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1、利息度量利息度量孟生旺 主要内容主要内容累积累积函数函数有效利率（有效利率（也称为也称为实际利率实际利率）单利和复利单利和复利贴现贴现函数函数有效贴现率有效贴现率（也称为（也称为实际贴现率实际贴现率）名义利率名义利率名义贴现率名义贴现率利息利息力（连续复利）力（连续复利）2 23如何度量速度？如何度量速度？公里公里/小时，米小时，米/秒，秒，瞬时速度瞬时速度如何度量利息？如何度量利息？利率（实际，名义）利率（实际，名义）贴现率（实际，名义）贴现率（实际，名义）利息力（连续复利）利息力（连续复利）4利息利息（interest）：）：借用他人资金需支付的成本，或出让资金获得的报酬。借用他人资金需支
2、付的成本，或出让资金获得的报酬。利息存在的合理性利息存在的合理性资金的稀缺性资金的稀缺性时间偏好时间偏好资本也是生产力资本也是生产力利息的基本概念利息的基本概念5本金（本金（principal）：初始投资的资本金额。：初始投资的资本金额。累积值（累积值（accumulated value）：一段时期后收：一段时期后收到的总金额。到的总金额。利息（利息（interest）累积值与本金之间的差额。累积值与本金之间的差额。6累积函数累积函数(Accumulation function)：时间零点：时间零点的的1元在时间元在时间 t 的累积值的累积值,记为记为a(t)。性质：性质：a(0)=1；a(t
3、)通常通常是时间的增函数；是时间的增函数；当利息是连续产生时，当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。是时间的连续函数。注注：一般假设利息是连续产生的。：一般假设利息是连续产生的。累积累积函数函数7常见的几个积累函数常见的几个积累函数810ta(t)累积函数？累积函数？例：假设累积函数为例：假设累积函数为 计算计算 t=1 时的时的500元元，在，在 t=2 的累积值。的累积值。解：解：9 9ta(t)01122531010有效利率（有效利率（effective rate of interest）有效利率有效利率 i 是期末获得的利息金额与期初本金之比：是期末获得的利息金额与期初本金之比
4、：11有效利率用百分比表示，如有效利率用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；本金在整个时期视为常数；通常使用的时间单位是通常使用的时间单位是年年。如无特殊说明，利率是指如无特殊说明，利率是指年利率年利率。注注：例：例：把把1000元存入银行，第元存入银行，第1年末存款余额为年末存款余额为1020元，第元，第2年末存款余额为年末存款余额为1050元，求第一年和第元，求第一年和第二年的有效利率分别是多少？二年的有效利率分别是多少？问题问题：整个存款期间：整个存款期间的有效利率是的有效利率是多少？多少？整个整个存款期间的存款期间的年平均有效利率是年平均
5、有效利率是多少？（后面讨论）多少？（后面讨论）13单利单利(simple interest)单利的积累函数：单利的积累函数：14单利的累积函数单利的累积函数 15考虑区间考虑区间(t 1,t)：问题问题:为什么为什么单利的单利的有效利率越来越小？有效利率越来越小？单利的有效利率单利的有效利率只有只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息本金产生利息，而利息不会产生新的利息。时间零点投资时间零点投资1元，每年末得到元，每年末得到完全相同的完全相同的利息利息 i，i 称为单利率。称为单利率。1616单利的特点：单利的特点：17例：例：若年单利为若年单利为8，求投资，求投资2000元在元在4年后的积累
6、值和年后的积累值和利息。利息。累积值为：累积值为：利息为：利息为：某年月日某年月日 某年月日，某年月日，如何确定时间如何确定时间 t 是多少年是多少年？t =投资天数投资天数 每年的每年的天数天数（1）“实际实际/365”（actual/actual）：投资天数按两个日期之）：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按间的实际天数计算，每年按365天计算。天计算。时间时间t 的确定的确定,t=投资天数投资天数 每年的天数每年的天数（2）“实际实际/360”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按每年按360天计算。称为天计算。称为行家行家规则规则
7、(bankers rule)。时间时间t 的确定的确定,t=投资天数投资天数/每年的天数每年的天数（3）“30/360”规则：规则：每月按每月按30天计算天计算,每年按每年按360天计算。天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：两个给定日期之间的天数按下述公式计算：其中起始日为其中起始日为Y1年年M1月月D1日日，到期日为，到期日为Y2年年M2月月D2日日。21例：例：投资者投资者在在2014年年6月月14日存入基金日存入基金10000元，元，2015年年2月月7日取出，基金的年单利利率为日取出，基金的年单利利率为8%，请分别根据下列，请分别根据下列规则计算投资者可以获得的利息金额规则计
8、算投资者可以获得的利息金额：（1）“实际实际/365”规则规则 （2）“实际实际/360”规则规则 （3）“30/360”规则规则（1）精确精确天数天数为为 238，在在“实际实际/365”规则下规则下，t=238/365 利息利息金额为金额为：（2）在在“实际实际/360”规则下规则下，t=238/360 利息利息金额为：金额为：2014 2014 年年 6 6 月月 14 14 日日 -2015 -2015 年年 2 2 月月 7 7 日日（3）在）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为规则下，两个日期之间的天数为：故故 t=233/360 利息利息金额为金额为：2525“30/3
9、60”30/360”规则下的时间计算：规则下的时间计算：DAYS360DAYS360函数函数26单利的缺陷：不满足一致性单利的缺陷：不满足一致性 例例：100万元按年单利利率万元按年单利利率5%投资投资2年，计算年，计算2年末的年末的利息。利息。（1）一次性投资）一次性投资2年年（2）先投资）先投资1年，到期后再投资年，到期后再投资1年。年。解：解：（1）1005%2=10（2）1005%=5 (100+5)5%=5.25 5+5.25=10.25单利的缺陷：不满足一致性单利的缺陷：不满足一致性 证明：证明：含义：含义：分两段投资将产生更多利息。分两段投资将产生更多利息。问题：问题：分段越来越
10、多，产生的利息是否会趋于无穷大？分段越来越多，产生的利息是否会趋于无穷大？练习练习：单利的年利率：单利的年利率为为 i，如果把，如果把1年划分为年划分为 n 个等间隔个等间隔的时间段进行投资，年末的累积值是多少？当的时间段进行投资，年末的累积值是多少？当 n 时会时会怎样？怎样？注：此时的注：此时的 i 不再是单利利率，而是利息力（连续复利）不再是单利利率，而是利息力（连续复利）29复利复利(compound interest)单利：本金保持不变。单利：本金保持不变。复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即“利滚利利滚利”。例：例：假设年初投资假设年初投
11、资1000元，年利率为元，年利率为5，则年末可获利，则年末可获利50元，元，因此在年末有因此在年末有1050元可以用来投资。元可以用来投资。第二年按照第二年按照1050元来计算，将在年末获得元来计算，将在年末获得52.5元利息元利息。问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？30复利的积累函数复利的积累函数31有效利率有效利率=复利利率复利利率复利的有效利率复利的有效利率32单利与复利的比较（单利与复利的比较（假设年利率相等假设年利率相等）单利的有效利率逐期递减，复利的有效利率为常数。单利的有效利率逐期递减，复利的有效利率为常数
12、。当当 0 t 1时，复利比单利产生更大的积累值。时，复利比单利产生更大的积累值。当当 t=0 或或 1 时，单利和复利产生相同的累积值。时，单利和复利产生相同的累积值。复利复利单利单利333434复利的威力复利的威力t35ExerciseIt is known that 1000 invested for 4 years will earn 250 in interest,i.e.,that the value of the fund after 4 years will be 1250.Determine the accumulated value of 4500 invested at
13、the same rate of compound interest for 10 years.36 Solution:37贴现（贴现（discount）累积累积：在时间零点投资：在时间零点投资1元，在时间元，在时间 t 的的累积累积值是多少？值是多少？贴现贴现：在时间零点投资多少，才能在时间在时间零点投资多少，才能在时间 t 累积到累积到 1元元?贴现贴现函数函数：时间时间 t 的的1元在时间零点的价值，记元在时间零点的价值，记为为 a-1(t)。0t1a(t)a-1(t)138常用的贴现函数常用的贴现函数(discount function)单利的贴现函数单利的贴现函数复利的贴现函数复利的
14、贴现函数注：除非特别申明，今后一概使用复利。注：除非特别申明，今后一概使用复利。39(1+i)累积因子累积因子：accumulation factor t 年年累积因子累积因子：t-year accumulation factor 贴现贴现因子因子：discount factorvt t 年年贴现因子贴现因子：t-year discount factor几个术语：几个术语：40 有效贴现率（实际贴现率）：有效贴现率（实际贴现率）：d(effective rate of discount with compound interest)有效贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：有效贴现率等
15、于一个时期的利息收入与期末累积值之比：期初本金期初本金期末累积值期末累积值利息利息 =期末期末累积累积值值 -期期初本金初本金（期初比期末（期初比期末少百分之几少百分之几？）？）（期末比期出（期末比期出多百分之几多百分之几？）？）例：年有效贴现率为例：年有效贴现率为 d，请计算年末的，请计算年末的1元相当于年初的多少？元相当于年初的多少？解解：假设年末：假设年末的的1元相当于年初元相当于年初的的X，则当期的利息为，则当期的利息为1-X。由贴现率的定义，有由贴现率的定义，有411 d10142有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系的关系（1）1 d101当年利息当年利息：d年
16、末年末的的1 1元元在年初在年初的现值为的现值为：1 d根据利率的定义根据利率的定义：43有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系（的关系（2）11+i01当期当期利息利息：i根据贴现率的定义根据贴现率的定义：44证明证明：注注：年末年末的的 i 相当于年初相当于年初的的 d。有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系的关系（3）45v=1 d 解释：年末解释：年末的的1在年初在年初的现值可以表示为的现值可以表示为 v，或，或1 d。011v（1d）有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系的关系（4）证明：证明：问题：如何用问题：如何用d d
17、 表示贴现函数？表示贴现函数？46i d=id有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系的关系（5）证明证明：47 解释：本金有解释：本金有 d 元差额，导致的利息差额是元差额，导致的利息差额是 id。本金本金累积值累积值利息利息11+ii1-d1d本金差额：本金差额：d利息差额：利息差额：i-di d=id48 例例:i=5%=1/20,d=1/21证明：证明：有效利率有效利率 i 与有效贴现率与有效贴现率 d 的关系的关系（6）4949贴现贴现函数：函数：累积累积函数与函数与贴现函数的不同表示方式贴现函数的不同表示方式 累积函数：累积函数：问题：问题：（1）利率）利率变化时
18、，贴现率如何变化？变化时，贴现率如何变化？（2）贴现率变化）贴现率变化时时，利率如何变化？，利率如何变化？5051利率利率贴贴现现率率利率利率 i 和贴现率和贴现率d 的关系的关系 问题：如果利率趋于无穷？问题：如果利率趋于无穷？52贴现率贴现率利利率率贴现率贴现率 d 和利率和利率 i 的关系的关系问题：如果贴现率问题：如果贴现率趋于趋于1 1？例：已知年有效利率为例：已知年有效利率为5%。回答下述问题：。回答下述问题：（1）100万元贷款在年末的利息是多少？万元贷款在年末的利息是多少？（2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？（3）有效
19、贴现率是多少？）有效贴现率是多少？（4）写出累积函数和贴现函数。）写出累积函数和贴现函数。（5）分别用有效利率和有效贴现率计算，）分别用有效利率和有效贴现率计算，5年末到期的年末到期的100万元在时间零点的价值是多少？万元在时间零点的价值是多少？535354例：例：面值为面值为100元的一年期债券的价格为元的一年期债券的价格为95元。元。一年期储蓄存款的利率为一年期储蓄存款的利率为5.25。投资者有投资者有100万元需要投资，应该选择存款万元需要投资，应该选择存款还是购买债券？还是购买债券？55解：解：比较贴现率：比较贴现率：零息债券的贴现率零息债券的贴现率 d 5%储蓄的贴现率储蓄的贴现率
20、d i/(1+i)=4.988比较利率：比较利率：零息债券的利率零息债券的利率储蓄的利率为储蓄的利率为 5.25 56累积函数：累积函数：贴现函数：贴现函数：小结小结57等价关系：等价关系：11+i1 d1158Exercise An investor deposits 20,000 in a bank.During the first 4 years the bank credits an annual effective rate of interest of i.During the next 4 years the bank credits an annual effective ra
21、te of interest of i 0.02.At the end of 8 years the balance in the account is 22081.10.What would the account balance have been at the end of 10 years if the annual effective rate of interest were i+0.01 for each of the 10 years?020,0004810ii 0.0222081.10?i+0.0159the equation of value is the account
22、balance after 10 years would beSolution:60ExerciseIt is known that an investment of 750 will increase to It is known that an investment of 750 will increase to 2097.75 at the end of 25 years.Find the sum of the 2097.75 at the end of 25 years.Find the sum of the present values of payments of 5000 eac
23、h which will present values of payments of 5000 each which will occur at the ends of 10,15,and 25 years.occur at the ends of 10,15,and 25 years.7502097.755010152025500050005000？61 Solution:The known fact:The present value of three payments of 5000 after 10,15,and 25 years will be本章主要内容本章主要内容累积累积函数，有
24、效利率函数，有效利率贴现函数，有效贴现率贴现函数，有效贴现率名义利率名义利率名义贴现率名义贴现率利息利息力（连续复利）力（连续复利）62626363回顾回顾有效利率、有效贴现率：每年支付一次有效利率、有效贴现率：每年支付一次64累积函数：累积函数：贴现函数：贴现函数：65等价关系等价关系11+i1 d166有效利率：有效利率：一年复利一次。一年复利一次。名义利率：一年名义利率：一年复利多次，或多年复利一次。复利多次，或多年复利一次。例：例：3个月期的存款年利率为个月期的存款年利率为1.8%例：例：3年期的存款年利率为年期的存款年利率为4%最常见的年名义利率：一年复利多次最常见的年名义利率：一年
25、复利多次（年）名义利率？（年）名义利率？67考虑下述两笔贷款：考虑下述两笔贷款：贷款贷款100万，年利率为万，年利率为12，年末支付利息，年末支付利息12万。万。贷款贷款100万，年利率为万，年利率为12，每月末支付一次利息，每，每月末支付一次利息，每次支付次支付1万。万。第一个第一个12是是年有效利率年有效利率，第二个是，第二个是年名义利率年名义利率。例例：理财产品的投资期限是：理财产品的投资期限是1 1个月，月末可以获得个月，月末可以获得0.5%0.5%的收益。的收益。表述表述：理财产品的期限是：理财产品的期限是3030天，预期年收益率是天，预期年收益率是6%6%。含义含义：6%6%是名义
26、利率是名义利率区间的有效利率区间的有效利率 每年的区间数每年的区间数 =年名义利率年名义利率686869名义利率的表述名义利率的表述季度的有效利率为季度的有效利率为3%：年利率为年利率为12%，每年结转，每年结转4次利息；次利息；年利率为年利率为12%，每年复利，每年复利4次；次；年利率为年利率为12%，每季度结转一次利息；，每季度结转一次利息；年利率为年利率为12%，每季度复利一次。，每季度复利一次。70名义利率的相关术语名义利率的相关术语相关术语相关术语利息结转期：利息结转期：interest conversion period；每月结转一次：每月结转一次：convertible mont
27、hly；每月支付一次：每月支付一次：payable monthly；每月复利一次：每月复利一次：compound monthly；71年名义利率年名义利率 i(m)表示每年复利表示每年复利 m 次，每次，每 1/m 年支付一次利息。年支付一次利息。例：例：i(4)=8%表示每年复利表示每年复利4次，每季度的有效利率为次，每季度的有效利率为2%。例：例：i(12)=6%表示每年复利表示每年复利12次，每月的有效利率为次，每月的有效利率为0.5%。例：例：i(1/5)=10%表示表示每每5年复利年复利1次次，5年期的有效利率为年期的有效利率为50%。例：例：i(1/2)=9%表示表示每每2年年复利
28、复利1次次，2年年期期的有效利率为的有效利率为18%。名义利率的符号表示名义利率的符号表示727273问题问题：三月期的年利率为：三月期的年利率为1.6，存，存1000元满元满3个月可个月可得多少利息得多少利息？答案答案：i(4)1.6%，三个月的有效利率为三个月的有效利率为 1.6%4=0.4%，存存1000元满元满3个月可得利息个月可得利息 1000 0.4%=4元。元。74问题问题：5年期定期存款的年利率为年期定期存款的年利率为6，存，存1000元元满满5年可年可得多少利息得多少利息？答案答案：i(1/5)6%，5年期的有效利率为年期的有效利率为6%5=30%，存存1000元满元满5年可
29、得利息年可得利息 1000 30%=300元。元。75名义利率与有效利率的关系：名义利率与有效利率的关系：76名义利率与有效利率的关系：名义利率与有效利率的关系：例：时间零点投资例：时间零点投资100万元，年利率为万元，年利率为12%。计算计算1个月末个月末的累积值：的累积值：（1）上述利率是有效利率（复利利率）上述利率是有效利率（复利利率）（3）上述利率是名义利率，每年复利）上述利率是名义利率，每年复利12次次解：解：7777例：时间零点投资例：时间零点投资100万元，年利率为万元，年利率为12%，请在下述条件，请在下述条件下计算下计算1年末的累积值：年末的累积值：（1）述利率是有效利率（复
30、利利率）述利率是有效利率（复利利率）（2）上述利率是名义利率，每年复利）上述利率是名义利率，每年复利12次次解：解：787879Example：Which rate is more favorable to an investor:5%compound semi-annually4.95%compound daily(note:a year is 365 days)80给定年名义利率给定年名义利率（10%10%），有效利率随），有效利率随复利次数复利次数的增加而上升的增加而上升复利次数复利次数有效利率有效利率1 110.00%10.00%2 210.25%10.25%4 410.38%10.3
31、8%121210.47%10.47%5252（每周）（每周）10.51%10.51%365(365(每天每天)10.52%10.52%81问题问题：给定年名义利率：给定年名义利率 i(m)，即令，即令i(m)=，若复利次数若复利次数m为无穷大，年有效利率是多少？为无穷大，年有效利率是多少？8282复利次数复利次数有效利率有效利率1 110.00%10.00%2 210.25%10.25%4 410.38%10.38%121210.47%10.47%5252（每周）（每周）10.51%10.51%365(365(每天每天)10.52%10.52%10.52%10.52%给定年名义利率给定年名义利
32、率（10%10%），有效利率随），有效利率随复利次数复利次数的增加而上升的增加而上升83例：年名义利率为例：年名义利率为6%，每，每8个月复利一次，请写个月复利一次，请写出累积函数的表达式。出累积函数的表达式。解解:每年复利每年复利m=12/8=1.5 次，所以次，所以84课后练习课后练习：银行银行储蓄业务的年名义利率如下，请计算储蓄业务的年名义利率如下，请计算对对应的应的有效利率。有效利率。存款利率（）存款利率（）3个月6个月1年2年3年5年1.802.252.523.063.694.1485存款利率：名义利率和有效利率的比较存款利率：名义利率和有效利率的比较定 期3 3个月个月6 6个月个
33、月1 1年年2 2年年3 3年年5 5年年名义利率名义利率1.801.802.252.252.522.523.063.063.693.694.144.14有效利率有效利率1.8121.8122.2632.2632.522.523.0153.0153.5623.5623.8343.834小于小于1 1年时年时，有效利率大于，有效利率大于名义利率；名义利率；超过超过1 1年时，有效利率小于年时，有效利率小于名义利率。名义利率。86Exercise：Eric deposits X into a savings account at time 0,which pays interest at a no
34、minal rate of i,compounded semiannually.Mike deposits 2X into a different savings account at time 0,which pays simple interest at an annual rate of i.Eric and Mike earn the same amount of interest during the last 6 months of the 8th year.Calculate i.8788名义贴现率名义贴现率(nominal annual rate of discount)例：例
35、：月有效贴现率为月有效贴现率为1%，则年名义贴现率为，则年名义贴现率为12%季度的有效贴现率为季度的有效贴现率为2%，则年名义贴现率为，则年名义贴现率为8%89名义贴现率的符号表示名义贴现率的符号表示 名义贴现率名义贴现率：d(m)是指每是指每 1/m 年的有效贴现率为年的有效贴现率为 。90名义名义贴现率与有效贴现率的关系：贴现率与有效贴现率的关系：在在 1/m 时期内，名义贴现率是与有效贴现率时期内，名义贴现率是与有效贴现率d 等价的单贴现率。等价的单贴现率。91Example：Find the present value of$1000 to be paid at the end of
36、six year at 6%per annum payable in advance and convertible semiannually.（名义贴现率为（名义贴现率为6，半年复利，半年复利1次，第次，第6年末的值为年末的值为$1000，求现值）求现值）解解：92名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系 和和 是是 年内的有效利率和有效贴现率，故年内的有效利率和有效贴现率，故93例：确定每季度复利一次的利率，使它等价于每月复利一例：确定每季度复利一次的利率，使它等价于每月复利一次的次的6的贴现率。的贴现率。解：解：94名义贴现率为名义贴现率为10%复利次数复利次数有效贴现率有效
37、贴现率1(1(每年每年)10.00%10.00%2(2(每半年每半年)9.75%9.75%4(4(每季每季)9.63%9.63%12(12(每月每月)9.55%9.55%52(52(每周每周)9.53%9.53%365(365(每天每天)9.52%9.52%9.52%9.52%若若令令d(m)=，则当则当m为为无穷大时，有：无穷大时，有：95小结：各种等价度量工具之间的数值大小关系？小结：各种等价度量工具之间的数值大小关系？m=1:12m=1:12i=0.05i=0.05d=i/(1+i)d=i/(1+i)im=(1+i)(1/m)-1)*mim=(1+i)(1/m)-1)*mdm=(1-(1
38、-d)(1/m)*mdm=(1-(1-d)(1/m)*mmatplot(m,cbind(im,dm),type=l,lwd=3,ylab=,main=matplot(m,cbind(im,dm),type=l,lwd=3,ylab=,main=随着复利次数随着复利次数m m的增加，名义利率和名义贴现率的变化过程的增加，名义利率和名义贴现率的变化过程（假设有效利率为假设有效利率为5%5%）)legend(4,0.05,c(legend(4,0.05,c(名义利率名义利率,名义贴现率名义贴现率),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col=white),lty=1:2,col=1:
39、2,lwd=2,box.col=white)abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)Example：Jeff deposits 10 into a fund today and 20 fifteen years later.Interest is credited at a nominal discount r
40、ate of d compounded quarterly for the first 10 years,and at a nominal interest rate of 6%compounded semiannually thereafter.The accumulated balance in the fund at the end of 30 years is 100.Calculate d.1020015 years30 years10010 years97Solution：1020015 years30 years10010 years98回顾：回顾：有效利率可以度量资金在一年内的
41、增长强度（有效利率可以度量资金在一年内的增长强度（年平均年平均）。）。名义利率可以度量资金在一个小区间（如一个月）的增长名义利率可以度量资金在一个小区间（如一个月）的增长强度（强度（月平均月平均）。）。问题：问题：如何度量资金在每一个如何度量资金在每一个时点时点上的增长强度？上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间在名义利率中，如果时间区间无穷小无穷小，名义利率就度量了，名义利率就度量了资金在一个资金在一个时点时点上的增长强度。称作上的增长强度。称作利息力利息力。利息力利息力(force of interest)99定义定义：利息力利息力度量资金在每一时点上（无穷小的时间区度量资金在每一时点上
42、（无穷小的时间区间）增长的强度。间）增长的强度。在时间区间在时间区间 t,t+h 的的有效利率有效利率为为对应的年对应的年名义名义利率为（利率为（1年包含年包含1/h个小区间）个小区间）为时刻为时刻 t 的利息力。的利息力。定义：定义：设积累函数连续可导，则时刻设积累函数连续可导，则时刻 t 的的利息力利息力为为 问题问题：为什么：为什么不用不用a (t)度量度量利息的增长强度？利息的增长强度？101单利的利息力单利的利息力单利的累积函数单利的累积函数单利的利息力为单利的利息力为单利的利息力是时间的单利的利息力是时间的递减递减函数（参见下图）。函数（参见下图）。102102103复利的利息力复
43、利的利息力因为因为 所以复利的利息力为所以复利的利息力为复利的利息力是复利的利息力是常数常数！与时间无关。！与时间无关。称为复称为复利的利息力。故复利的累积函数可以表示为利的利息力。故复利的累积函数可以表示为104用利息力表示的累积函数和贴现函数：用利息力表示的累积函数和贴现函数：两边从两边从0到到 t 积分，得积分，得故有故有 105利息力的另一个解释：利息力的另一个解释：复利条件下，当复利条件下，当 m 的名义利率是的名义利率是利息力利息力：106问题问题：当：当 m 趋于无穷时，名义贴现率趋于无穷时，名义贴现率d(m)与利息力的关系？与利息力的关系？利息力的相关概念：利息力的相关概念：连
44、续收益率？连续收益率？连续复利？连续复利？对数收益率？股票的日收益率？对数收益率？股票的日收益率？例：例：股价：股价：100,101,102对数收益率：对数收益率：107107108贴现力贴现力(force of discount)在在 t 时刻的贴现力为时刻的贴现力为利息力利息力 =贴现力：贴现力：109利率概念辨析利率概念辨析实际利率与名义利率实际利率与名义利率：在经济学中，实际利率是扣除了通胀率以后的利率；名义在经济学中，实际利率是扣除了通胀率以后的利率；名义利率是包含通胀率的利率。利率是包含通胀率的利率。用用 i 表示名义利率，表示名义利率，r 表示实际利率，表示实际利率，表示通胀率，
45、则表示通胀率，则 (1+i)=(1+r)(1+)1元1.1元1元/个1元/个名义名义利率利率=10%通胀率通胀率=0%实际利率实际利率=10%1个1.1个0 0时刻时刻1 1年后年后1元1元1元/个2元/个名义名义利率利率=0%通胀率通胀率=100%实际利率实际利率=-50%1个0.5个0 0时刻时刻1 1年后年后1元1.32元1元/个1.2元/个名义名义利率利率=32%通胀率通胀率=20%实际利率实际利率=10%1个1.1个0 0时刻时刻1 1年后年后113例：面包当前的单价是例：面包当前的单价是1 1元：当前的元：当前的1 1元，可买元，可买1 1个面包个面包。若若1 1年后变为年后变为1
46、.11.1元，则名义利率为元，则名义利率为10%10%。若没有通胀，则可买若没有通胀，则可买1.11.1个面包个面包。实际利率为实际利率为10%10%。若若1 1年后变为年后变为1.321.32元，则名义利率为元，则名义利率为32%32%。若通胀率为若通胀率为20%20%，面包单价变为，面包单价变为1.21.2元，则元，则1 1年后的年后的1.321.32元可买元可买1.11.1个面包。实际利率仍然为个面包。实际利率仍然为10%10%。关系：（关系：（1 1+32%+32%）=(1+10%)(1+20%)=(1+10%)(1+20%)114 近似计算：近似计算：(1+i)=(1+r)(1+)i
47、=r+r i r+或或 r i 即实际利率近似等于名义利率减去通胀率。即实际利率近似等于名义利率减去通胀率。例：当前存入例：当前存入100元，元，1年后获得年后获得110元。如果通胀率为元。如果通胀率为10%，则实际利率为，则实际利率为0。115利率和贴现率：利率和贴现率：在计算现值时，利率有时被误称在计算现值时，利率有时被误称为贴现率。为贴现率。计算现值可以用利率、贴现率、利息力：计算现值可以用利率、贴现率、利息力：116小结小结 117A customer is offered an investment where interest is calculated according to
48、the following force of interest:The customer invests 1000 at time t=0.What nominal rate of interest,compounded quarterly,is earned over the first fouryear period?Exercise 118Solution:119Exercise：Bruce deposits 100 into a bank account.His account is credited interest at a nominal rate of interest i i
49、 convertible semiannually.At the same time,Peter deposits 100 into a separate account.Peters account is credited interest at a force of interest of d d.After 7 years,the value of each account is 200.Calculate(i i-d d ).120121At time 0,K is deposited into Fund X,which accumulates at a force of intere
50、st dt=0.006t2.At time m,2K is deposited into Fund Y,which accumulates at an annual effective interest rate of 10%.At time n,where n m,the accumulated value of each fund is 4K.Determine m.Exercise 122Solution:For the fund X,So,n=8.85.For the fund Y,m=8.85 7.27=1.58123Tawny makes a deposit into a bank