到0，所以 P 的轨迹在 AB边的中线上，但不与重心重合，故选 D.精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢27 题 8：已知 O是ABC 所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则 O点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：若OAOBOC=0,则OAOBOC，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAC1B，设 OC1与 AB交于点 D，则 D 为 AB的中点，有1OAOBOC，得1OCOC，即 C、O、D、C1四点共线，同理 AE、BF亦为ABC 的中线，所以 O是ABC 的重心.选 C.题 9：已知 O是ABC 所在平面上的一点，若1()3POPAP

46、BPC(其中P 为平面上任意一点),则 O点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由已知得3POOAOPOBOPOCOP，33POOPOAOBOC，即OAOBOC=0，由上题的结论知 O点是ABC 的重心.故选 C.题 10：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若OA OBOB OCOC OA，则 O点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由OA OBOB OC，则0OA OBOB OC，即()0OBOAOC，得0OB CA，所以OBCA.同理可证OCAB，OABC.O是ABC 的垂心.选 D.题 11：已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足22

47、22|OABCOBCA=22|OCAB，则 O点是ABC的()A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心精品资料仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢28 解：由已知得2222|OAOBCABC()()OAOBOAOB=(CA)()BCCABC()BAOAOB=()CACBBA()BAOAOBACBC=0 2BAOC=0，OCBA.同理OACB，OBAC.故选 A.题 12：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则 O点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由已知得：()()OAOBOBOA=()()OBO

48、COCOB=()()OCOAOAOC=0 2222OBOAOCOB=22OAOC=0|OAOBOC.所以 O点是ABC 的外心.选 A.题 13：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则O点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：OBOAAB，OCOAAC，则()abc OAbABcAC=0，得()|bcABACAOabcABAC.因为|ABAB与|ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，设|ABACAPABAC，则AP平分BAC.又AO、AP共线，知AO平分BAC.同理可证 BO平分ABC，CO平分ACB，所以 O点是ABC 的内心.精品资料

49、仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢29 题 14：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若aPAbPBcPCPOabc(其中 P 是ABC 所在平面内任意一点)，则 O 点是ABC 的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由已知得bPBcPCcPAbPAPOPAabc=bABcACPAabc，bABcACAOabc=()bcABACabccb=()|bcABACabcABAC，由上题结论知 O点是ABC 的内心.故选 B.题 15：设 O为ABC 的外心，G为ABC 的重心，求证：1()3OGOAOBOC.证明：根据题 9中 P 点的任意性即可证得.证明略.题 16：设 O

50、为ABC 的外心，H为ABC 的垂心，则OHOAOBOC.证明：在ABC 的外接圆 O中作直径 BD，连接 AD、DC，则有：OBOD,ADAB,DCBC,又 H是垂心，则 AHBC,CHAB,CHAD,AHDC,于是 AHCD是平行四边形，AHDC.OHOAAHOADCOAOCODOAOBOC.练习 1：ABC 的外接圆的圆心为 O，两边上的高的交点为 H，OH=()m OAOBOC，则实数 m=_.解 1：由上题结论知 m=1.解 2：O为ABC 的外接圆的圆心，所以()OBOCBC，又 H为三角形的垂心，则AHBC，故AH()OBOC，设()AHOBOC.A B C O H D 精品资料

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