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1、电话：电话：400-810-2680400-810-2680第4讲 专题一：一：等高成比、等高成比、鸟头定理、定理、任意四任意四边形形 专题二：二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形 专题三：三：燕尾定理燕尾定理几何综合几何综合专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形一一 、专题知识点概述专题知识点概述模型一模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系同一三角形中，相应面积与底的正比关系(1)两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。S1：S2=a：b；条件条件：共线比例：共线比例a：b 应用应用：以比例线段为底边
2、找三角形：以比例线段为底边找三角形延伸延伸：已知面积比求线段比：已知面积比求线段比模型二：等分点结论（模型二：等分点结论（“鸟头定理鸟头定理”）如图，三角形如图，三角形AED占三角形占三角形ABC面积的面积的 =ABCDE一一 、专题知识点概述专题知识点概述专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形模型模型三三：任意四边形中的比例关系：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理蝴蝶定理”）S1：S2=S4：S3 或者或者S1S3=S2S4 （对角面积之积相等）（对角面积之积相等）应用：知道三个面积就能求第四个面积应用：知道三个面积就能求第四个面积AO：OC=（S1+
3、S2）：（）：（S4+S3）二二 、重点难点解析重点难点解析模型一与其他知识混杂的各种复杂变形模型一与其他知识混杂的各种复杂变形在纷繁复杂的图形中如何辨识在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头鸟头”三三 、竞赛考点挖掘、竞赛考点挖掘三角形面积等高成比三角形面积等高成比“鸟头定理鸟头定理”“蝴蝶定理蝴蝶定理”专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形四四 、习题讲解、习题讲解【例【例1 1】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，长方形如图，长方形ABCD的面积是的面积是56平方厘米，平方厘米，点点E
4、、F、G分别是长方形分别是长方形ABCD边上的中点，边上的中点，H为为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积边上的任意一点，求阴影部分的面积.【分析与解】【分析与解】如右图，连接如右图，连接BH、HC，由，由E、F、G分别为分别为AB、BC、CD三边的中点三边的中点有有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此因此S1=S2，S3=S4，S5=S6,而阴影部分面积而阴影部分面积=S2+S3+S6，空白部分面积空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积所以阴影部分面积与空白部分面积相等，与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部分面积为均为长方形的一半，即阴影部分面积为28.四四 、习题讲
5、解、习题讲解【例【例2 2】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，在长方形如图，在长方形ABCD中，中，Y是是BD的中点，的中点，Z是是DY的中点，的中点，如果如果AB=24厘米，厘米，BC=8厘米，求三角形厘米，求三角形ZCY的面积的面积四四 、习题讲解、习题讲解【例【例3 3】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，在三角形如图，在三角形ABC中，中，BC=8 厘米，厘米，AD=6厘米，厘米，E、F分别为分别为AB和和AC的中点，的中点，那么三角形那么三
6、角形EBF的面积是多少平方厘米？的面积是多少平方厘米？四四 、习题讲解、习题讲解【例【例4 4】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形四四 、习题讲解、习题讲解【例【例4 4】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，在面积为如图，在面积为1的三角形的三角形ABC中，中，DC=3BD,F是是AD的中点，的中点，延长延长CF交交AB边于边于E,求三角形求三角形AEF和三角形和三角形CDF的面积之和。的面积之和。四四 、习题讲解、习题讲解【例【例5 5】（难度等级】（难
7、度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形在右图中，在右图中，AE:EC=1:2，CD:DB=1:4，BF:FA=1:3，三角形三角形ABC的面积等于的面积等于1那么四边形那么四边形AFHG的面积是多少的面积是多少?四四 、习题讲解、习题讲解【例【例6 6】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，三角形如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4，BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？，甲部分面积是乙部分面积的几
8、分之几？四四 、习题讲解、习题讲解【例【例7 7】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形某公园的外轮廓是四边形某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线，被对角线AC、BD分成四个部分，分成四个部分，AOB面积为面积为1平方千米，平方千米，BOC面积为面积为2平方千米，平方千米，COD的面积为的面积为3平方千米，平方千米，公园陆地的面积是公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？四四 、习题讲解、习题讲解【例【例8 8】（难度等级】（难度等级 ）专题一：专题一：等高成比、
9、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】【分析与解】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG设设AEG的面积为的面积为x，显然，显然EBG、BFG、FCG的面积均为的面积均为x，则则 ABF的面积为的面积为3x，即即 那么正方形内空白部分的面积为那么正方形内空白部分的面积为所以原题中阴影部分面积为所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米平方厘米)五五 、课后思考、课
10、后思考专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为4厘米，厘米，EF和和BC平行，平行，ECH的面积是的面积是7平方厘米，平方厘米，求求EG的长。的长。五五 、课后思考、课后思考专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49那么图中阴影部分的面积是多少？那么图中阴影部分的面积是多少？右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是右图是由大、小两个正方
11、形组成的，小正方形的边长是4厘米，厘米，求三角形求三角形ABC的面积。的面积。五五 、课后思考、课后思考专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形平行四边形ABCD的面积是的面积是2，求平行四边形求平行四边形ABCD与四边形与四边形EFGH的面积比的面积比.如图，在如图，在ABC中，延长中，延长BD=AB，CE=BC，F是是AC的中点，的中点，若若ABC的面积是的面积是2，则，则DEF的面积是多少？的面积是多少？六六 、挑战自己、挑战自己（难度等级（难度等
12、级 ）如图，如图，P是三角形是三角形ABC内一点，内一点，DE平行于平行于AB，FG平行于平行于BC，HI平行于平行于CA，四边形，四边形AIPD的面积是的面积是12，四边，四边形形PGCH的面积是的面积是15，四边形，四边形BEPF的面积是的面积是20那么三角形那么三角形ABC的面积是多少的面积是多少?专题一：专题一：等高成比、鸟头定理、任意四边形等高成比、鸟头定理、任意四边形专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形一一 、专题知识点概述专题知识点概述模型一：梯形中比例关系（模型一：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理梯形蝴蝶定理”）S1S3=a2b2S1S3S2S4=a2b2abab;S
13、的对应份数为（的对应份数为（a+b）2如何判断相似如何判断相似(1)相似的基本概念：相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。(2)判断相似的方法：判断相似的方法：两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。一一 、专题知识点概述专题知识点概述模型二：相似三角形性质模型二：相似三角形性质S1S2=a2A2 专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形二二 、重点难点解析重点难点解析1 1判别相似三角形判别相似三角形2 2找准相似三角形的对应角或对应边找准相似三角形的对应角或对应边三三 、竞赛考点挖掘、
14、竞赛考点挖掘1 1梯形的面积公式和蝴蝶定理梯形的面积公式和蝴蝶定理2 2相似的性质相似的性质3 3结合相似三角形的综合型平面几何题目结合相似三角形的综合型平面几何题目专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形四四 、习题讲解、习题讲解【例【例1 1】（难度等级】（难度等级 ）已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，A=B=90,AD=3,BC=4,S=AOD=1,求四边形ABCD的面积。专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形四四 、习题讲解、习题讲解【例【例2 2】（难度等级】（难度等级 ）四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,
15、AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【分析与解】【分析与解】因为因为AE:CE=BE:DE=1:2所以所以 ，即，即ABCD为梯形，并且三角形为梯形，并且三角形AED与三角形与三角形BEC相似。相似。因此因此 故故 专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形四四 、习题讲解、习题讲解【例【例3 3】（难度等级】（难度等级 ）梯形ABCD的中位线EF长15厘米（见图），ABC=AEF=90，G是EF上的一点。如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5，那么EG的长是几厘米？专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形四四 、习题讲解、习题讲解【例
16、【例4 4】（难度等级】（难度等级 ）专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。【分析与解】【分析与解】在梯形中，三角形在梯形中，三角形AOB的面积的面积=三角形三角形DOC的面积，的面积，设三角形设三角形AOB的面积为的面积为x平方厘米。平方厘米。则有则有 x2=925=152 X=15所以，梯形所以，梯形ABCD的面积为的面积为152+9+25=64（平方厘米）（平方厘米）四四 、习题讲解、习题讲解【例【例5 5】（难度等级】（难度等级 ）专题二：专题二：梯形、相似三角形梯
17、形、相似三角形如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=BC.，求梯形ABCD的面积.ADCEBO四四 、习题讲解、习题讲解【例【例6 6】（难度等级】（难度等级 ）专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10平方厘米，EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。【分析与解】【分析与解】因为三角形因为三角形BEG与三角形与三角形D
18、EF相似，所以相似，所以BEED=GEEF=47所以三角形所以三角形AED的面积的面积=647=10.5（平方厘米）（平方厘米）所以三角形所以三角形CED的面积的面积=1047=17.5(平方厘米平方厘米)所以梯形所以梯形ABCD的面积的面积=6+10.5+10+17.5=44(平方厘米平方厘米)平方厘米平方厘米四四 、习题讲解、习题讲解【例【例7 7】（难度等级】（难度等级 ）图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是18，三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27那么阴影部分面积是多少?专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形【分析与解】【分析与解】五五 、课后思考、课后思考1.
19、在右图的正方形在右图的正方形ABCD中，中，E是是BC边的中点，边的中点，AE与与BD相交于相交于F点，点，三角形三角形DEF的面积是的面积是1，那么正方形，那么正方形ABCD的面积是多少？的面积是多少？专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形2右图中，右图中，CA=AB=4厘米，三角形厘米，三角形ABE比三角形比三角形CDE的面积大的面积大2厘米厘米2，求求CD的长的长五五 、课后思考、课后思考3 如图，梯形如图，梯形ABCD被对角线分为被对角线分为4个小三角形，已知个小三角形，已知AOB和和BOC的的面积分别为面积分别为25cm。和。和35cm。，那么梯形的面积是。，那么梯形的面积
20、是_ 4 如图，ABCG是47的长方形，DEFG是210的长方形那么，三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少?专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形六六 、挑战自己、挑战自己（难度等级（难度等级 ）如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE=EC，FB=2AF。求PM：MN：NQ。专题二：专题二：梯形、相似三角形梯形、相似三角形专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理一一 、专题知识点概述专题知识点概述燕尾定理燕尾定理二二 、重点难点解析重点难点解析燕尾定理四种基本模型。燕尾定理四种基本模型。燕尾定理联系到整个图形面积与部分的关系。燕尾定理联系到整个图形面积与部分
21、的关系。三三 、竞赛考点挖掘、竞赛考点挖掘1 1通过面积比求图形中某些线段的长度比。通过面积比求图形中某些线段的长度比。2 2通过各部分面积的差求整个图形的面积通过各部分面积的差求整个图形的面积专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理四四 、习题讲解、习题讲解【例【例1 1】（难度等级】（难度等级 ）如图，已知BD=DC，AE=EB，三角形AFC的面积是30，求三角形A BC的面积。A B C D E F 【分析与解】【分析与解】连结连结BF由燕尾定理由燕尾定理三角形三角形SABF:SACF=BD:DC=1：1 三角形三角形SABF:SBCF=AE:BE=1：1所以所以SABF=SACF=SBCF=1
22、/3 SABC SABC=3 SACF=90A B C D E F 专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理四四 、习题讲解、习题讲解【例【例2 2】（难度等级】（难度等级 ）已知BD=DC，EC=2AE，三角形AEF的面积是10，求三角形ABC的面积。专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理AEFDCB【分析与解】【分析与解】连结连结CF则由燕尾定理则由燕尾定理三角形三角形SABF:SACF=BD:DC=1：1三角形三角形SABF:SBCF=AE:EC=1：2所以所以2SABF=2SACF=SBCF在三角形在三角形ACF中，有中，有EC=2AE，SAEF=1/3 SAFC=1/15 SABCSABF=151
23、0=150AEFDCB四四 、习题讲解、习题讲解【例【例3 3】（难度等级】（难度等级 ）如右图，已知BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是36，求阴影部分面积。专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理AEFDCB【分析与解】【分析与解】连结连结EC由燕尾定理由燕尾定理三角形三角形SABF:SACF=BD:DC=1：1三角形三角形SABF:SBCF=AE:EC=1：2所以所以2SABF=2SACF=SBCF，在三角形在三角形ACF中，有中，有EC=2AE，SCEF=2/3 SAFC=2/15 SABC在三角形在三角形BCF中，有中，有DC=BD，SBCF=1/2SBFC=1/10 SABC阴影
24、部分的面积阴影部分的面积=SCEF+SBCF=2/15 SABC+1/10 SABC=1/6 SABCSABC=6AEFDCB【分析与解】【分析与解】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。所以方法二是我们要首选的方法。本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但但2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，个燕尾似乎少了一个，因此应该补
25、全，所以第一步我们要连接所以第一步我们要连接OC。连接。连接OC因为因为AE:EC=1:3(条件条件)，所以，所以SAOE/SCOE=1:3 若设若设SAOE=x,则则SCOE=3x，所以，所以SAOC=4x,根据燕尾定理根据燕尾定理 SAOB/SAOC=BD/DC=2:1，所以所以SAOB=8x，所以，所以BO/OE=SAOB/SAOE=8x/x=8:1。四四 、习题讲解、习题讲解【例【例4 4】（难度等级】（难度等级 ）专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理四四 、习题讲解、习题讲解【例【例5 5】（难度等级】（难度等级 ）三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么
26、三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理五五 、课后思考、课后思考1、如图，已知、如图，已知BD=2DC，AE=EB，三角形，三角形AFC的面积是的面积是30，求三角形，求三角形ABC的面积。的面积。2、如右图，已知、如右图，已知BD=3DC，BE=2AE，三角形，三角形ABC的面积是的面积是30，求阴影部分面积，求阴影部分面积专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理A B C D E F 五五 、课后思考、课后思考3.如图，如图，BD=2DC，AE=2DE，FC的长度是的长度是6，求，求AF的长度是多少？的长度是多少？4.三角形 的面积为 平方厘米，为 中点，为 中点，为 中点，求阴影部分的面积。专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理六六 、挑战自己、挑战自己（难度等级（难度等级 ）如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB，BC的中点。则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？专题三：专题三：燕尾定理燕尾定理