《2011年考研数学《概率统计》讲义第一讲.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年考研数学《概率统计》讲义第一讲.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20112011 年考研数学概率统计讲义第一讲年考研数学概率统计讲义第一讲1.1.“几何概型”问题“几何概型”问题例例 1 1在长 l 的线段 AB 上任意投掷两个质点 M 和 N，则点 A 离点 M 比离点 N 近的概率为()A181412BCD1解解事件A点A离点M比离点N近，并且设|AM|x，|AN|y，则0 xl，0yl，因此(x，y)|0 xl，0yl，A(x，y)|0 xyl，1P(A)L(A)l222L()l12故选择 C.例例 2 2设平面区域 D 是由 x1，y0，yx 所围成，今向 D 内随机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在由曲线 yx2与 yx
2、所围成的区域 D1内的概率解解分两步进行第一步：先计算任投一点落入 D1的概率根据几何概型，有1P(A)L(A)2311L()321第二步：设 X落入 D1内的点数，有X B(10,),于是32101291P(X2)1P(X0)P(X1)1 ()C10()().3331例例 3 3设随机变量X 和 Y 的联合分布在正方形 G(x，y)：1x3，1y3上均匀分布，试求随机变量 U|XY|的概率密度 p(u).1,解解由条件知 X 和 Y 的联合密度为f(x,y)40,若1 x 3,1 y 3,其他.以 F(u)P(Uu)(u)表示随机变量 U 的分布函数.显然，当 u0 时，F(u)0；当 u2
3、 时，F(u)1.设 0u2，则F(u)x y uf(x,y)dxdy|x y|uG14dxdy144 (2 u)1 214(2 u),21(2 u),于是，随机变量的密度为p(u)20,若 0 u 2,其他.例例 4 4在长为 l 的线段上，任意选取两点M 和 N，求 E|MN|，D|MN|解解令 Z|MN|，先求 p(z)F(z)P(Zz)P(|MN|z)再求 E(Z)和 D(Z).例例 5 5（1 1）设随机变量X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1_.答案是：19l(l z)l222，p(z)F(z).分析分析本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计
4、算问题.由题设，可知(X，Y)U(D)，其中 D(x，y)|0 x3，0y3.解法解法 1Pmax(X，Y)1P(X1，Y1)P(X1)P(Y1)(解法解法 2 2由几何概型可知Pmax(X,Y)1 PX 1,Y 1 1SD1013dx)(1013dy)1919.（2 2）在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于答案是：3412的概率为_.分析分析本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.解解设随机取到的两个数为 X 与 Y，则(X，Y)服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以利用二重积分计算p(|X Y|12)Df(x,y)d.另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，
5、即1 2 111234P(A)P(|X Y|12)L(A)L()2212.2.“图解法”问题“图解法”问题例例 1 1设事件 A、B、C 满足 P(B)2P(A)，P(C)3P(A)，并且 P(AB)P(BC)，则P(A)的取值范围是()A0,1B0,21C0,D0,3411解解由于 AAB，于是有xP(A)P(AB)yP(BC)利用加法公式，有1P(BC)P(B)P(C)P(BC)3x2xy3x2xx4x0即 04x10 x14.故选择 D.例例 2 2设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为率为1414，仅有B 发生的概，则 P(A)_.解解P(A)P(B)P(AB)P(
6、A)P(B)P(A)1 P(B)P(A)1 P(A)14.所以P(A)12例例 3 3设 XN(2，2)，并且 P(2X4)0.3，则 P(X0)_.例例 4 4设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的(01)，数u满足 PXu.若 P|X|x，则 x 等于(A)u (B)u212 (C)u1 (D)u12解解由题设，可知 u满足 P(Xu).可见，若要 P(|X|x)，即 P(|X|x)1，而 P(Xx)12，因此x u1故选择 C.23.3.“事件独立性”问题“事件独立性”问题定义定义P(AB)P(A)P(B),P(BC)P(B)P(C),两 两 独 立相互独立P(AC)P(A
7、)P(C),P(ABC)P(A)P(B)P(C),等价定义等价定义A BA.A.两两独立两两独立+A B与C独立（三者之一）ABB.B.P(AB)P(A)P(B)+P(C)0或 1例例设事件 A、B、C 满足 P(AB)P(A)P(B)，并且 P(C)P(C)2，则 A、B、C()A一定不是两两独立；B不一定是两两独立；C一定是相互独立；D一定不是相互独立.解解由 P(C)P(C)，我们有 P(C)0 或 1P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(BC)P(B)P(C)P(AC)P(A)P(C)P(C)0或1P(ABC)P(A)P(B)P(C)2故选择 C.证明：(1)对于任意
8、的 A，由于 ACC，P(AC)P(C)0P(AC)0P(A)P(C)，即 A 与 C 相互独立(2)(CC)AA，P(CA)P(A)P(AC)P(A)P(A)P(C)P(A)(1P(C)P(A)P(C)结论：结论：零(或 1)概率事件与任何事件都是相互独立的.4.4.“全概公式”问题“全概公式”问题例例 1 1袋中装有 n 只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行 n次.已知袋中白球数的数学期望为 a，那么第 n1 次从袋中任取一球为白球的概率是_.n解解依题意袋中白球数 X 是个随机变量，X 可取 1，2，n，且kPXka.若k 1记 B“第 n1 次从袋中任取一球为白球
9、”，Ak“第 n 次交换后袋中有k 个白球”(k1，2，n).由全概率公式，得nnnP(B)P(Ak)P(B|Ak)k 1PX kk 1kn1nkPX k)k 1an.例例 2 2（1 1）有两个箱子，第一个箱子中有 3 个白球 2 个红球，第二个箱子中有 4 个白球 4 个红球，先从第一箱当中随机取一个球放入第二个箱子当中.再从第二箱当中取 1 个球，问它是白球的概率是多少？解解Ai表示第i次从第i个箱子取出的白球.P(A1)35P(A1)592549P(A2|A1)P(A2|A1)2345P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1).12，0.7（2 2）设随机变量X与Y
10、独立，其中X的概率分布为X 0.3而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U X Y的概率密度g(u).分析分析离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y的和是不能确定的，但是本题已知随机变量X与Y独立，并且X只有两个正概率点，这时可以利用全概率公式求U X Y的概率密度解解为求出概率密度g(u)，一般应先求分布函数G(u)PU u PX Y u，先验概率：PX 1 0.3，PX 2 0.7所以U X Y的分布函数为G(u)PX Y u PX 1PX Y u X 1 PX 2PX Y u X 2P X Y uX 1 0.P 7X Y uX 0.3PY u 1X 1 0.30 P.7 Y u X 2.2
11、 2 由于X和Y相互独立，可见G(u)0.3 PY u 1 0.7 PY u 2 0.3 F(u 1)0.7 F(u 2).又因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U的概率密度g(u)G(u)0.3F(u 1)0.7F(u 2)0.3 f(u 1)0.7 f(u 2).例例 3 3从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,则PY 2=_.解解由全概率公式：PY 2=PX 1PY 2 X 1+PX 2PY 2 X 2+PX 3PY 2 X 3+PX 4PY 2 X 4X表示从数 1,2,3,4 中任取一个数，故X是等可能取到 1,2,
12、3,4。所以P(X i)14，i 1,2,3,4而Y表示从1,2,X中任取一个数，也就是说Y是等可能取到1,2,X也就是说Y 在 X的条件下等可能取值，即PY 2 X 1 0（X取 1 的条件下，Y取 2 是不可能事件）PY 2 X 2 PY 2 X 3 PY 2 X 4 131412（X取 2 的条件下，Y在 1，2 等可能取值）（X取 3 的条件下，Y在 1，2，3 等可能取值）（X取 4 的条件下，Y在 1，2，3，4 等可能取值）故PY 2=PX 1PY 2 X 1+PX 2PY 2 X 2+PX 3PY 2 X 3+PX 4PY 2 X 4例例 4 4设随机变量X与Y相互独立，且X服
13、从标准正态分布N0,1，Y的概率分布为PY 0 PY 1间断点个数为（）1214(0 1211)341 3.4 8，记FZz为随机变量Z XY的分布函数，则函数FZz的A0.B1.C2.D3.解解本题主要考查“二维随机变量函数的分布”，涉及“全概公式”.FZ(z)P(XY z)P(XY z Y 0)P(Y 0)P(XY z Y 1)P(Y 1)12P(XY z Y 0)P(XY z Y 1)12P(X 0 z Y 0)P(X z Y 1)1z 0,2(z),1z)X,Y独立，FZ(z)P(X 0 z)P(X 121(z),z 0.2可见 z0 为 F(z)的间断点，故选（B）5.5.“事件关系
14、与运算”问题“事件关系与运算”问题例例设随机变量 X 与 Y 独立同分布，其分布密度为p(x)83x020 x2其他令 AXa，BYa，并且 P(AB)34，则 a()A2B34C32D1解解由于P(A)P(B)p，而p(A B)即a14 p(A)P(B)p，所以p 212380 x dx 21131,a,a 28234.故选择 B.6.6.“协方差与相关系数”问题“协方差与相关系数”问题例例 1 1设随机变量X 的概率分布如下：xipi101221613并且 Y2X1，则(X，Y)的相关阵为_.XX解解矩阵R YXXY称为 X，Y 的相关阵相关阵YY由于 Y2X1，可知 XYYX1因此(X，
15、Y)的相关阵为R 11.例例 2 2设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若ZX0.4，则Y与Z的相关系数为_.解解D(Z)D(X0.4)D(X)，YZE(YE(Y)(ZE(Z)E(YE(Y)(X0.4E(X0.4)E(YE(Y)(XE(X)XY，因此YZ11YZD(Y)D(Z)XYD(Y)D(X)XY,故YZXY0.9.例例 3 3将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y 的相关系数等于A1B0C12D1解解由题设可知：由于X正面向上的次数；Y反面向上的次数，故有XYn，并且 XBn,，YBn,.于是22E(X)E(Y)n2,D(X)D(Y)n4
16、;211nnnnnnXYE(XY)E(X)E(Y)E(nX X),()4424442222因此XYXYn4n4 1D(X)D(Y)n4注意本题也可根据负相关的定义，由 XYn，导出 YXn，可见 1.例例 4 4设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 XY 与 XY 不相关的充分必要条件为AE(X)E(Y)BE(X)E(X)E(Y)E(Y)CE(X2)E(Y2)DE(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2解解由，不相关的充要条件是 D()D()D()，有D()D(XYXY)4D(X)，D()D()2D(X)2D(Y)，即 D(X)D(Y)，于是有 E(X2)(E(X)2E(Y2)(
17、E(Y)2.故选择 B.22227.7.“独立与相关”问题“独立与相关”问题 1 1例例 1 1设 X 与 Y 相互独立同分布，令 UXY，VXY，则 U 与 V 一定是()A不独立B独立C相关D不相关解解由于 E(UV)E(XY)(XY)E(X2Y2)E(X2)E(Y2)0E(U)E(V)E(XY)E(XY)(E(X)E(Y)(E(X)E(Y)0E(UV)E(U)E(V)，UV0UV0，故选择 D.举例说明 B不成立令 P(X0)P(Y0)1212，P(X1)P(Y1)1414则由 P(U1)P(X0，Y1)而 P(U1，V2)P(因此 U 与 V 不独立.，P(V2)P(X1，Y1)116
18、)0P(U1)P(V2)例例 2 2设 X 与 Y 相互独立都服从 P()，令 U2XY，V2XY.求随机变量 U 和 V 的相关系数 UV.解解由于 X，YP()，因此有E(X)E(Y)D(X)D(Y)，E(X)E(Y)D(X)(E(X)，于是 D(U)D(V)4D(X)D(Y)5，而 cov(U，V)cov(2XY，2XY)4D(X)D(Y)3，因此UVcov(U,V)D(U)D(V)3535.22228.8.“独立与相关”问题“独立与相关”问题 2 2（既不相关又不独立总结）（既不相关又不独立总结）例例 1 1设随机变量(X，Y)U(D)，其中 D：x2y2R2，求：(1)xy；(2)X
19、 与 Y 是否独立.解解D 是以原点为圆心、1 为半径的圆，其面积等于 ，故(X，Y)的密度函数为 1,p(x,y)0,x y 1;其他.22于是E(X)xp(x,y)dxdy112xdxdy21 r cos rdrd0021x y 112 0cosd0r dr0.2同样地，E(Y)0.而XY x E(x)y E(y)p(x,y)dxdy1212112x y 12 xydxdy r200sincosrdrd0sincosdr dr 0.013由此得 XY0.下面讨论独立性.当|x|1 时，pX(x)1 x2121 xdy 21 x.2当|y|1 时，pY(x)1 y2121 ydx 21 y.
20、2显然pX(x)pY(y)p(x，y)，故 X 和 Y 不是相互独立的.这说明 XY0 不是 X，Y 相互独立的充分条件.例例 2 2设随机变量X N(0,1),Y X,(1)求xy,(2)讨 论 x与 y是 否 独 立.解解CovX,Y EXY EXEY 0，所以XY 02（2 2）由于Y X2，说明X,Y有非线性关系，因此不独立。例例 3 3设随机变量X u(,),Y1 sin X,Y2 cos X.判断Y1,Y2的相关性和独立性。解解E(Y1),E(Y2),D(Y1),D(Y2)Y Y 0 Y Y 0 Y1,Y2不 相 关.1212（2 2）Y12 Y22 1 Y1,Y2不 独 立.9.
21、9.“结论”问题“结论”问题一个重要的结论：一个重要的结论：设 X 具有连续的分布函数Fx，则Y FXU0,1例例 1 1设 XE(4)，证明 Y1e4XU(0，1).1e4x,x 0解解由于Fx为E(4)的分布函数，有0,其他F()0，F()10,由分布函数的定义F(y)*,1,y 0,0 y 1,y 1,当 0y1 时，有F(y)P(Yy)P(1e4Xy)P X 14414ln(1 y)14ln(1 y)FXln(1 y)1 e 1(1 y)y,0,y 0,因此F(y)y,0 y 1,1,y 1,1,0 y 1,p(y)0,其他.即 YU(0，1).2 X（9595 年数四）年数四）假设随
22、机变量X服从参数为 2 的指数分布。证明：Y 1 e(0,1)上服从均匀分布。在区间方法方法 1 1：Y 1 e在区间(0,1)上hy2 X是0,上的单调函数且其反函数为x hy1 0.12ln1 y.21 y应用单调函数公式法，Y的概率密度为fYhy fXhy,0 y 1,y 其 它，0,12hy2e,2 1 y0,0 y 1,其它，1,0 y 1,0,其它，由计算可知fYy恰是(0,1)上均匀分布的密度函数.方法方法 2 2：用分布函数法求Y的分布函数.当y 0时，FYy 0；当y 1时，FYy 1；当0 y 1时，12ln1 y 0，1ln1 y21 12FYy PY y PX ln1
23、y FXln 1 y 1 e22 y1,y 1,计算可知Y的分布函数为FYy0,y 0,y，0 y 1.上式恰好是区间(0,1)上均匀分布随机变量的分布函数.1,若x 1,8,（0303 年数三）年数三）设随机变量X的概率密度为f(x)33x2，F(x)是X其他;0,的分布函数.求随机变量Y F(X)的分布函数.解解当x 1时，F(x)0;当x 8时，F(x)1.x3对于x 1,8，有F(x)13t21dt 3x 1.设G(y)是随机变量Y F(X)的分布函数.显然，当y 0时，G(y)=0；当y 1时，G(y)=1.对于y 0,1)，有G(y)PY y PF(X)y3F(y 1)y.P3X
24、1 y P X (y 1)30,于是，Y F(x)的分布函数为G(y)y,1,若y 0,若0y 1,若y 1.事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y F(x)仍服从均匀分布:当y 0时，G(y)=0;当y 1时，G(y)=1;当 0 y 1时，G(y)PY y PF(X)y=PX F1(y)=F(F1(y)y.10.10.“几何分布”问题“几何分布”问题例例 1 1设甲、乙、丙三人依次轮流掷骰子，用 X 表示他们第一个投中 6 时所用次数.求X 的分布.进一步求 E（X），D（X）解解设 Ai甲第 i 次投中 6 点；Bi乙第 i 次投中 6 点；Ci丙第 i 次投中 6 点，(i1，
25、2，).于是PX 1 PA1 A1B1 A1B1C1656165656169163 p5391PX 2 PA1B1C1A2 A1B1C1A2B2 A1B1C1A2B2C3()3 pq6653(k 1)91k 1P(X k)()pq366因此，X 的分布为P(X k)pqk 1(k 1,2,)其中p，EX9153,q ()3661p21691,DXqp2125912 63309122例例 2 2某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立.当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求X 的数学期望 E(X)和 D(X).解解令
26、q1p，得X 的分布为k1P(Xk)qp(k1，2，)kkX 的数学期望E(X)k 1kqk 1p p(q)p(q)pk 1k 1q1 q1p 1pE(X)2k 1k q2k 1p k 1(k(k 1)k)qk 1p pq(q)k 1k q1 qqp 1p2(1 q)3pq 1p2(1 p)p21p2 pp2D(X)E(X2)(EX)22 pp21p21 pp211.11.“正态分布几个结论”问题“正态分布几个结论”问题一般情况下，(1)X1与X2独立且X1 N(1,12)，X2 N(2,22)则Z X1 X2 N(12,1222)(2)X与Y不独立，只要(X,Y)N(1,2,12,22,)则
27、Z X Y N(12,1222 212).22（3）(X,Y)N(1,2,1,2,)时，X与Y独立 0例例 1 1设(X1,X2)服从二维正态分布.参数12 0,1222 1,0 1.令Y X1 X2.求证：Y服从正态分布.分析分析要证 Y 服从正态分布，只要求出Y 的分布密度为正态分布的密度即可.这是求随机变量之和的分布密度问题.证明证明记 Y 的分布函数为 FY(y)，则FY(y)PYyx1 x2 yf(x1,x2)dx1dx2dx1y x1f(x1,x2)dx2令x2 t x1dx1yf(x1,t x1)dtydtf(x1,t x1)dx1将(X1，X2)的联合密度函数 f(x1，x2)
28、代入上式，有FY(y)ydt12 1212(1)2(x12x1(t x1)(t x1)22edx1,而x1 2x1(t x1)(t x1)2(1)x1 2(1)x1t tt2ttt212 2(1)x x1t 2(1)(x1)t 442(1)24(1)212222222 2(1)x1t21 2 t.22故FY(y)ydt12111 x1t2212(1)22(1)(x1t2 212tdx12et2ydt12122t2ee4(1)dx1y122(1)e4(1)dx1.最后一个式子中，被积函数是 0，22(1)的正态密度.因此 Y 服从正态分布且参数 0，2(1).例例 2 2设二维随机变量(X，Y)
29、的密度函数为f(x,y)122其中1(x，y)和2(x，y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为131(x,y)2(x,y),和13，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1.(1)求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f1(x)和 f2(y)，及 X 和 Y 的相关系数(可以直接利用二维正态密度的性质)；(2)问 X 和 Y 是否独立？为什么？分析分析本题主要考查二维随机变量的“函数的分布”、“独立性”及“相关系数”.解解 (1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此1(x，y)和2(x，y)的两个边缘密度为标准正态密度函数，
30、故f1(x)f(x,y)dy1212x2121(x,y)dy 22(x,y)dy12e212ex22 12ex2;同理f2ey22.由于 XN(0，1)，YN(0，1)，可见 E(X)E(Y)0，D(X)D(Y)1.随机变量 X和 Y 的相关系数 xyf(x,y)dxdy12xy1(x,y)dxdy xy2(x,y)dxdy111 0.233(2)由题设f(x,y)382e916(x 223xy y)2 e916(x 223xy y)2,f1(x)f2(y)12ex22ey2212e(x y)222,f(x，y)f1(x)f2(y)，所以 X 与 Y 不独立.九天考研网例例 3 3设随机变量X
31、 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X 与 Y 一定独立；(B)(X，Y)服从二维正态分布；(C)X 与 Y 未必独立；(D)XY 服从一维正态分布.分析分析本题主要考查随机变量“独立”与“不相关”.我们知道“对于任意二个随机变量来说，若 X 与 Y 相互独立，则它们一定不相关，反之不真”.另外，“对于二维正态分布来说，X 与 Y 相互独立的充要条件是X 与 Y 不相关”.这里 X 与 Y 都服从正态分布，并且它们不相关，不能导出它们的联合分布一定是二维正态分布.因此，X 与 Y 不相关，不能推出 X 与 Y 一定独立，即 X 与 Y 未必独立.故选择 C.注意本题还可以使用排除法
32、.即若 B 成立，那么 A，D 一定成立，因此排除 A，B，D，即只有 C 成立.这里用到了一个重要结论“X 与 Y 都服从正态分布，并且(X，Y)服从二维正态分布，则 XY 服从一维正态分布”.12.12.“离散型”问题“离散型”问题例例 1 1袋中有编号为 1，2，3 的三个球，在(1)有放回地抽取 2 次,(2)无放回地抽取 2次情况下，试讨论 至少有一次取到 2 号球的概率.在第一次取到 2 号球的条件下，求第二次取到 1 号球的概率.在第二次取到 1 号球的条件下，求第一次取到 2 号球的概率.解解设A至少有一次取到2号球,B第一次取到2号球,C第二次取到1号球(1)有放回：根据古典
33、概型(考虑到元素是有序的)方法一P(A)2C2C1 1321159方法二P(A)1 P(A)11313232259 P(C|B)P(C)P(B|C)P(B)(2)无放回：(独立)(独立)A恰有一次恰有两次恰有一次P(A)C1C2C31211231(组合无序)1P(A)C1C2 C2C1P23123(排列有序)1P(C|B)P(CB)P(B)C C/PC1/P31111112316.123(公式法)P(C|B)PB(C)C1C11212(改变样本空间)设 D第一次取到 1 号球P(B|C)逆概公式，先求 P(C)P(C)P(D)P(C|D)P(D)P(C|D)(全概)116.(逆概)1P(C)2
34、3思考题思考题袋中有 3 白球 2 红球，每次取一个，取后不放回，设 X 表示第一次取到白球P(B|C)P(CB)13 0 231213的个数，Y 表示第二次取到红球的个数.(1)求 X，Y 的联合分布.(2)求FX(x),FY(y).(3)讨论 X，Y 的独立性和相关性.例例 3 3袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（1）求pX 1 Z 0；（2）求二维随机变量X,Y联合概率分布。解解（1）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 P(X 1 Z 0)C2 2C3C311149（2）X，Y 取值范围为 0，1，2，故PX 0,Y 0PX 2,Y 0PX 1,Y 1PX 0,Y 2C3C31111C6C611141,PX 1,Y 0C2C3C6C611111111611C6C6C2C2C6C611111113619,PX 0,Y 1C2C2C3C6C6131,PX 2,Y 1 0C2C2C6C6119PX 1,Y 2 0,PX 2,Y 2 0XY0120121/41/31/91/61/901/3600