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1、高等数学(同济六版)教学课件第9章.多元函数微分法及其应用(1)目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、一、偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 2021/5/222目录 上页 下页 返回 结束 一、一、偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.关于 t 的将振幅2021/5/223目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:2021/5/224目录 上页 下页 返回 结束 同样
2、可定义对 y 的偏导数若函数 z=f(x,y)在域 D 内每一点(x,y)处对 x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数偏导数,记为或 y 偏导数存在,2021/5/225目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,三元函数 u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.偏导数定义为(请自己写出)2021/5/226目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的2021/5/227目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显
3、然例如例如,注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 在上节已证 f(x,y)在点(0,0)并不连续!2021/5/228目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求解法解法1解法解法2在点(1,2)处的偏导数.先求后代先代后求2021/5/229目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设证证:例例3.求的偏导数.解解:求证2021/5/2210目录 上页 下页 返回 结束 偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程求证:证证:说明说明:(R 为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,2021/5/2211目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z=f(
4、x,y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:2021/5/2212目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为z=f(x,y)关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为2021/5/2213目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求函数解解:注意注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及 2021/5/2214目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,二者不等2021/5/2215目录 上页 下页 返回 结束 例例6
5、.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性,有方程2021/5/2216目录 上页 下页 返回 结束 则定理定理.例如例如,对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续连续时,有而初等(证明略)证明 2021/5/2217目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏
6、导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)2021/5/2220目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示:P129 题 5P129 题 5,6即 xy0 时,2021/5/2221目录 上页 下页 返回 结束 P129 题6(1)(2)2021/5/2222目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P68 1（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三节 2021/5/2223目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设方程确定 u 是 x,y 的函数,连续,且求解解:2021/5/2224目录
7、上页 下页 返回 结束 第九章*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y=f(x)的微分近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分2021/5/2225目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义:如果函数 z=f (x,y)在定义域 D 的内点(x,y)可表示成其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，称为函数在点(x,y)的全微分全微分,记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.2021/5/2226目录
8、上页 下页 返回 结束(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微当函数可微时:得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即2021/5/2227目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微可微,则该函数在该点的偏导数同样可证证证:因函数在点(x,y)可微,故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 2021/5/2228目录 上页 下页 返回 结束 反例反例:函数易知 但因此,函数在点(0,0)不可微.注意注意:定理1 的逆定理不成立.偏导数存在函数 不一定可微 !即:2021/
9、5/2229目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2(充分条件)证证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.2021/5/2230目录 上页 下页 返回 结束 所以函数在点可微.注意到,故有2021/5/2231目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分偏微分.的全微分为于是2021/5/2232目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解解:例例2.计算函数的全微分.解解:2021/5/2233目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在近似计算
10、中的应用二、全微分在近似计算中的应用1.近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于误差分析或近似计算)(可用于近似计算)2021/5/2234目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解:已知即受压后圆柱体体积减少了 例例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则 高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体2021/5/2235目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.计算的近似值.解解:设,则取则2021/5/2236目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x,y,z 的绝对误差界,2.误差估计误差估计利用令z 的绝对误差界约为z
11、的相对误差界约为则2021/5/2237目录 上页 下页 返回 结束 特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数2021/5/2238目录 上页 下页 返回 结束 例例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得2021/5/2239目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.在直流电路中,测得电压 U=24 V,解解:由欧姆定律可知()所以 R 的相对误差约为0.3 +0.5 R 的绝对误差约为0.8 0.3;定律计算电阻为 R 时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为
12、测得电流 I=6A,相对误差为 0.5 ,=0.032()=0.8 求用欧姆2021/5/2240目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义2021/5/2241目录 上页 下页 返回 结束 3.微分应用 近似计算 估计误差绝对误差相对误差2021/5/2242目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.P75 题5；P129 题 1 函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题2021/5/2243目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:也可写
13、作:当 x=2,y=1,x=0.01,y=0.03 时 z=0.02,d z=0.03 3.P129 题 72021/5/2244目录 上页 下页 返回 结束 4.设解解:利用轮换对称性,可得注意注意:x,y,z 具有 轮换对称性轮换对称性 2021/5/2245目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:作业作业 P74 1(3),(4);3;*6;*9;*11 5.已知第四节 2021/5/2246目录 上页 下页 返回 结束 在点(0,0)可微.备用题备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连 证明函数所以2021/5/2247
14、目录 上页 下页 返回 结束 同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 2021/5/2248目录 上页 下页 返回 结束 4)下面证明可微:说明说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 2021/5/2249目录 上页 下页 返回 结束 第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则多元复合函数的求导法则 第九章 2021/5/2250目录 上页 下页 返回 结束 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定
15、理定理.若函数处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数证证:设 t 取增量t,则相应中间变量且有链式法则有增量u,v,2021/5/2251目录 上页 下页 返回 结束(全导数公式全导数公式)(t0 时,根式前加“”号)2021/5/2252目录 上页 下页 返回 结束 若定理中 说明说明:例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论不一定成立.2021/5/2253目录 上页 下页 返回 结束 推广推广:1)中间变量多于两个的情形.设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,例如,2021/5/2254目录 上页 下页 返回 结束 又如
16、,当它们都具有可微条件时,有注意注意:这里表示 f(x,(x,y)固定 y 对 x 求导表示f(x,v)固定 v 对 x 求导口诀口诀:与不同,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导2021/5/2255目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设设解解:2021/5/2256目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解解:2021/5/2257目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.2021/5/2258目录 上页 下页 返回 结束 为简便起见,引入记号例例4
17、.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则2021/5/2259目录 上页 下页 返回 结束(当 在二、三象限时,)例例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解:已知极坐标系下的形式(1),则2021/5/2260目录 上页 下页 返回 结束 题目 2021/5/2261目录 上页 下页 返回 结束 已知注意利用注意利用已有公式已有公式2021/5/2262目录 上页 下页 返回 结束 同理可得题目 2021/5/2263目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一
18、样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.2021/5/2264目录 上页 下页 返回 结束 例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以2021/5/2265目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是中间变量,2021/5/2266目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P81 题7P81 题7;8(2);P130 题112021/5/2267目录 上页 下页 返回 结束 P81 题8(2)2021/5/2268目录
19、上页 下页 返回 结束 作业作业 P81 2;4;6;9;10;*12(4);*13P130 题 11第五节 2021/5/2269目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.已知求解解:由两边对 x 求导,得2021/5/2270目录 上页 下页 返回 结束 2.求在点处可微,且设函数解解:由题设(2001考研考研)2021/5/2271目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程C 0
20、 时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:2021/5/2272目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数2021/5/2273目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导在的某邻域内则2021/5/2274目录 上页 下页 返回 结束 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则
21、还可求隐函数的 2021/5/2275目录 上页 下页 返回 结束 例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求2021/5/2276目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2277目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导2021/5/2278目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略
22、,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确2021/5/2279目录 上页 下页 返回 结束 两边对 x 求偏导同样可得则2021/5/2280目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导2021/5/2281目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导2021/5/2282目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设F(x,y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故2021/5/2283目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边求微分:解法解法2 微分法.2021/5/2284目录 上页
23、 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 2021/5/2285目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；2021/5/2286目录 上页 下页 返回 结束 定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P85)2021/5/2287目录 上页 下页 返回 结束 有隐
24、函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内解的公式 故得系数行列式2021/5/2288目录 上页 下页 返回 结束 同样可得2021/5/2289目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习:求答案答案:由题设故有2021/5/2290目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5.设函数在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数2021/5/2291目录 上页 下页 返回 结束 式两边对 x 求
25、导,得则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.2021/5/2292目录 上页 下页 返回 结束 从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得2021/5/2293目录 上页 下页 返回 结束 例例5的应用的应用:计算极坐标变换的反变换的导数.同样有所以由于2021/5/2294目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习思考与练习设求2021/5/2295目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:2021/5/2296目录 上页 下页 返
26、回 结束 解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.作业作业 P87 3,6，7,*9,10(1);(3)，11第六节 由d y,d z 的系数即可得2021/5/2297目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研)解得因此2021/5/2298目录 上页 下页 返回 结束 2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(1999考研)2021/5/2299目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得2021/5/22100谢谢！