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1、高二数学第二学期期末考试模拟卷数学试题数学试题一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题小题,每小题每小题 5 5 分，计分，计 4040 分分)1设,则 S 等于（A）Ax4Bx4+1C（x2）4Dx4+42 从1,2,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C )ABCD3已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（C)ABCD4若展开式中含有常数项，则n 的最小值是（A）A4B3C12D105设随机变量，记，则等于（A)A BCD6如果复数那么实数 a 的取值范围是（D）ABCD7已知复数都是实数,且），在复平面内,Z1、Z2所对应的点与原点
2、组成的三角形是（C）A锐角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形8在下列四个命题中：已知A、B、C、D 是空间的任意四点,则；若为空间的一组基底，则也构成空间的一组基底；对于空间的任意一点O 和不共线的三点 A、B、C，若(其中），则P、A、B、C四点共面其中正确的个数是（B)A3B2C1D0二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分,计计 3030 分分)9若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为点 P 的坐标，则点P 落在直线 x+y=5下方的概率是10已知ABC，A（1,1），B（2，3)，C（3，1），在矩阵作用所得到的图形围
3、成的面积是_。11设，则集合中元素的个数是3.12曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为13已知，则满足方程的二阶方阵=14如图,已知命题:若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB 和 BC 所成角分别为，则若把它推广到长方体 ABCDA1B1C1D1中,试写出相应命题形式:若长方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1与 BA1，BB1，BC 所成的角分别为，则。.三、解答题(共 90 分)15设虚数z1，z2，满足.（1）若z1，z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2(2）若z1=1+mi(i为虚数单位,mR），复数 w=z2+3，求w的取值范围解：(1）z1,z2是
4、一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z1=a+bi（a,bR 且 b0)，则z2=abi,由 得（a+bi）2=abi即：a2b2+2abi=abi根据复数相等，b0 解得:或，或(2)由于，z1=1+mi,w=z2+3，w=（1+mi）2+3=4m2+2mi。，由于且 m0，可解得 0m21,令 m2=u，在 u(0,1)上，(u2)2+12 是减函数，。16函数数列满足:，（1）求；（2）猜想的表达式，并证明你的结论。解：22猜想：3下面用数学归纳法证明：当 n=1 时,，已知，显然成立1假设当时,猜想成立，即则当时,3即对时,猜想也成立。结合可知:猜想对一切都成立。217设
5、有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4,5 的五个盒子，现将这五个球放入 5 个盒子内。（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法?（2）没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法?（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法?解：（1)C52A54=1200(种)4 分（2）A55-1=119（种）8 分（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1 种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0 种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10 种第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法：2
6、C52=20 种 满足条件的放法数为:1+10+20=31（种）14 分18如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点（）试确定点 F 的位置，使得 D1E平面 AB1F；（)当 D1E平面 AB1F 时，求二面角 C1EFA 的余弦值以及 BA1与面 C1EF 所成的角的大小解:（1）以 A 为原点,直线 AB、AD、AA1为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为 1,且，则A1D1于是B1C1由于是,可解得所以当点 F 是 CD 的中点时,A（2）当时，F 是 CD 的中点，D平面 AEF 的一个法向量为FB
7、CE而在平面 C1EF 中,所以平面 C1EF 的一个法向量为,又因为当把,都移向这个二面角内一点时,背向平面 AEF，而指向平面 C1EF故二面角 C C1 1EFEFA A 的大小为又,所以BA1与平面 C1EF 所成的角的大小为19在一个盒子中,放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记（)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(）求随机变量的分布列和数学期望解：(）、可能的取值为、，,，且当或时，因此,随机变量的最大值为 有放回抽两张卡片的所有情况有种，答:随机变量的最大值为 3，事件“取得最大值”的概率为（）的所有取值为时,只有
8、这一种情况，时,有或或或四种情况，时，有或两种情况，则随机变量的分布列为:因此，数学期望20当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少 15;(2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0。15 倍，狐狸数每年增加兔子数的0。1倍;(3）第n年时，兔子数量用表示,狐狸数量用表示；（4）初始时刻（即第 0 年)，兔子数量有只，狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题：（1)列出兔子与狐狸的生态模型；(2）求出、关于n的关系式；（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。解：4设，=又矩阵 M 的特征多项式=令得:特征值对应的一个特征向量为特征值对应的一个特征向量为6且=14当 n 越来越大时，越来越接近于0，,分别趋向于常量 210，140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。2