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1、双换元求有约束条件式子最值 例题 1（江苏省常州市 2020 届高三第一学期期中考试理科数学试题）11已知正实数 x，y 满足21xyxy，则2xy的最小值为 解法 1 由21xyyy可得(2)(1)3xy，所以22226(2)(22)()2xyxy，从而有22 64xy，当且仅当2226xy即626,12xy 时取等号 所以2xy的最小值为2 64.解法 2 由21xyyy可得(2)(1)3xy，令21mxny，则21xmyn，由,x y为正数，可得，,m n也为正数，所以2242242 64xymnmn，当且仅当26mn即626,12xy 时取等号，所以2xy的最小值为2 64.【解题反思
2、】关于,x y的式子xyaxbyc(xy前的系数不为 1 时，可以在式子两边同时原系数，把xy的系数变为 1)都可以进行因式分解变形为()()xb yacab，然后可以用基本不等式去完成，此外遇到()()xb yacab这种式子还可以像解法 2 一样进行双换元，简化整个解题过程.例题 2（苏州 2020 届高三第一学期期末考试数学试卷 13）已知实数,x y满足2()12x xyy，则2254xy的最小值为 .解法 1 2()12x xyy 整理得2221xxyy有(2)()1xy xy，令21xymxym，解得23311()3mxmymm，所以 22222211611654(28)(228)
3、499xymmmm，当且仅当2216mm即|2m 时取等号，所以2254xy的最小值为 4.解法 2 2()12x xyy 整理得2212xxyy，所以22222222254444844(2)4xyxxyxxyyyxy 当且仅当2xy时取等号，所以2254xy的最小值为 4.【解法反思】虽然换元时只用了一个变量，但变量与变量的倒数相当于是两个变量，双换元在解决两个变量二次式子时可以起到简化解题过程的妙处，这个方法在近几年的各地模拟题中屡见不鲜.【巩固练习】1.（江苏省扬州市 2020 届高三上学期期中调研测试数学试卷 13）已知实数 x，y 满足23y且04296yxxy，则yx 3的最小值是
4、 2.（江苏省常熟中学 2020 届高三上学期阶段性抽测二 12 月数学试题 11）已知正实数 x,y 满足xyyx，则1911yyx的最小值是_.3.（2020 届江苏高考南通学科基地数学密卷四 13）已知实数,x y满足22210 xxyy，则222522xyxxyy的最大值为 .4.（南京师范大学附属扬子中学 2020 届高三一模模拟数学试卷 11）已知正数,x y满足1,xy则4121xy的最小值为_ 5.（江苏省苏州市五校 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试卷 11）已知20ab，且1ab，则242abb的最小值为_.6.（江苏省常州市 2020 届高三第一学期期
5、中考试文科数学试题 12）已知a，b为正实数，且()(2)233ab abab，则34ab的最小值为 【参考答案】1.122 2.15 3.24 4.94 5.144 6 6.4 23 【详细解答】1.（江苏省扬州市 2020 届高三上学期期中调研测试数学试卷）13已知实数 x，y满足23y且04296yxxy，则yx 3的最小值是 122 2.（江苏省常熟中学 2020 届高三上学期阶段性抽测二 12 月数学试题）11.已知正实数 x,y 满足xyyx，则1911yyx的最小值是_.15 3.（2020 届江苏高考南通学科基地数学密卷四）13.已知实数,x y满足22210 xxyy，则222522xyxxyy的最大值为 .24 4.（南京师范大学附属扬子中学 2020 届高三一模模拟数学试卷）11 已知正数,x y满足1,xy则4121xy的最小值为_94 5.【江苏省苏州市五校 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试卷】11.已知20ab，且1ab，则242abb的最小值为_.144 6 6.（江苏省常州市 2020 届高三第一学期期中考试文科数学试题）12已知a，b为 正 实 数，且()(2)233ab abab，则34ab的 最 小 值为 4 23