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1、3.3 3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 内容简介内容简介:随机变量的独立性是研究两个随机变量的独立性是研究两个或几个随机变量之间的影响关系或几个随机变量之间的影响关系.独立性是独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，概率论与数理统计中的一个很重要的概念，同时也是非常实用的方法同时也是非常实用的方法,它是由随机事件它是由随机事件的相互独立性引申而来的的相互独立性引申而来的.我们重点学习如我们重点学习如何判定独立性何判定独立性.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布
2、3.3 3.3 随机变量的独立性随机变量的独立性上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.3.1 提出问题提出问题 (1)联合分布函数和边缘分布函数联合分布函数和边缘分布函数 在在X与与Y独立的情况下关系如何？一般情况下独立的情况下关系如何？一般情况下关系如何关系如何?(2)离散型随机变量与连续型随机变量独离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件是什么？立的充要条件是什么？3.3.2 预备知识预备知识 1.事件的独立性事件的独立性,联合分布律与联合概率联合分布律与联合概率密度密度,边缘分布律与边缘概律密度边缘分布律与边缘概律密度；2.充分必要条件充分必要条件,n重积分及其反常积重
3、积分及其反常积 表示表示.分分上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回3.3.3 建立理论与方法应用建立理论与方法应用 随机变量的独立性是概率论与数理统计随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相它是由随机事件的相互独立性引申而来的互独立性引申而来的.我们知道我们知道,两个事件两个事件A与与B是相互独立的是相互独立的,当且仅当它们满足当且仅当它们满足 P(AB)=P(A)P(B).由此由此,可引出两个随机变量的相互独立性可引出两个随机变量的相互独立性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设X,Y为两个随机变量为两个随机
4、变量,于是于是Xx,Yy为两个随机事件为两个随机事件,则两事件则两事件Xx,Yy相互独立相互独立,相当于下式成立相当于下式成立 PXx,Yy=PXx PYy,或写成分布函数或写成分布函数形形 F(x,y)=FX(x)FY(y).定义定义1 设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,其联合分其联合分布函数为布函数为F(x,y).若若 F(x,y)=FX(x)FY(y),则称则称随机变量随机变量X与与Y相互独立相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 具体地具体地,对离散型与连续型随机变量的对离散型与连续型随机变量的独立性独立性,可分别用分布律与概率密度描述可分别用分布律与概率密度
5、描述.定理定理1 (1)离散型随机变量离散型随机变量X与与Y相互独立相互独立的充要条件是对于的充要条件是对于(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有 PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,(3.3.1)其中其中i j=1,2,.(2)连续型随机变量连续型随机变量X与与Y相互独立的充要相互独立的充要条件是条件是 f(x,y)=fX(x)fY(y)(3.3.2)几乎处处成立几乎处处成立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.3.1 设随机变量设随机变量(X,Y)的分布律及边缘的分布律及边缘分布律如下表：分布律如下表：X Y01p.j12pi.问问X与与Y
6、是否相互独立？是否相互独立？PX=1,Y=1=PX=1PY=1,PX=0,Y=1=PX=0PY=1,解解 因为因为PX=0,Y=2=PX=0PY=2,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因此因此 X,Y是相互独立的是相互独立的.PX=1,Y=2=PX=1PY=2,讲评讲评 此题是离散型随机变量的独立性此题是离散型随机变量的独立性问题问题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.3.2 继续解读例继续解读例3.2.2：设二维随机：设二维随机变量变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 问连续型随机变量问连续型随机变量X与与Y是否相互独立是否相互独立?解解 由例由例3.
7、2.2已知关于已知关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 由由x和和y的对称性的对称性，得到关于得到关于X的边缘概的边缘概率密度为率密度为 fX(x)fY(y)f(x,y).可见可见,得到以下的关系得到以下的关系:因此因此,X与与Y不相互独立不相互独立.讲评讲评 此题是连续型随机变量的独立性此题是连续型随机变量的独立性问题问题.在第四章的不相关问题中还要用此题在第四章的不相关问题中还要用此题.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例3.3.3 设设(X,Y)是二维正态随机变量是二维正态随机变量,它的概率密度为它的概率密度为 试证试证
8、X与与Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是=0.证证 由例由例3.1.6知道知道,边缘概率密度边缘概率密度fX(x)和和fY(y)的乘积为的乘积为 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 反之反之,如果如果X和和Y相互独立相互独立,由于由于f(x,y),fX(x),fY(y)都是连续函数都是连续函数,故对于所故对于所有的有的x和和y有有 特别地特别地,令令x=1,y=2,由上述等式得到由上述等式得到从而从而=0.因此因此,如果如果=0,则对于所有的则对于所有的实数实数x和和y,有有 f(x,y)=fX(x)fY(y),即即X和和Y相互独立相互独立.f(x,y)=fX(x)fY(
9、y).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 随机变量的独立性往往由实际问题确定随机变量的独立性往往由实际问题确定.在独立的情况下在独立的情况下,边缘分布唯一确定联合分布边缘分布唯一确定联合分布,这样就将多维随机变量的问题转化为一维随机这样就将多维随机变量的问题转化为一维随机变量的问题变量的问题.所以独立性是非常值得重视的概所以独立性是非常值得重视的概念之一念之一.定理定理2 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y),X与与Y相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数=0.综上所述综上所述,得到以下的重要结论得到以下的重要结论:讲评讲评:上页上页下页下页返回返回上页上
10、页下页下页返回返回 关于多个随机变量的有关理论关于多个随机变量的有关理论,可可由二维随机变量的一些概念推广得到由二维随机变量的一些概念推广得到.n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的分布函数分布函数定义定义 为为 F(x1,x2,xn)=P X1x1,X2x2,Xnxn,其中其中x1,x2,xn为任意实数为任意实数.若存在非负函数若存在非负函数f(x1,x2,xn),使得对于使得对于任意实数任意实数x1,x2,xn有如下的关系有如下的关系:2.2.n维随机变量的相关理论维随机变量的相关理论上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回则称则称f(x1,x2,xn)为连续型随机变量为连
11、续型随机变量(X1,X2,Xn)的的概率密度概率密度.设设(X1,X2,Xn)的分布函数的分布函数F(x1,x2,xn)为已知为已知,则则(X1,X2,Xn)的的k(1kn)维边缘维边缘分布函数就随之确定分布函数就随之确定.例如例如(X1,X2,Xn)关于关于X1和关于和关于(X1,X2)的的边缘分布函数边缘分布函数分别为分别为=F(x1,x2,xn)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 又若又若f(x1,x2,xn)是是(X1,X2,Xn)的的概率密度概率密度,则则(X1,X2,Xn)关于关于X1和关于和关于(X1,X2)的的边缘概率密度边缘概率密度分别为分别为 上页上页下页下页
12、返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义2 若对于所有的实数若对于所有的实数x1,x2,xn有有 则称随机变量则称随机变量X1,X2,Xn是是相互独立相互独立的的.对于对于可列无穷多个可列无穷多个随机变量随机变量X1,X2,Xn,若其中任何有限多个随机变量都是若其中任何有限多个随机变量都是相互独立的相互独立的,则称随机变量序列则称随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 以下定理在数理统计中很重要以下定理在数理统计中很重要.定义定义3 若对于所有的若对于所有的 x1,x2,xm;y1,y2,yn有有F(x1,x2,xm,y1,y2,yn
13、)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)(3.3.8).其中其中F1,F2,F依次为随机变量依次为随机变量(X1,X2,Xm),(Y1,Y2,Yn)和和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的分布函数的分布函数,则称随机变量则称随机变量(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)是是相互独立相互独立的的.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 证明证明略略.例如例如,若若(X1,X2)和和(Y1,Y2,Y3)独立，则独立，则X1 与与Y2独立，独立，X1+2X2与与3Y1-Y2+5Y3独立独立.设设(X1,X2,Xm)和和(Y1,Y2,Yn)相互独立相互独立,则则 (1)
14、Xi(i=1,2,m)和和Yj(j=1,2,n)相互独立相互独立.(2)又若又若h,g是连续函数是连续函数,则则h(X1,X2,Xm)和和g(Y1,Y2,Yn)也相互独也相互独立立.定理定理3 3 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 3.3.4 3.3.4 小结与思考小结与思考 本次课主要学习了本次课主要学习了:(1)关于关于X和和Y的相互独立性以及随机向量的相互独立性以及随机向量(X1,X2)与与(Y1,Y2)的独立性概念的独立性概念.(2)要掌握关于离散型随机变量与连续型要掌握关于离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件随机变量独立的充要条件.21思考题思考题 (1)联合
15、分布函数和边缘分布函数联合分布函数和边缘分布函数在在X与与Y独立的情况下关系如何独立的情况下关系如何?一般情况下一般情况下关系如何关系如何?(2)离散型随机变量与连续型随机变量相离散型随机变量与连续型随机变量相互独立的充要条件是什么？互独立的充要条件是什么？3.3.5 3.3.5 习题布置习题布置 习题习题3.5 1、4、5.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大大连理连理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习概率论与数理统计学习指指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.概率论与数理统计概率论与数理统计教教 案案 作业与试卷作业与试卷.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8 月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实概率论与数理统计教学实验验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：