2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)(定稿)5568.pdf

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1、 B E C F 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加 试 一、(本题满分 40 分)如图,E、F 分别是ABC,ACD 的内心,AC 平分BAD,AC2ABAD,延长 EC 交 CDF 的外接圆于点 K,延长 FC 交BCE 的外接圆于点 R若 RKEF,求证:点 A 是BCD 的外心 R A K 证明:如图,连接 ER,FK 因为BACCAD,AC2ABAD,D 所以ABCADC,ABCACD 又EBC1ABC,ACF 1 ACD,2 所以EBCACF.2 B 由EBCERC 得,ERCACF,E R 所以 ERAC A C F K 同理 FKAC,于是 ERFK

2、 20 分 D 又因为 RKEF,所以四边形 EFKR 为平行四边形,从而 ERFK 因为 ERAC,所以RECECAECB 又因为EBCERC,ECEC,所以BECECR,从而 BCER 同理,CDFK,所以 BCCD AC AD CD 由ABACBC1,得ABCADC,于是 ABACAD,即 A 为BCD 外接圆的外心.40 分 n2 3(3)33 二、(本题满分 40 分)求所有的正整数 n,使得对于任意正实数 a、b、c 满足 abc1,有 abc(anbncn)1 3 解:(1)当 n3 时,取 a 2 bc 1 3,6,则 abc(anbncn)1 (2n1 1 1 1 所以 n3

3、 不满足题意 3n3 2n2n 3n2 10 分 (2)当 n1 时,abc(abc)abc abc 3 1,所以 n1 时,满足题意 20 分 (3)当 n2 时,原不等式也成立 令 xabbcca,则 a2b2c212x,由(abbcca)23abc(abc),得 3abcx2 于是,abc(a2b2c2)1x2(12x)因此 0 x 1 1 2 2x)1 xx12x 3 1 2,从而3x(1 3(3)34 即 abc(a2b2c2)1 2 2x)1 40 分 3x(1 34 )三、(本题满分 50 分)设 n 为正整数,求满足以下条件的三元正整数组a,b,c的个数:(1)abn;(2)1

4、cb;(3)a、b、c 的最大公约数为 1 解:用(a,b,c)表示 a、b、c 的最大公约数 令 Sna,b,c|a、b、c 为正整数,abn,1cb,(a,b,c)1,记 Sn 中元素的个数为 f(n)(nN*)显然 f(1)1 如果 np,其中 p 为素数,1设a,b,cSn,若 b1,则 ap,c1;若 bpt,1t1,则 apt,(c,p)1,1cb;若 bp,则 a1,1cb 因此,f(p)1 1 t pp1p(这里(x)为 Euler 函数)(p)t=1 20 分 下证:如果 m,n 为互素的正整数,那么 f(mn)f(m)f(n)首先,对每个a,b,cSmn由于 abmn 令

5、b1(b,n),b2(b,m),那么(b1,b2)1,再令 a1(a,n),a2(a,m),那么(a1,a2)1,而且 a1b1n,a2b2m 因为 1(a,b,c)(a1a2,b1b2,c)(a1a2,b1b2),c)(a1,a2)(b1,b2),c)那么(a1,b1,c)1,(a2,b2,c)1,令 cic(modbi),1cibi,i1,2 那么(a1,b1,c1)1,(a2,b2,c2)1,因此,a1,b1,c1Sn,a2,b2,c2Sm 30 分其次,若a1,b1,c1Sn,a2,b2,c2Sm 令 aa1a2,bb1b2由于(m,n)1,从而(b1,b2)1 cc1(modb1)由

6、中国剩余定理,存在唯一的整数 c,1cb,满足 cc2(modb2)40 分显然(a1,b1,c)(a1,b1,c1)1,(a2,b2,c)(a2,b2,c2)1,从而(a,b,c)(a,b),c)(a1,b1)(a2,b2),c)(a1,b1,c)(a2,b2,c)1 因此,a,b,cSmn 所以,f(mn)f(m)f(n)利用可知,f(n)n(11).50 分 p|n p 四、(本题满分 50 分)设 a、b、c、d、e 为正实数,且 a2b2c2d2e22若 5 个正三角形的面积分别为 a2,b2,c2,d2,e2求证:这五个三角形中存在四个能覆盖面积为 1 的正三角形 ABC 证明:不

7、妨设 abcde0 若 a1,则面积为 a2 的三角形可覆盖ABC.10 分 若 a1,则必有 bc1,这是因为当 c 1 bc,则 bc1;当 c 1 2时,由于 又 a1,则 b22a2c2d2e213c2(1c)2,2时,所以 bc1,从而 ac1,ab1.20 分 用面积为 a2,b2,c2 的三个三角形覆盖的ABC,使得每个三角形都分别有一个顶点与ABC的一个顶点重合,且有两条边在ABC 的两条边上于是,这三个三角形两两相交 若这三个三角形能覆盖ABC,则结论成立否则有 (ab1)(bc1)(ca1)1,得 2abc0 30 分令中间不能被 a2,b2,c2 的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2,则 f 21(a2b2c2)(ab1)2(bc1)2(ca1)2(2abc)2,得 f2abc.40 分 下证:d f 若 d 1 1 1 2,由 abcd2,则 f2abc2,从而 df 若 d 1 2 2 2 2 2 2 2,由 a、b、c1,有 d2d d e 2a b c 2abcf 所以,面积为 d2 的正三角形可以覆盖ABC 不能被面积 a2,b2,c2 覆盖的部分 50 分

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