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1、交通规划理论与方法（4）“四步骤”交通需求预测模型西南交通大学交通运输学院杨 飞（博士、讲师）交通工程本科课程交通运输学院主要内容交通分配的基本问题描述交通分配作用基本概念：路径与最短路径、交通阻抗、交通均衡问题、非均衡问题、交通网络的数学化表示非均衡分配方法如全有全无分配法、单路径分配法等B-L均衡分配法（重点）4 交通分配4.1 基本问题基本问题交通分配是指将各分区之间出行分布量分配到连接交通小区的交通网络的各条边上去的工作过程 小区1小区2路径1路径2出行者会如何选择路径？会考虑哪些因素？4 交通分配4.2 交通分配的功用交通分配的功用（1）检验四阶段预测模型的精度将现状OD量在现状交通
2、网络上的分配，以分析目前交通网络的运行状况，如果有某些路段的交通量观测值，还可以将这些观测值与在相应路段的分配结果进行比较，从而进行精度校验4 交通分配4.2 交通分配的功用交通分配的功用（2）交通网络的规划设计提供依据规划年OD分布预测值在现状交通网络上的分配，以发现对规划年的交通需求来说，现状交通网络的缺陷，为后面交通网络的规划设计提供依据（3）评价交通网络规划方案还可以是规划年OD分布预测值在规划交通网络上的分配，以评价交通网络规划方案的优劣4 交通分配4.3 基本概念基本概念（1）交通分配的单位交通分配中的出行分布量一般是指机动车，以pcu为单位出行量的单位转换：人（交通生成预测）-车
3、（方式划分）（2）交通分配的对象线路不固定线路不固定的机动车辆分布量公共汽电车是按固定路线行驶的，不能自由选择行驶路径，交通分配不包括这部分车辆4 交通分配4.3 基本概念基本概念（3）路段、路径与最短路径1）路段：交通网络上相邻两个节点之间的交通线路称作“路段”2）路径：交通网络上任意一对OD点之间，从产生点到吸引点一串连通的路段的有序排列叫作这对OD点之间的路径。一对OD点之间可以有多条路径3）最短路径：一对OD点之间路径中总阻抗最小总阻抗最小的路径叫“最短路径”4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗交通阻抗是指交通网络上路段或路径之间的运行距离、时间、费用、舒适度，或这些因素
4、综合对不同交通网络其含义随关注点不同而有所偏重，或为了简单起见可单指其中某个因素。如对城市道路网，一般指出行时间；公路网较多地指距离4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗交通阻抗有两部分组成：路段阻抗、节点阻抗A.路段阻抗的函数关系确定以出行时间为主要因素考虑路段阻抗。有些交通网络，路段上的走行时间与距离成正比，与路段上的流量无关，如城市轨道交通网。用时间或距离作为等价阻抗有些交通网络，路段上的走行时间与距离不一定成正比，与路段上的交通流量有关，如公路网、城市道路网，仅就选用时间作为阻抗4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗A.路段阻抗的函数关系确定车辆在公路或城市道路
5、路段上所需走行时间是随着该路段上交通流量的增加而增加，其走行时间交通流量的关系可表达为：4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗A.路段阻抗的函数关系确定通过实测数据进行回归分析或者理论研究两种方式对于公路走行时间函数研究其中被广泛应用的是由美国道路局（BPR Bureau of Public Road）开发的函数，被称为BPR函数4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗A.路段阻抗的函数关系确定时间时间-流量函数曲线变化特征猜想流量函数曲线变化特征猜想4 交通分配4.3 基本概念基本概念（4）交通阻抗A.路段阻抗的函数关系确定BPR函数形式：4 交通分配4.3 基本概念基
6、本概念（4）交通阻抗B.节点阻抗问题车辆在节点处也是要花费时间代价的，如机动车在城市道路信号灯交叉口等待绿灯但问题是在于目前图论等应用数学中没有关于节点方位和路径走向的数学描述，因而在求最短路径的算法中就不能一般地表达不同流向车辆在交叉口的不同延误这个问题多年来一直未能得到很好的解决，已有的城市道路交通分配理论一直回避节点阻抗问题4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（1）全有全无分配方法“All or Nothing”，又称“0-1分配法”、“最短路径分配法”小区1小区2路径1：5min路径2：10min4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（1）全有全无分配方法方法假设
7、和前提：方法假设和前提：A.假定阻抗为常数B.假定路段出行时间不受路段上流量的影响C.假定出行者对这个交通网络的结构和各条路段的阻抗非常清楚这是一种最简单的分配方法，是讨论其它分配方法的基础4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（1）全有全无分配方法 951234567834586471035274 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（2）阻抗可变的单路径分配方法考虑道路交通量变化对阻抗的影响流量越大，阻抗也越大城市道路网中，路段上容量通行能力有限，路段上行驶的车辆越多，拥挤程度加大，车辆速度降低，从而行驶时间会增加4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（2）阻抗
8、可变的单路径分配方法方法：增量分配法方法：增量分配法A.将PA分布矩阵分成若干份（N份），各份比重由大到小，具体比重值可以人为任意确定B.从大份开始，每次取一份进行全有全无分配，每次分配前根据前一次的分配结果用走行时间公式修正各路段的阻抗值 4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（2）阻抗可变的单路径分配方法方法：增量分配法方法：增量分配法算法算法 4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（2）阻抗可变的单路径分配方法方法：增量分配法方法：增量分配法算法算法4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法全有全无分配法：假定出行者明确交通网络的
9、结构和各条路段的阻抗，在假定阻抗为常数的前提下，每对PA点之间的出行者都同时选择该点对之间的最短路径实际中，由于交通网络的复杂性和路段上交通状况的多变性，以及各个出行者主观判断主观判断的多样性，某PA点对之间不同出行者所感知的最短路径感知的最短路径将是不同的、随机的，出行者所选择的“最短路径”不一定是同一条，从而出现多路径选择的现象4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法分配方法有两个：Logit方法和Probit方法Logit方法方法设某PA点对(r,s)之间每个出行者总是选择他认为阻抗最小的路径k，称出行者主观判断的阻抗值为“感知阻抗”：4 交通分配
10、4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法根据“效用”的定义，这里用路径的感知阻抗的负值来表示选择的效用 4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法问题划归为一个多项选择中挑选效用最大效用最大的选择枝的问题，回想交通方式选择模型的推导过程假定k是独立服从相同Gumbel分布，选择概率：4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法算法求解难题算法求解难题运用模型求解路径选择概率，需要把点对(r,s)间所有的路径都找出来，道路网络节点越多越难例如对一个含有100个节点的交通网络来说，当r与s离的较远
11、的时，可能存在上千条路径，直接设计算法可实施性较差4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法Dail算法算法1971年Dail发明了一个算法，其特点包括：A.假定出行者不是在起点r就决定选择哪条路径，而是在出行过程的每个节点都做一次关于下步选择哪条路段的选择。即真正选择的不是路径，而是路段路段B.出行者在一个节点处选择路段时，并不是以该节点为起点的每条路段都是被选择的对象，只有那些所谓的“有效路段有效路段”才可能被选择到4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（3）阻抗为常数的多路径分配方法Dail算法算法有效路段的定义是：当路段(i,j)的上游端
12、点i比下游端点j离起点r近，而且i比j离终点s远，则称该路段为有效路段。有效路段组成的路径叫“有效路径”4 交通分配4.4 非均衡分配方法非均衡分配方法（4）阻抗可变的多路径分配方法阻抗不变的多路径分配方法，假设路段实际阻抗为一个常数，没有考虑路段阻抗与流量的关系阻抗可变的多路径分配方法，考虑路段上的流量对路段实际阻抗存在影响的情况下的多路径分配方法，这将会使分配结果更加接近实际情况特点分析特点分析：非均衡分配方法的算法比较简单，容易理解，但这些方法缺乏理论依据，并且与实际交通网络的分配存在一定的差距，需要在此基础上探讨更为准确的均衡分配算法4 交通分配4.5 交通均衡基础问题交通均衡基础问题
13、OD之间的路径选择行为特征：流量增加与路径选之间的路径选择行为特征：流量增加与路径选择的关系如何？择的关系如何？如果两点之间有很多条路线可供出行者选择，那每个出行者自然都选择最短路径随着这两点之间交通量的增大，其最短路径上的交通流量也会随之增加，增加至一定程度之后，这条最短路径的走行时间就会因为拥挤或堵塞而变长，以至长过次短路径的走行时间，于是就有一部分道路利用者会选择次短的道路随着两点之间的交通量继续增加，两点之间的所有道路都有可能被利用（特大城市支路的利用）4 交通分配4.5 交通均衡基础问题交通均衡基础问题道路网均衡状态特征道路网均衡状态特征如果所有的道路利用者都准确知道各条道路所需的行
14、走时间，并选择走行时间最短的道路，最终两点之间被利用的各条道路的走行时间会相等，两点之间被利用的各条道路的走行时间会相等，没有被选择的道路的走行时间会更长没有被选择的道路的走行时间会更长，这种状态被称之为道路网的均衡状态1952年Wardrop给这种均衡状态下了准确定义4 交通分配4.5 交通均衡基础问题交通均衡基础问题Wardrop第一原理第一原理在道路网利用者都知道网络的状态并试图选择最短路径时，网络会达到这样一种均衡状态：每对OD点之间各条被利用的路径的走行时间都相等而且是最小的走行时间，而没有被利用的的路径的走行时间都大于或等于这个最小的走行时间4 交通分配4.5 交通均衡基础问题交通
15、均衡基础问题Wardrop均衡模型求解方法问题均衡模型求解方法问题实际道路网中一般有很多对OD点，每对OD点之间的各条路径都是由很多独立的路段组成，由这些独立的路段又可以组合成许多条不同的路径因此实际道路网的每对OD点都有很多条路径。另外，各对OD点的路径也互相重叠。因此，实际道路网的均衡状态是非常复杂的均衡分配原理在理论上结构严谨，思路明确；但其数学规划模型维数太大，约束条件多，且为非线性规划问题4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（1）交通均衡分配理论发展概况1952年，Wardrop提出均衡分配原理原理1956年，Beckmann提出了一种关于Wardrop原理的数学优化模型模
16、型，但之后近20年无人能解此模型1975年，LeBlanc终于用一种解非线性数学规划的算法，FrankWolfe算法算法，对该模型成功地进行了求解，实现了交通分配的计算技术从非均衡问题到均衡问题的一个飞跃，开创了关于均衡交通分配问题算法设计的新方向4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（1）交通均衡分配理论发展概况后来分别由Aashtiani(1981)等人和Smith(1979)、Dafermos(1982)提出了描述Wardrop均衡原理的更广义的数学模型，非线性互余（NCNonlinear Complementarity）模型，和变分不等式（VIVariational Inequ
17、ality）模型，模型适用范围更广非线性互余问题（NCP）、变分不等式问题（VIP），在应用数学领域分别对这两种模型进行了大量的研究，提出了多种算法，研究成果丰富4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（1）交通均衡分配理论发展概况对于Beckmann提出的模型和LeBlanc的算法及其扩展问题，为区别于后来广义的模型，和纪念他们两人的重要学术贡献，命名为：BeckmannLeBlanc均衡分配方法，简记为B-L均衡分配方法；把Beckmann的模型所描述的问题叫做“均衡优化问题（EOPEquilibrium Optimization Problem）”4 交通分配4.6 B-L均衡分配
18、法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型相关模型参数和变量释义：4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型相关模型参数和变量释义：4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型相关模型参数和变量释义：路段流量与路径流量的关系路段阻抗与路径阻抗的关系4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型例题例题：如图，网络包含2个OD对，1-4和2-4，节点3是中间点；包含4个路段。假设OD对1-4中，路径1=Link1，Link3，路径2=Link1，Link4；OD对2-4中，路径1=Li
19、nk2，Link3，路径2=Link2，Link4。求 和 的表达式。4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型Wardrop均衡原理的数学语言表达：4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型 出行量守恒条件出行量守恒条件流量非负条件流量非负条件目标函数物理意义？目标函数物理意义？Beckmann模模型型等等价价于于Wardrop均均 衡衡 原原 理理！4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型通过简单实例说明其模型的解，
20、确实就是交通分配达到均衡状态时的解，然后再从数学上证明该模型的解满足Wardrop均衡原理4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型例题例题：如图所示的一个只有两条路径（同时也是路段）连接一个产生点和一个吸引点的交通网络，两路段的阻抗函数分别是：PA量为q=5，两条道路都会使用。分别求该网络的Beckmann模型解和均衡状态解，并进行对比。4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型例题例题：Beckmann模型求解，阻抗函数带入模型4 交通分配4.6 B-L均
21、衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型例题例题：Beckmann模型求解，阻抗函数带入模型4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（2）Beckmann均衡分配模型 Beckmann数学规划模型例题例题：均衡状态求解。根据Wardrop均衡原理的定义，应该有：综上可见，对于该网络，Beckmann数学模型解与均衡状态解完全相同4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明运用路段流量和路径流量的关系，将Beckmann模型的目标函数变换为f为自变量的函数ZX(f)4 交通分配4.6 B-
22、L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明根据非线性规划理论，由Beckmann模型约束条件构造Lagrange函数 4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明 4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明 4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明 4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明4 交通分配4.6 B
23、-L均衡分配法均衡分配法（3）Wordrop原理与Beckmann模型的等价性证明 4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型解的唯一性必要性：在研究了Beckmann数学规划模型的求解方法之前，有必要讨论解的唯一性问题。如果解不是唯一的，则对同样的已知条件，不同的算法可能得出不同的解，研究算法就没有意义4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型解的唯一性由非线性规划理论1）对于规划问题：如果目标函数f(X)是凸函数，各个约束函数gj j(X)都是凹函数，则该规划为凸规划2）对于凸规划，有以下结论：若目标函数f(X)是严格凸的，则其最
24、优解x*只有一个4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型解的唯一性就 Beckmann模型的非线性规划而言，约束条件都是线性的；线性函数既是凸的，又是凹的，符合“各约束函数都是凹函数”的条件剩下的问题就是考察其目标函数是否为凸，即考察 的Hessian矩阵矩阵的正定性4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型解的唯一性因为路段的阻抗只与自身的流量有关，与别的路段流量无关，则4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型解的唯一性目标函数Z(X)的Hessian矩阵为4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分
25、配法（4）Beckmann模型解的唯一性通过以上证明分析可以看出，当达到均衡状态时，分配到各路段上的流量是唯一的。这就意味着当交通分配达到均衡状态均衡状态时，各个路段上的流量是被唯一唯一确定的4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型求解算法1975年由Leblanc等学者将Frank-Wolfe 算法用于求解Bechmann模型，形成了目前广泛使用的既严格又实用的F-W算法Bechmann模型是一个非线性数学规划模型，而对非线性数学规划模型即使是现在仍没有普遍通用的解法，但是Frank-Wolfe算法可以求解其中一类特殊的模型，而Bechmann模型正是这一类特
26、殊的模型4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型求解算法Frank-Wolfe算法思路算法思路F-W法要求模型的约束条件必须都是线性的该法是用线性规划逐步迭代逼近非线性规划迭代逼近非线性规划的方法，在每步迭代中，先找到一个目标函数的最速下降方向，然后再找到一个最优步长，在最速方向上截取最优步长得到下一步迭代的起点，重复迭代直到找到最优解4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型求解算法 Frank-Wolfe算法思路算法思路设非线性规划模型：f(X)在X0 0处的一阶泰勒展开，f(X)近似地表达成线性函数，近似化为线性规划模型求解4
27、 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（4）Beckmann模型求解算法 Frank-Wolfe算法思路算法思路解该线性规划问题，得最优解Y，F-W方法认为X0 0与Y的连线为最速下降方向，然后根据下列一维极值问题求得的最优解作为最佳步长，循环迭代4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配Wardrop第一原理：均衡状态为“用户均衡状态（User Equilibrium，UE）”，又称“用户最优原理”Wardrop第二原理：系统最优原理“（System Optimization，SO）”，即在交通网络中的交通量应该按某种方式分配，以使网络中所有交通的总阻抗最小
28、4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配第一原理第一原理反映了用户对路径的选择的行为准则，任何系统中的有行为选择能力的个体总是以自己利益最大化利益最大化来决定自己的行为，该原理其实正是反映了交通网络中的用户的实际选择实际选择出行路径的情形，按Beckmann模型和上述F-W算法计算出来的结果也正是实际交通网络上的交通分配结果第二原理第二原理反映的则是系统的管理者管理者的主观愿望主观愿望，一般情况下它与交通网络上的实际交通分配情况存在差距。但是它可以作为对系统的评价指标，为管理者提供一种决策方法4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配系
29、统最优原理较容易用数学规划模型来表示，其目标函数是网络中所有用户总阻抗最小用户总阻抗最小，约束条件与用户均衡模型相同4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配求解方法求解方法1）当阻抗函数ta a(xa a)为常数（用ta a表示）时，目标函数变为这就是各路段阻抗为常数时的交通分配问题，此时用全有全无分配方法全有全无分配方法即可使得目标函数最小化4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配求解方法求解方法2）系统最优的模型即是一个线性的数学规划模型，此时既可以用线性数学规划的解法去求解，也可以将其归入3）中的非线性问题去求解4 交通分配4.
30、6 B-L均衡分配法均衡分配法（5）系统最优的交通分配求解方法求解方法UE与与SO关系？关系？4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法例题1：如图所示交通网络的OD交通量为200，各路径的费用函数分别为C1 1=5+0.1h1 1，C2 2=10+0.025h2 2，C3 3=15+0.025h3 3。试用全有全无分配法和增量分配法计算分配结果，并进行比较。其中，增量分配法按照二等分计算。路径34 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法例题2：如图所示，1）分别用Wardrop均衡原理和Beckmann模型求解该路网用户最优均衡分配结果；2）求解系统最优分配结果。4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法例题3：如图所示，1）分别用Wardrop均衡原理和Beckmann模型求解路网用户最优均衡分配结果4 交通分配4.6 B-L均衡分配法均衡分配法例题4：如图t1 1=3+0.5X1 1，t2 2=1+X2 2。1）当rs间OD总量q=1时，求解用户最优均衡分配结果；2）当q=3时，求解用户最优均衡分配结果。谢 谢！交通运输学院