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1、20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(全国）全国）数学数学(理科）理科）第第卷卷一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 1212 小题小题,每小题每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的(1)【2014 年全国，理 1，5 分】已知集合，则=（）(A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故选 A（2）【2014 年全国,理 2，5 分】（）（A）（B）（C）（D)【答案】D【解析】，故选 D（3）【2014 年全国，理 3,5 分】设函数，的定义域为，且是奇函数,是偶函
2、数，则下列结论中正确的是()(A）是偶函数（B）是奇函数（C）是奇函数（D)是奇函数【答案】C【解析】是奇函数，是偶函数，为偶函数，为偶函数再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得为奇函数，故选C(4）【2014 年全国,理 4，5 分】已知是双曲线：的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为（）（A)（B）3(C）（D)【答案】A【解析】由:，得,，设,一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离，故选A（5）【2014 年全国,理 5，5 分】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）（A
3、）(B)(C）(D）【答案】D【解析】由题知，且，所以,解得，故选 D（6）【2014 年全国,理 6，5 分】如图,圆的半径为 1,是圆上的定点，是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（）（A）(B）（C）（D)【答案】B【解析】如图:过作于，则，,在中，,故选 B（7）【2014 年全国，理 7，5 分】执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2，3，则输出的（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】输入;时:;时：；时：；时：输出，故选 D（8）【2014 年全国，理 8,5 分】设，且，则（)（A)（B）(
4、C)(D）【答案】B【解析】，,，即，故选 B(9）【2014 年全国，理 9,5 分】不等式组的解集记为有下面四个命题：，：，：，：其中真命题是（）（A)，（B），（C）,（D）,【答案】C【解析】作出可行域如图：设,即，当直线过时，,1，命题、真命题，故选C(10）【2014 年全国，理 10,5 分】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点,是直线与的一个交点，若，则（）（A）（B)（C)3(D)2【答案】C【解析】过作于，又，由抛物线定义知，故选C(11)【2014 年全国，理 11，5 分】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为（）（A）（B）（C)（D）【答案】B【解析】解法
5、一：由已知，,令，得或,当时，；且，有小于零的零点，不符合题意当时，要使有唯一的零点且，只需，即,，故选 B解法二：由已知，有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在轴右侧记，,由，,，要使有唯一的正零根,只需，故选 B（12)【2014 年全国，理 12，5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为（)（A)（B）（C）6（D）4【答案】C【解析】如图所示，原几何体为三棱锥,其中，,故最长的棱的长度为，故选C第第 II II 卷卷本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考
6、题和选考题两部分 第第（13)13)题题 第第（21)21)题为必考题题为必考题,每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第(22(22）题第题第（2424）题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分(13）【2014 年全国，理 13，5 分】的展开式中的系数为(用数字填写答案)【答案】【解析】展开式的通项为,的展开式中的项为,故系数为（14）【2014 年全国，理 14,5 分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多，但没去过城市;乙说：我没去过城市
7、；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为【答案】【解析】由乙说：我没去过城市，则乙可能去过城市或城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市，则乙只能是去过,中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为（15）【2014 年全国，理 15，5 分】已知，是圆上的三点,若，则与的夹角为【答案】【解析】，为线段中点，故为的直径,与的夹角为（16)【2014 年全国，理 16，5 分】已知分别为的三个内角的对边，,且，则面积的最大值为【答案】【解析】由且，即，由及正弦定理得：,，故，,，,三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应
8、写出文字说明，证明过程或演算步骤(17）【2014 年全国，理 17，12 分】已知数列的前项和为，其中为常数（1)证明：；(2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由解：(1）由题设，两式相减，由于，2所以6 分（2）由题设，可得，由(1)知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时,为等差数列:由知：数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4 的等差数列，令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为 4 的等差数列，令则，,(），因此，存在存在，使得为等差数列12 分（18)【2014 年全国，理 18，12 分】从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如
9、下频率分布直方图：（1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（i）利用该正态分布，求；(ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记表示 100 件产品中质量指标值为区间(187.8,212。2）的产品件数，利用（i）的结果，求附:若,则，=0。9544解：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为:6 分（2）（）由（1）知，从而9 分（）由（)知,一件产品中质量指标值为于区间（187。8,212。2）的概率为 0.682
10、6依题意知，所以12 分（19）【2014 年全国，理 19，12 分】如图三棱柱中，侧面为菱形，（1)证明:;（2）若,，求二面角的余弦值解：（1）连结,交于,连结因为侧面为菱形，所以，且为与的中点又，所以平面，故又,故6 分（2）因为且为的中点,所以，又因为，所以,故，从而，两两互相垂直 以为坐标原点，的方向为轴正方向,为单位长，建立如图所示空间直角坐标系因为，所以为等边三角形又,则，设是平面的法向量，则，即所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取，则，所以二面角的余弦值为12 分（20）【2014 年全国,理 20，12 分】已知点，椭圆：的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为，为坐标原
11、点(1）求的方程;（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时,求的方程解：（1）设，由条件知,得，又，所以，故的方程6 分(2）依题意当轴不合题意,故设直线：，设，将代入，得，当，即时，从而，又点到直线的距离,所以的面积,设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：或.12 分分】设函数，曲线在点处的切线为（21）【2014 年全国，理 21，12（1)求;（2）证明:解：(1）函数的定义域为，3由题意可得，故6 分（2)由（1)知，从而等价于,设函数，则，所以当时,，当时，故在单调减，在单调递增，从而在的最小值为8 分设函数，则，所以当时，当时，,故在单调递增，在单
12、调递减，从而在的最小值为综上：当时，,即。12 分请考生在（请考生在（2222）、（2323）、（2424）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用题目计分，做答时，请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑（22）【2014 年全国，理 22，10 分】(选修 41：几何证明选讲）如图，四边形是的内接四边形,的延长线与的延长线交于点，且（1）证明：；(2）设不是的直径，的中点为，且,证明:为等边三角形解:（1）由题设得，四点共圆，所
13、以，又，所以5 分（2)设的中点为，连结，则由知，故在直线上，又不是的直径,为的中点，故，即，所以，故,又,故，由（1）知，所以为等边三角形10 分（23）【2014 年全国，理 23，10 分】（选修 44:坐标系与参数方程）已知曲线，直线(为参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程;(2）过曲线上任意一点作与夹角为30的直线，交于点，求的最大值与最小值解:（1）曲线的参数方程为(为参数）直线的普通方程为5 分（2）曲线上任意一点到的距离为，则，其中为锐角，且,当时，取得最大值,最大值为当时，取得最小值，最小值为10 分（24）【2014 年全国,理 24,10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若，且(1）求的最小值;（2）是否存在，使得？并说明理由解：（1）由，得,且当时等号成立故，且当时等号成立,所以的最小值为5 分(2)由（1）知,，由于，从而不存在，使得10 分4