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1、15.2 光在晶体中的传播光在晶体中的传播内内 容容一、晶体的双折射及相关概念一、晶体的双折射及相关概念二、晶体的介电张量二、晶体的介电张量三、单色三、单色平面波在晶体中的传播平面波在晶体中的传播1.双折射现象双折射现象1669年丹麦科学家巴塞林年丹麦科学家巴塞林(Bartholin)发现双折射现象发现双折射现象双双折折 射射双双 折折双双 折折方解石晶体方解石晶体o光光e光光一、晶体的双折射及相关概念一、晶体的双折射及相关概念1.双折射现象光束在某些晶体中传播时，由于晶体对两个相互垂直振动矢量的光的折射率不同而产生两束折射光，这种现象称为双折射双折射(Double Refraction)。寻
2、常光（Ordinarylight,o光）和非寻常光（Extraordinarylight,e光）两束折射光中，有一束光遵守折射定律，称为寻常光（o光）；另外一束一般一般不遵守折射定律，称为非寻常光（e光）。折射定律有两个含义：A.折射角的关系，B.入射光线和折射光线与法线同在一个平面。说明：1o光和e光与晶体密不可分2折射定律的含义F当方解石晶体旋转当方解石晶体旋转时，时，o光不动，光不动，e光光围绕围绕o光旋转光旋转2.晶体特性晶体特性方解石晶体结构（Calcite-CaCO3）顿隅（1）、光轴(Opticalaxis)：在双折射晶体中存在一个特殊的方向，当光束在这个方向传播时不发生双折射，
3、此方向方向称为晶体的光轴。在光轴方向上，o光和e光都遵守折射定律。而且：no=ne（2）主平面(Principalplane)和主截面(Principalsection)：主平面主平面：光线和光轴所组成的平面。o光主平面光主平面：o光和晶体光轴组成的面为o主平面。e光主平面光主平面：e光和晶体光轴组成的面为e主平面。主截面主截面(Principalsection)：光轴和晶体表面法线(Normalline)组成。光线在一般情况下入射晶体，o光和e光是不同面的。当入射光线在主截面内时，两面重合。当入射光在主截面内时，o光e光主平面均为主截面。表面法线nn若方解石晶体各棱等长o光和光和e光均为线偏
4、振光光均为线偏振光o光的振动方向垂直于它自己的主平面，光的振动方向垂直于它自己的主平面，e光的光的振动方向平行于它自己的主平面振动方向平行于它自己的主平面o光光e光光F一般情况下，一般情况下，e光不一定在入射面内，光不一定在入射面内，o光和光和e光的主平面并不重合光的主平面并不重合F当当入射面是晶体的主截面入射面是晶体的主截面时，时，o o光和光和e e光的主平面重合，此时光的主平面重合，此时o o光与光与e e光的振动方向相互垂直光的振动方向相互垂直、o光和e光都是线偏振光；（3）o光与光与e光的偏振态光的偏振态、o光振动方向与o光主平面垂直，因而总与光轴垂直；、e光振动方向在e光主平面内，
5、因而与光轴的夹角随传播方向而改变；、当光线在主截面入射时，主平面与主截面重合，则o光振动方向垂直于主截面，e光振动方向在主截面内；3晶体的分类（晶体的分类（Types of crystal）：）：各向同性晶体（Isotropiccrystal）：不产生双折射现象。如：NaCl双折射晶体（Anisotropiccrystal）：单轴晶体（Uniaxial）：只有一个光轴方向的晶体。如：方解石(Calcite)、石英(Quartz)。双轴晶体（Biaxial）：有两个光轴方向的晶体。如：云母(Mica)等。4正负晶体：正负晶体：VoVe时为正晶体(Positivecrystal)；VoVe时为负晶
6、体(Negativecrystal)。正晶体：none，e光波面（椭球面）在o光波面（球面）之内。负晶体：none，o光波面（球面）在e光波面（椭球面）之内。e光光轴Opticalaxise光o光o光13二、晶体的介电张量二、晶体的介电张量张量张量(tensor)的基础知识的基础知识零阶张量零阶张量(标量标量)：如果一个物理量在坐标移动时数值不：如果一个物理量在坐标移动时数值不变，则称为变，则称为标量标量(T,m,)一阶张量一阶张量(矢量矢量)：如果一个物理量由三个数表示，而且：如果一个物理量由三个数表示，而且在坐标移动时如同坐标一样变换，则此物理量称为在坐标移动时如同坐标一样变换，则此物理量
7、称为矢量矢量二阶张量二阶张量tensor如果一个物理量由九个数表示，而且变换关系为如果一个物理量由九个数表示，而且变换关系为则称此量为二阶张量。则称此量为二阶张量。n 阶张量：阶张量：如果一个物理量由如果一个物理量由3n个数表示，则称此量为个数表示，则称此量为n 阶张量阶张量。晶体不同方向性质不同，这被称为晶体的晶体不同方向性质不同，这被称为晶体的各向异性各向异性在晶体这种各向异性介质中，不同方向的介电常数在晶体这种各向异性介质中，不同方向的介电常数 是是不同的，于是不同的，于是：即即简写成：简写成：(i、j=x、y、z)写成矩阵形式，有：写成矩阵形式，有：称为称为介电常数张量介电常数张量。它
8、是二阶张量，对于非吸收晶体，具有对称性。它是二阶张量，对于非吸收晶体，具有对称性。晶体的介电常数一般不能用标量表示，而必需用二阶张量表示。晶体的介电常数一般不能用标量表示，而必需用二阶张量表示。由于晶体具有对称性，恰当地选取坐标轴，例如让坐标轴与某由于晶体具有对称性，恰当地选取坐标轴，例如让坐标轴与某一周期方向一致，介电常数二阶张量就可以简化成：一周期方向一致，介电常数二阶张量就可以简化成：x、y、z称为晶体的三个称为晶体的三个“主轴主轴”。称为晶体的三个称为晶体的三个“主介电常数主介电常数”。对于晶体而言，在其生长过程中，其主轴就已经确定，至于何者对于晶体而言，在其生长过程中，其主轴就已经确
9、定，至于何者为为x轴，何者为轴，何者为y轴，何者为轴，何者为z z轴，则根据方便确定，一般按照数值轴，则根据方便确定，一般按照数值大小确定脚标，大小确定脚标，；或者，；或者，；前者称；前者称为为正晶体正晶体，后者称为，后者称为负晶体负晶体。DyEyDEyDxExDzEzzxO晶体中，在一般情形下两个矢量晶体中，在一般情形下两个矢量D和和E的方向不同，如左上图所示。的方向不同，如左上图所示。如果如果 ，则，则D始终与始终与E同方向，同方向，对应着各向同性媒质情形，称为对应着各向同性媒质情形，称为各向同各向同性晶体性晶体，如属于立方晶系的各种晶体。，如属于立方晶系的各种晶体。如果如果 互不相等，仅
10、当互不相等，仅当E的方的方向恰好沿某一个主轴时，向恰好沿某一个主轴时，D才与才与E有相有相同的方向，如属于正交、单斜、三斜晶同的方向，如属于正交、单斜、三斜晶系的各种晶体，称为系的各种晶体，称为双轴晶体双轴晶体。如果如果 中有两个相等，例如中有两个相等，例如 ，则当，则当E位在位在xy平面内平面内(Ez=0)时，时，D也能也能与它同方向，如左下图所示。这时在与它同方向，如左下图所示。这时在xz、yz平面上具有各向异性，如属于三方、平面上具有各向异性，如属于三方、四方、六方晶系的各种晶体，称为四方、六方晶系的各种晶体，称为单轴单轴晶体晶体。OxDxExDyEyy晶体中D和E的关系根据主介电常数的
11、情况，可将七大晶系简化成下面三种形式：根据主介电常数的情况，可将七大晶系简化成下面三种形式：三斜、单斜、正交三斜、单斜、正交双轴晶体双轴晶体有三个独立分量有三个独立分量 三角、四角、六角三角、四角、六角 单轴晶体单轴晶体有两个独立分量有两个独立分量立方立方 同性晶体同性晶体有一个独立分量有一个独立分量在目前，应用较多的还是单轴晶体。在目前，应用较多的还是单轴晶体。光性光性名称名称化学成分化学成分波长波长(nm)nonene-no负负晶晶体体方解石方解石Ca CO3589.31.65841.4864-0.172方解石方解石Ca CO3486.11.66791.4908-0.1771硝酸钠硝酸钠N
12、a2 NO3589.31.5871.336-0.251电气石电气石硼铝硅酸盐硼铝硅酸盐589.31.6691.638-0.031绿柱石绿柱石Be3A12Si6O18589.31.5981.590-0.008正正晶晶体体石石 英英SiO2589.31.54421.55330.0091石石 英英SiO2486.11.54971.55900.0093石石 英英SiO22001.6401.6530.013金红石金红石TiO2589.32.61312.90890.2958金红石金红石TiO2486.12.73463.06310.3285冰冰H2O589.31.3091.3100.001表表 一些单轴晶体
13、的折射率和双折率一些单轴晶体的折射率和双折率寻常折射率no和主异常折射率ne的差值(ne-no)可用来表征晶体各向异性的大小，称为“双折率”。双折率的正负号决定了晶体光性的正负。光光 性性名名 称称化学成分化学成分nxnynz正正 晶晶黄黄 玉玉SiO4(F,OH)21.6151.6181.625石石 膏膏CaSO42H2O1.5211.5231.530负负 晶晶云云 母母K、Mg、Li、Al等的铝硅酸盐等的铝硅酸盐1.5601.5931.597散散 石石CaSO31.5301.6821.686表表 几种双轴晶体的主折射率几种双轴晶体的主折射率(=589.3nm)根据光的电磁理论，光在晶体中的
14、传播特性仍然由根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦麦克斯韦方程组描述克斯韦方程组描述。三、单色平面波三、单色平面波在晶体中的传播在晶体中的传播 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组均匀、不导电、非磁性均匀、不导电、非磁性的各向异性介质的各向异性介质(晶体晶体)中，中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为我们只讨论我们只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性。1.单色平面光波在晶体中的传播特性单色平面光波在晶体中的传播特性式中，式中，设晶体中传播的单色平面光波为设晶体中传播的单色平面光波为对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以对
15、于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替代替 ，以，以 (in/c)k 代换算符代换算符 。经过运算，经过运算，(1)式式(4)式变为式变为由这些关系式可以看出：由这些关系式可以看出：D 垂直于垂直于 H 和和 k，H 垂直于垂直于 E 和和 k，所以，所以 H垂直于垂直于 E、D、k，因此，因此，E、D、k 在垂直于在垂直于 H 的的同一平面内同一平面内。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvkvs由能流密度的定义由能流密度的定义可见，可见，H 垂直于垂直于 E 和和 s(能流方向上的单位矢量能流方向上的单位矢量)，故故 E、D、s、k 同在一个平面上同在一个平面上。波阵面波阵面波
16、阵面波阵面kHDEsvkvs可以得到一个重要结论：在晶体中，光的可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方能量传播方向通常与光波法线方向不同向通常与光波法线方向不同。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvkvs(2)能量密度能量密度根据电磁能量密度公式及根据电磁能量密度公式及(7)式、式、(8)式，有式，有(2)能量密度能量密度总电磁能量密度为总电磁能量密度为对于各向同性介质，因对于各向同性介质，因 s 与与 k 同方向，所以有同方向，所以有(3)相速度和光线速度相速度和光线速度相速度相速度 vk是光波是光波等相位面的传播速度等相位面的传播速度，其表示式为，其表示式为波阵面波阵面波阵面波阵面
17、kHDEsvkvs(3)相速度和光线速度相速度和光线速度光线速度光线速度 vs是是单色光波能量的传播速度单色光波能量的传播速度，其方向为，其方向为能流密度能流密度(玻印亭矢量玻印亭矢量)的方向的方向 s，大小等于单位时间，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即能量密度，即(3)相速度和光线速度相速度和光线速度由由(11)式式(14)式可以得到式可以得到单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方单色平面光波的相速度是其光线速度在波阵面法线方向上的投影。向上的投影。ABABksvsvk(3)相速度和光线速度相速度
18、和光线速度在一般情况下，光在晶体中的在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离相速度和光线速度分离,其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平其大小和方向均不相同。对于各向同性介质，单色平面光波的相速度也即是光线速度。面光波的相速度也即是光线速度。波阵面波阵面波阵面波阵面kHDEsvkvs2)光波在晶体中传播持性的描述光波在晶体中传播持性的描述由麦克斯韦方程组出发，将由麦克斯韦方程组出发，将(7)式和式和(8)式的式的H 消去消去,可可以得到以得到（1）晶体光学性质的基本方程）晶体光学性质的基本方程再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式变换为变换为ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0方括
19、号方括号Ek0(k0E)实际上表示实际上表示 E 在垂直于在垂直于 k(即平即平行于行于D)方向上的分量，记为方向上的分量，记为 。(32)式可以写成式可以写成ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0我们还可以将我们还可以将(16)式、式、(17)式写成另外一种形式。式写成另外一种形式。因为因为所以所以由此可将由此可将(18)式表示为式表示为ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0或或ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0(16)、(17)和和(20)、(21)式给出了沿某一式给出了沿某一k(s)方向传播方向传播的光波电场的光波电场E(D)与晶体特性与晶体特性n(ns)的关系，的关系，因而是
20、描述因而是描述晶体光学性质的基本方程晶体光学性质的基本方程。ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0(2)菲涅耳方程菲涅耳方程为了考察晶体的光学特性，为了考察晶体的光学特性，我们选取主轴坐标系我们选取主轴坐标系，因，因而物质方程为而物质方程为菲涅耳方程菲涅耳方程波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)ksDDEE(k0E)k0(s0D)s0波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)将基本方程将基本方程(16)式写成分量形式式写成分量形式并代入并代入 Di Ei 关系，经过整理可得关系，经过整理可得将将(23)式代入后
21、，得到式代入后，得到波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于由于 D k00，所以有，所以有描述了在晶体中传播的光波法线方向描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与与相应的折相应的折射率射率n 和晶体的主介电张量和晶体的主介电张量 之间的关系之间的关系。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)(24)式还可表示为另外一种形式根据式还可表示为另外一种形式根据 kc/n，可以，可以定义三个描述晶体光学性质的定义三个描述晶体光学性质的主速度主速度：波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)它们实
22、际上分别是光波场沿三个主轴方向它们实际上分别是光波场沿三个主轴方向 x、y、z的的相速度相速度。由此可将。由此可将(24)式变换为式变换为上式描述了在晶体中传播的光波法线方向上式描述了在晶体中传播的光波法线方向 k 与相应与相应的的相速度相速度k 和晶体的主速度和晶体的主速度x、y、z 之间的关系之间的关系。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)通常将通常将(24)式和式和(25)式称为式称为波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程。由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的光的折射率折射率(或相速度或相速度)随光波方向随光波方向 k 变化变
23、化。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)这种沿这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相或相速度速度)的特性，即是晶体的光学各向异性。的特性，即是晶体的光学各向异性。它们是它们是 n2或或 k2的的二次方程二次方程，一般有两个独立的实，一般有两个独立的实根根 n、n 或或 k、k，因而，对应每一个波法线方向，因而，对应每一个波法线方向 k，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波，有两个具有不同的折射率或不同的相速度的光波。在由在由(24)式、式、(25)式得到与每一个波法线方向式得到与每一个波法线方向 k 相应相应的折射率或相速度后
24、，的折射率或相速度后，为了确定与波法线方向为了确定与波法线方向 k 相相应的光波应的光波 D 和和 E 的振动方向的振动方向，可将，可将(22)式展开式展开波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)将由将由(24)式解出的两个折射率值式解出的两个折射率值 n 和和 n 分别代入分别代入(26)式，即可求出相应的两组比值式，即可求出相应的两组比值 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 E 和和 E 方向。方向。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由由物质方程物质方程的分量关系，求出相应的两组比值的分量关系，求出相应的两组比值
25、 和和 ，从而可以定出与，从而可以定出与 n 和和 n 分别对应的分别对应的 D 和和 D 的方向。的方向。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于相应于由于相应于 E、E 及及D、D 比值均为比值均为实数实数，所，所以以 E 和和 D 都是都是线偏振线偏振的。的。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)当当 Ex、Ey二分量的相位差二分量的相位差 时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有时，椭圆退化为一条直线，称为线偏振光。此时有进而可以证明，相应于每一个波法线方向进而可以证明，相应于每一个波法线方向 k 的两个的两个独立折射率独立折射率 n 和和 n
26、 的电位移矢量的电位移矢量 D 和和 D 相互垂直相互垂直。证明过程如下：。证明过程如下：波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、上式方括号中的第一、三、五项之和为零，第二、四、六项之和也为零。四、六项之和也为零。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)对应于晶体中每一给定的波法线方向对应于晶体中每一给定的波法线方向 k，只允许有，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，两个特定振动方向的线偏振光传播，它们的它们的D 矢量矢量相互垂直相互垂直，具有不同的折射率或相速度。，具有不同的折射率或相速度。kssDEDE因此，因
27、此，波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)由于由于 E、D、s、k 四矢量共面，以及四矢量共面，以及 E s，所以这，所以这两个线偏振光有不同的光线方向两个线偏振光有不同的光线方向(s 和和 s )和光和光线速度线速度(vs 和和 vs )。波法线菲涅耳方程波法线菲涅耳方程(波法线方程波法线方程)kssDEDE 光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波上面讨论的波法线菲涅耳方程确定了在给定的某个波法线方向法线方向 k 上，上，特许的两个线偏振光的折射率和偏振特许的两个线偏振光的折射率和偏振态态。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程
28、(光线方程光线方程)类似地，也可以得到确定相应于光线方向为类似地，也可以得到确定相应于光线方向为 s 的两的两个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程个特许线偏振光的光线速度和偏振态的方程光光线菲涅线菲涅耳耳方程方程。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)或或(27)式和式和(28)式描述了在晶体中传播的式描述了在晶体中传播的光线方向光线方向 s 与与相应的光线折射相应的光线折射 ns、光线速度、光线速度 s 和晶体的光学参量和晶体的光学参量 、主速度、主速度 x、y、z 之间的关系。之间的关系。光线菲涅耳方程光线菲涅耳方程(光线方程光线方程)类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每
29、一类似得出如下结论：在给定的晶体中，相应于每一个光线方向个光线方向 s，只允许有两个特定振动方向的线偏振，只允许有两个特定振动方向的线偏振光传播，这两个光的光传播，这两个光的 E 矢量相互垂直矢量相互垂直。skkDEDE单轴晶体的双折射单轴晶体的双折射用主折射率代替主介电常数：对于单轴晶体：上式通分后得：上式通分后得：解此方程得：解此方程得：表明，单轴晶体中，对于给定的波矢量表明，单轴晶体中，对于给定的波矢量k，存在着两种不，存在着两种不同折射特性的光波。同折射特性的光波。n与与k的方向无关，恒等于的方向无关，恒等于no，相当于各向同性介质的折，相当于各向同性介质的折射率，故按射率，故按n折射
30、的光波称为单轴晶体的折射的光波称为单轴晶体的寻常光寻常光，简称，简称o光光，相应的折射率，相应的折射率no称为寻常光称为寻常光(或或o光光)折射率。折射率。n与与k的方向有关，即其大小随着波矢量的方向有关，即其大小随着波矢量k的方向不同而变的方向不同而变化。可见化。可见n与通常所讲的折射率不同与通常所讲的折射率不同(各向同性介质中，各向同性介质中，n与与k的方向无关的方向无关)，与方向有关，按此折射率折射的光波称，与方向有关，按此折射率折射的光波称为单轴晶体中的为单轴晶体中的非常光非常光，简称，简称e光光。(1)、当光沿着、当光沿着z轴方向传播时，轴方向传播时，这表明当光波波法线沿着这表明当光
31、波波法线沿着z轴方向时，晶体内只轴方向时，晶体内只有一种光波，即寻常光，且不发生双折射现象，有一种光波，即寻常光，且不发生双折射现象，故故z方向为方向为单轴晶体的光轴方向单轴晶体的光轴方向。(2)、当光波垂直于、当光波垂直于z轴传播时，轴传播时，这表明当这表明当光波波矢量垂直于晶体光轴光波波矢量垂直于晶体光轴时，晶体内将存时，晶体内将存在两种光波在两种光波o光和光和e光，且此时光，且此时e光折射与波矢量光折射与波矢量在垂直于光轴的平面上的方向无关，等于一个常数在垂直于光轴的平面上的方向无关，等于一个常数ne。(3)、一般情况下，、一般情况下，e光的折射率不是常数，而随着波矢光的折射率不是常数，
32、而随着波矢量的方向不同在量的方向不同在no和和ne之间变化。之间变化。单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向假设坐标轴x，y，z分别代表3个介电主轴，现有一单色平面光波，其波面法线矢平行于yz平面，且与z轴的夹角为 ，则有：xyzo描述晶体光学性质的基本方程讨论得到，1)、单轴晶体中o光的D矢量与E矢量方向一致，它们垂直于晶体光轴与波矢量k所构成的平面yz平面，因而o光的波面法线与光线方向重合。2)在单轴晶体中，e光的D矢量和E矢量均位于波矢与晶体光轴构成的平面内；分别与o光的D矢量和E矢量垂直；但是D矢量和E矢量并不一定重合。下面确定两种光波的下面确定两种光波的
33、偏振态偏振态：寻常光波。将寻常光波。将 nnno及及 k0 x0，k0ysin，k0zcos 代入代入(26)式，得到式，得到寻常光波寻常光波第一式因系数为零，第一式因系数为零，所以所以 Ex有非零解有非零解。第二、三式。第二、三式因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，方程，此时，只可能是只可能是 EyEz0。因此，。因此，EExi。寻常光波寻常光波可见可见，o 光的光的 E 平行于平行于 x1轴轴，从一般意义上讲，即，从一般意义上讲，即垂直于垂直于 k 与与 z轴决定的平面。又由于轴决定的平面。又由于 D0no2E，所以所以 o光
34、的光的 D 矢量与矢量与 E 矢量平行。矢量平行。yxzEoDokso将将 nn 及及 k0 x0，k0ysin，k0zcos 代入代入(26)式，得到式，得到异常光波异常光波在第一式中，因系数不为零，在第一式中，因系数不为零，只可能是只可能是 Ex0.而第而第二、三式中二、三式中,因系数行列式为零因系数行列式为零,Ey 和和 Ez有非零解有非零解。异常光波异常光波可见，可见，e光的光的 E 矢量位于矢量位于 yOz平面内平面内，从一般意义上，从一般意义上讲，即位于讲，即位于 k 矢量与光轴矢量与光轴 z所确定的平面内。所确定的平面内。异常光波异常光波yxzDeEeEoDoksose同时，由于
35、同时，由于 Dx0rxEx0，所以所以 D 矢量也在矢量也在 yOz 平面内平面内，但不与但不与 E 矢量平行矢量平行。另外，另外，e 光的光的 s 矢量、矢量、k 矢量矢量和光轴共面，和光轴共面，但但 s 与与 k 不平不平行行。异常光波异常光波仅当仅当 /2时，时，Ey0，E 矢量与光轴平行矢量与光轴平行,此时此时,D E，k s，相应的折射率为相应的折射率为 ne。x2x1x3DeEeEoDokse异常光波异常光波综上所述，在单轴晶体中，存在着两种特许偏振方综上所述，在单轴晶体中，存在着两种特许偏振方向的光波：向的光波：o 光和光和 e 光。光。对应于某一波法线方向对应于某一波法线方向
36、k 有两条光线：有两条光线：o光的光线光的光线 s0 和和 e光的光线光的光线 se。yxzDeEeEoDoksose单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向单轴晶体中寻常光和非常光的振动方向讨论得到，1)、单轴晶体中o光的D矢量与E矢量方向一致，它们垂直于晶体光轴与波矢量k所构成的平面yz平面，因而o光的波面法线与光线方向重合。2)在单轴晶体中，e光的D矢量和E矢量均位于波矢与晶体光轴构成的平面内；分别与o光的D矢量和E矢量垂直；但是D矢量和E矢量并不一定重合。单轴晶体中传播光波的振动方向yxz显然一一、折射率椭球、折射率椭球(光率体光率体)用场能密度公式可推出折射率与电位移 的关系式，因为：此方
37、程称为折射率椭球方程折射率椭球方程15.3 15.3 晶体光学性质的几何表示晶体光学性质的几何表示nxnynzyxzDyDxDzr=nd此方程意义是：、方程表示一个椭球面，描述晶体中折射率的空间分布；、方程是在主轴坐标系中表示的，x、y、z表示电位移Dx、Dy、Dz；、nx、ny、nz是主轴x，y，z方向对应的折射率；、椭球体内任一矢径的方向表示D矢量的方向，大小表示沿该方向振动的光波对应的折射率：r=ndd表示D方向的单位矢量。(这可利用菲涅耳方程来理解)、对于确定的光波波矢，折射率不能从椭球直接求出，必须从椭球中心划出矢量，然后过椭球中心做的垂面，它与椭球交线为椭圆。zyx因为，所以与对应
38、的光波感应的只能在交线上，但是在交线上有无数个，可以证明，为了满足光波在晶体中传播的一般规律只有椭圆的长、短轴方向才是允许的电位移，所以有两个方向，即和，对应长轴和短轴方向，而长轴和短轴的长度对应和的折射率n1和n2。单轴晶体单轴晶体 在单轴晶体中，z 轴为光轴，若沿着z 轴，则过椭球中心做截面，其截面在xoy平面上，可见x，y方向的光学特性是相同的，即x，y方向折射率相同，设nx=ny=no，nz=ne，则折射率椭球方程变为：xyznonenoxyznonone这是一个以z轴为对称轴的旋转椭球。none，对应着负单负单轴晶体轴晶体，旋转椭球呈陀螺(扁)形；none，对应着正单轴正单轴晶体晶体
39、，旋转椭球呈橄榄(长)形。在xy平面内，即z=0，椭球的投影为一个圆，即：此圆的半径为 no，这说明，当光波波法线 方向沿 z 方向时，晶体中只有一种可能的传播状态，此时，矢量可以垂直于任意方向，和 重合，即不发生双折射，z 轴为单轴晶体的光轴。xyznononexyznonenoy在yz平面(xz平面)内，即x=0(y=0)，椭球的投影为一椭圆，即：此时椭圆沿y轴(x轴)方向的半长轴均为no，而沿z轴的半长轴的长度为ne。这说明，当光波波法线方向垂直于光轴(z轴)时，晶体内允许两个线偏振光传播存在两种传播状态：一、平行于光轴方向，折射率为ne；二、垂直于光轴与波法线方向，折射率为no。xyn
40、ononezxznonone当光波法线与光轴呈 角时，晶体内允许存在的两个光波的 之一与光轴正交，即平行于xy平面，相应的折射率为n1=no，另外一个与光轴夹角为90，相应的折射率为：xznononexynononez二二、波矢面、波矢面由折射率椭球确定光波 对应的折射率并不直观，因此又提出折射率曲面折射率曲面的概念。因为对任意 有两个允许的 方向，对应两个折射率n1和n2，以O为波矢的原点，在 方向画出长度等于n1和n2的矢径，即 ，此处的n表示n1和n2。当 取空间所有方向，和 的末端便在空间画出两个曲面双壳层曲面。此双壳层曲面称为折射折射率曲面率曲面。O由定义得：x=nkx、y=nky、
41、z=nkz此式为此式为折射率曲面方程折射率曲面方程，它是一个双壳层曲面。，它是一个双壳层曲面。对单轴晶体来说，此双壳层曲面一个是球面，对单轴晶体来说，此双壳层曲面一个是球面，另一个是椭球面。另一个是椭球面。三三、光线面、光线面(一)、光线方程是晶体光学性质的基本方程光线折射率nr也是晶体光学性质的基本方程光线方程是主光线速度(二)、光线面方程定义矢径：光线方程光线面方程该方程表示一个双层曲面，比较复杂。(三三)、光线面与法线面的几何关系、光线面与法线面的几何关系O该点的轨迹画出光线面该点的轨迹画出光线面该点的轨迹画出法线面该点的轨迹画出法线面PzOxP法线面光线面 通通过过光光线线面面上上任任
42、一一点点P作作光光线线面面的的切切线线，在在由由原原点点O向向该该切切线线引引垂垂线线OP，则则OP为为相相应应光光线线OP的的波波法法线线方方向向，P的的轨轨迹迹即即法法线面。线面。反反之之，通通过过法法线线面面上上任任一一点点P作作其其波波法法线线的的垂垂足足平平面面，则则所所有有垂足平面之包络面即为光线面。垂足平面之包络面即为光线面。15.4 平面光波在晶体界面上的反射和折射平面光波在晶体界面上的反射和折射 (Reflection and refraction of plane wave in crystal interface)一、计算法一、计算法前面讨论了光在前面讨论了光在晶体内部晶
43、体内部的传播规律。的传播规律。x2x1x3DeEeEoDok sose实际上，在使用晶体制作的光学元件时，都会涉及到实际上，在使用晶体制作的光学元件时，都会涉及到光在光在晶体表面上的入射和出射问题。晶体表面上的入射和出射问题。方解石晶体方解石晶体人们在实验中发现，一束单色光从空气入射到晶体表人们在实验中发现，一束单色光从空气入射到晶体表面上时，会产生面上时，会产生两束同频率的折射光，这就是双折射两束同频率的折射光，这就是双折射现象现象。方解石晶体方解石晶体当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生当一束单色光从晶体内部射向界面上时，会产生两束两束同频率的反射光，这就是双反射现象同频率的反射光，
44、这就是双反射现象。450光轴光轴HeNe激光束激光束（自然光）（自然光）在界面上所产生的两束折射光或两束反射光都是在界面上所产生的两束折射光或两束反射光都是线偏线偏振光振光，它们的振动方向相互垂直它们的振动方向相互垂直。方解石晶体方解石晶体450光轴光轴HeNe激光束激光束（自然光）（自然光）假设一束单色平面光波自空气射向晶体假设一束单色平面光波自空气射向晶体,ki、kr、kt 分别为入射光、反射光、折射光的波矢，则由光的分别为入射光、反射光、折射光的波矢，则由光的电磁场理论可得电磁场理论可得kiktkrO界面界面irt(108)式是反射定律的矢量形式，式是反射定律的矢量形式，反射光与入射光的
45、反射光与入射光的波矢差与界面垂直。波矢差与界面垂直。kiktkrO界面界面irt(l09)式是折射定律的矢量形式式是折射定律的矢量形式,折射光与入射光的波折射光与入射光的波矢差与界面垂直。矢差与界面垂直。kiktkrO界面界面irt由该二式可见，由该二式可见，ki、kr、kt 和界面法线共面，或者说，和界面法线共面，或者说，反射光和折射光的波法线都在入射面内反射光和折射光的波法线都在入射面内。kiktkrO界面界面irt或或(111)式和式和(112)式就是光在晶体界面上的式就是光在晶体界面上的反射定律和折反射定律和折射定律。射定律。若设若设 i,r,t 分别为分别为入射角入射角,反射角反射角
46、,折射角折射角,则有则有根据图所示的几何关系，由根据图所示的几何关系，由(108)式和式和(109)式得到式得到BACn1n2Okrkikt分界面分界面tir式中的式中的 i、r、t 都是对都是对波法线方向波法线方向而言的而言的,尽管尽管反射光、折射光的波法线均在入射面内，但反射光、折射光的波法线均在入射面内，但它们的光它们的光线有可能不在入射面内线有可能不在入射面内。对于各向异性的晶体而言：对于各向异性的晶体而言：ABABksvrvp在晶体中，光的折射率因传播方向、电场振动方向在晶体中，光的折射率因传播方向、电场振动方向而异。如果光从空气射至晶体，而异。如果光从空气射至晶体，则因折射光的折射率则因折射光的折射率nt 不同，其折射角不同，其折射角t 也不同也不同。如果光从晶体内部射出，相应的入射光和反射光的折如果光从晶体内部射出，相应的入射光和反射光的折射率射率 ni 和和 nr 不相等，所以在一般情况下不相等，所以在一般情况下入射角不等入射角不等于反射角于反射角。450光轴光轴HeNe激光束激光束由于双折射和双反射现象的存在，由于双折射和双反射现象的存在，满足满足(111)式的式的nr和和r 及以及满足及以及满足(112)式的式的 nt 和和 t 都有两个可能的值都有两个可能的值。