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1、第第二部分二部分 题型研究题型研究题型二二次函数性质综合题题型二二次函数性质综合题类型一二次项系数确定型类型一二次项系数确定型 典例精讲典例精讲例例例例 1 1在平面直角坐标系在平面直角坐标系在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，抛物线中，抛物线中，抛物线中，抛物线y yx x2 2(2(2a a2)2)x xa a2 22 2与与与与x x轴交于点轴交于点轴交于点轴交于点A A，B B(点点点点A A在点在点在点在点B B的左侧的左侧的左侧的左侧)，与，与，与，与y y轴交于点轴交于点轴交于点轴交于点C C.(1)(1)证明当证明当证明当证明当a a取任意实数时，抛物线顶点在一条确
2、定的直线上；取任意实数时，抛物线顶点在一条确定的直线上；取任意实数时，抛物线顶点在一条确定的直线上；取任意实数时，抛物线顶点在一条确定的直线上；【思维教练思维教练思维教练思维教练】根据抛物线顶点式的计算公式求解顶点坐标，顶根据抛物线顶点式的计算公式求解顶点坐标，顶根据抛物线顶点式的计算公式求解顶点坐标，顶根据抛物线顶点式的计算公式求解顶点坐标，顶点的横、纵坐标都与点的横、纵坐标都与点的横、纵坐标都与点的横、纵坐标都与a a有关，写出横、纵坐标的关系式即可有关，写出横、纵坐标的关系式即可有关，写出横、纵坐标的关系式即可有关，写出横、纵坐标的关系式即可(1)解：解：(1)易知抛物线易知抛物线yx2
3、(2a2)xa22的顶点坐标的顶点坐标为为(a1，12a)，2(a1)3(12a)，抛物线的顶点坐标在直线抛物线的顶点坐标在直线y2x3上；上；(2)(2)求求求求(1)(1)中的直线被抛物线中的直线被抛物线中的直线被抛物线中的直线被抛物线y yx x2 2(2(2a a2)2)x xa a2 22 2截得的线截得的线截得的线截得的线段长；段长；段长；段长；【思维教练思维教练思维教练思维教练】直线被抛物线截得的线段长即直线与抛物线两直线被抛物线截得的线段长即直线与抛物线两直线被抛物线截得的线段长即直线与抛物线两直线被抛物线截得的线段长即直线与抛物线两个交点间的距离由此可想到联立抛物线与一次函数
4、解析式个交点间的距离由此可想到联立抛物线与一次函数解析式个交点间的距离由此可想到联立抛物线与一次函数解析式个交点间的距离由此可想到联立抛物线与一次函数解析式求交点坐标，从而使问题得解求交点坐标，从而使问题得解求交点坐标，从而使问题得解求交点坐标，从而使问题得解联立联立y2x3与与yx2(2a2)xa22的解析式得：的解析式得：x2(2a2)xa222x30，即，即(xa)21，解得：解得：x1a1，x2a1，设直线设直线y2x3与抛物线与抛物线yx2(2a2)xa22的交点坐的交点坐标分别为标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，y152a，y22a1，设线段长为设线段长为d，则，则d 2 ，
5、故直线被抛物线所截得的线段长为故直线被抛物线所截得的线段长为2.(3)(3)当当当当a a1 1时，垂直于时，垂直于时，垂直于时，垂直于y y轴的直线轴的直线轴的直线轴的直线l l与抛物线交于点与抛物线交于点与抛物线交于点与抛物线交于点P P(x x1 1，y y1 1)，Q Q(x x2 2，y y2 2)，与直线，与直线，与直线，与直线BCBC交于点交于点交于点交于点N N(x x3 3，y y3 3)若若若若x x1 1x x2 2x x3 3，结合函，结合函，结合函，结合函数的图象，求数的图象，求数的图象，求数的图象，求x x1 1x x2 2x x3 3的取值范围的取值范围的取值范围
6、的取值范围【思维教练思维教练思维教练思维教练】a a已知，抛物线解析式已知，根据已知，抛物线解析式已知，根据已知，抛物线解析式已知，根据已知，抛物线解析式已知，根据x x1 1x x2 2x x3 3确确确确定出直线定出直线定出直线定出直线l l与抛物线的位置关系，画出解图，从而得到点与抛物线的位置关系，画出解图，从而得到点与抛物线的位置关系，画出解图，从而得到点与抛物线的位置关系，画出解图，从而得到点P P、Q Q、N N间的关系将点之间的关系转化为间的关系将点之间的关系转化为间的关系将点之间的关系转化为间的关系将点之间的关系转化为x x1 1、x x2 2、x x3 3间的关系，间的关系，间的关系，间的关系，使问题得解使问题得解使问题得解使问题得解yx24x3(x2)21，抛物线对称轴为抛物线对称轴为x2，顶点为，顶点为(2，1)B(3，0)，C(0，3)直线直线BC的解析式为的解析式为yx3ly轴，轴，l交抛物线于点交抛物线于点P、Q，交，交BC于于点点N，x1x2x3，根据题意画出图象如解图，由图象知：根据题意画出图象如解图，由图象知：例例1题解图题解图1y1y2y30，点，点P、Q关于关于x2对称，对称，1x330，2,3x34,x1x24，7x1x2x38.