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1、2.4.1 2.4.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 XxO数轴上的点可以用数轴上的点可以用唯一的唯一的一个实数一个实数表示表示-1-2123AB数轴上的点数轴上的点平面中的点可以用平面中的点可以用有序有序实数对实数对(x，y)来表示点来表示点xyPOxy(x,y)平面坐标系中的点平面坐标系中的点yOxz在教室里同学们的位置坐标在教室里同学们的位置坐标以单位正方体以单位正方体 的的顶点顶点O为原点为原点,分别以射线分别以射线OA，OC，的方向为正方向的方向为正方向,以以线段线段OA,OC,的长为单位的长为单位长度长度,建立三条数轴建立三条数轴:x轴轴,y轴轴,z轴轴,这时我们建立了一个这时我们
2、建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 。一、空间直角坐标系：一、空间直角坐标系：yxzABCO点点O叫做叫做坐标原点坐标原点，x轴、轴、y轴、轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为称为xoy平面平面、yoz平面平面、和、和 zox平面平面面面面面面面O空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限二、空间直角坐标系的划分：二、空间直角坐标系的划分：空间直角坐标系中任意空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？一点的位置如何表示？三、空间点的坐标：三、空间点的坐标：设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个
3、定点，过点M分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴轴和和z 轴于点轴于点P、Q和和RyxzMOMRQP三、空间点的坐标：三、空间点的坐标：设点设点P、Q和和R在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x,y和和z,这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实的坐标可以用有序实数组数组(x，y，z)来表示来表示,(x，y，z)叫做点叫做点M 在在此此空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标，记作，记作M(x，y，z)其中其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖
4、坐标竖坐标yxzMOMRQP小提示：小提示：坐标轴坐标轴上的点至少有两个坐上的点至少有两个坐标等于标等于0；坐标面上；坐标面上的点至少有一个坐标的点至少有一个坐标等于等于0。点点P的位置的位置原点原点OX轴上轴上AY轴上轴上BZ轴上轴上C坐标形式坐标形式点点P的位置的位置XO Y面内面内DY OZ面内面内EZ OX面内面内F坐标形式坐标形式Oxyz111ADCBEF(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)四、特殊位置的点的坐标：四、特殊位置的点的坐标：xoy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为
5、0 xoz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0 x轴上的点纵坐标和竖坐标都为轴上的点纵坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为轴上的点横坐标和纵坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为轴上的点横坐标和竖坐标都为0(1)坐标平面内的点坐标平面内的点:(2)坐标轴上的点坐标轴上的点:Oxyz111ADCBEF练习练习1 1、如下图，在长方体、如下图，在长方体OABC-DABCOABC-DABC中，中，|OA|=3|OA|=3，|OC|=4|OC|=4，|OD|=3|OD|=3，ACAC于于BDBD相交于相交于点点P.P.分别写出点分别写出点C C，BB，P P的坐标的坐标.zxyOACDBA
6、BCPP343想一想：在空间直角坐标下，如何找到给定坐标的空间位置？D（1，3，4）zxyO在空间直角坐标系中标出在空间直角坐标系中标出D D点：点：D(1,3,4)D(1,3,4)134DD点点M(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系O-xyz中的一点中的一点(1)与点与点M关于关于x轴对称的点轴对称的点:(2)与点与点M关于关于y轴对称的点轴对称的点:(3)与点与点M关于关于z轴对称的点轴对称的点:(4)与点与点M关于原点对称的点关于原点对称的点:(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)五、空间点的对称问题：五、空间点的对称问题：规律：规律：关于谁
7、对称谁不变，其余的相反。关于谁对称谁不变，其余的相反。点点M(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系O-xyz中的一点中的一点(5)与点与点M关于平面关于平面xOy的对称点的对称点:(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)五、空间点的对称问题：五、空间点的对称问题：规律：规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。关于谁对称谁不变，其余的相反。(6)与点与点M关于平面关于平面yOz的对称点的对称点:(7)与点与点M关于平面关于平面zOx的对称点的对称点:2.4.2 2.4.2 空间中两点的距离公式空间中两点的距离公式X长长a，宽，宽b，高，高c的长方体的对角线，怎么求？的长方体的对角线，
8、怎么求？在空间直角坐标系中点在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到到点点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？的距离，怎么求？zxyOP(x,y,z)(1)(1)在空间直角坐标系中，任意一点在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,zP(x,y,z)到原点的距离：到原点的距离：P(x,y,0)两点间距离公式两点间距离公式类比类比猜想猜想(2)(2)在空间直角坐标系中，任意在空间直角坐标系中，任意两点两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)和和P P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)间的距离：间的距离：在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,
9、z1)和和点点Q(x2,y2,z2)的中点坐标的中点坐标(x,y,z):二、空间中点坐标公式：二、空间中点坐标公式：例例1:已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求，求:(1)三角形三边的边长；三角形三边的边长；解解:例例1:已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求，求:(2)BC边上中线边上中线AM的长。的长。解解:证明证明:原结论成立原结论成立.例例2:求证以求证以 ,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为例例3:设设P在在x轴上，它到轴上，它到 的距离为的距离为到点到点 的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标。的坐标。解解:练习练习1 1、在空间直角坐标系中，求点、在空间直角坐标系中，求点A A、B B的中点，并的中点，并求出它们之间的距离：求出它们之间的距离：(1)(1)A(2,3,5)B(3,1,4)A(2,3,5)B(3,1,4)(2)A(6,0,1)B(3,5,7)(2)A(6,0,1)B(3,5,7)2 2、在、在Z Z轴上求一点轴上求一点M M，使点，使点M M到点到点A(1,0,2)A(1,0,2)与点与点B(1,-3,1)B(1,-3,1)的距离相等。的距离相等。