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1、 第一章一元二次方程期终复习【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：_ 练习：若方程2227mmxmx（）是关于的一元二次方程，求 m 的值。2.一元二次方程的根的判别式：_（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，方程有两个相等的实数根；（3）当 时，方程没有实数根。练习：1.下列方程中，有两个不相等实数根的是 ()240 x 24410 xx 230 xx 2210 xx 2一元二次方程0442 xx的根的情况是 ()A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根 3.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：4x2-1=0 (2x3)2250 81
2、(x-2)2=16 （2）配方法：x2-2x+6=0 2x2-12x+5=0 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(a0）的一般步骤是：二次项系数为_，即方程两边同_；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为_项；配方，即方程两边都加上_；化原方程为(x+m）2=n 的形式；如果 n0 就可以用_求出方程的解；如果 n0，则原方程_ （3）因式分解法：x2-4x=0 2x2=5x 02)2(xxx 因式分解法的步骤是：方程右边化为_；将方程左边分解为_；令每个因式等于 0，得到两个_，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解 若方程20axbxc的两个根分别为 x
3、1，,x2，那么方程可以写成_（4）公式法：求根公式:_x（条件：在240bac时有解）2x2+x-6=0 210 xx 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法 补充内容：根与系数关系（韦达定理）如果一元二次方程)0(02acbxax的根是1x、2x，那么21xx=_，21xx=_.证明：因为当042 acb时，方程)0(02acbxax的根是1x_，2x_,所以，21xx=_；21xx=_.1下列方程中，两个实数根之和为 2 的一元二次方程是()Ax22x30；Bx22x30；Cx22x30；Dx22x30
4、2设一元二次方程 x22x40 的两个实根为 x1和 x2，则下列结论正确的是()Ax1x22 Bx1x24 Cx1x22 Dx1x24 3已知 x1，x2是一元二次方程 x22axb0 的两根，且 x1x23，x1x21，则 a，b 的值分别是()Aa3，b1；Ba3，b1；C3=2a，b1；D3=2a，b1 4若一元二次方程 x2kx30 的一个根是 x1，则该方程的另一个根是()A3 B1 C3 D2 5已知方程 x25x20 的两个根分别为 x1，x2，则 x1x2x1x2的值为()A7 B3 C7 D3 6已知 m，n 是方程 x22 2x10 的两根，则代数式223mnmn的值为(
5、)A9 B3 C3 D5 7已知方程 x24x70 的根是 x1和 x2，则 x1x2_，x1x2_.8 若方程 x22xa0 的一个根是 3，则该方程的另一个根是_，a_.9若 x1，x2是一元二次方程 x23x20 的两个实数根，则 x123x1x2x22的值为_ 10已知方程 x23x10 的两实数根为，不解方程求下列各式的值(1)22；(2)33；(3).4.用方程解决实际问题：1.变化率问题：若原始数为 a，增长率或下降率为 x，经第一次变化后数据为:_，第二次变化后为：_ 求出 x 后，依据 0 x1 的条件，选出符合题意的答案。例题：某商品原价 100 元，连续两次涨价x%后售价
6、为 120 元，下面所列方程正确的是()A2100(1)120 x%；B2100(1)120 x%C2100(12)120 x%；D22100(1)120 x%2.数字问题：例题：有一个两位数，两个数位上的数字之和为，积为 63。求这个两位数。3.面积问题：例题：如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4.利润问题：将进货单价 40 元的商品按 50 元出售，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，就会少销售 10 个。为了赚得 8000 元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。【达标测试】1用适当
7、的方法解下列方程：（1）2310 xx （2）2(1)3x （3）230 xx (4)(2x+1)2=(x-1)2 2.一元二次方程2210 xx 的解是 3.方程24xx的解是 ()A4x B2x C4x 或0 x D0 x 4方程(1)x xx的解是 5.一元二次方程2(6)5x可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是65x，则另一个一次方程是 6已知一元二次方程032 pxx的一个根为3，则_p 7.关于x的一元二次方程022mmxx的一个根为 1，则方程的另一根为 。8.已知1x 是方程220 xax的一个根，则方程的另一个根为 ()A2 B2 C3 D3 9.三角形的每条边的长都是方
8、程2680 xx的根，则三角形的周长是 10.一种药品经过两次降价，药价从原来每盒 60 元降至现在的 48.6 元，则平均每次降价的百分率是 11.某商场第一季度的利润是 82.75 万元，其中一月份的利润是 25 万元，若利润平均月增长率为x，则根据题意列方程为 ()A75.821252 x；B75.825025x；C75.827525x；D 75.82111252xx 12.写出一个以 2 和 4 为根的一元二次方程：_ _。13.已知m是方程012 xx的一个根，则代数式mm 2的值等于（）A、B、C、0 D、2 14.关于x的一元二次方程220 xxm有两个实数根，则m的取值范围是
9、15.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为22baba，根据这个规则，方程05)2(x 为：；16.如图，ABC 中，B90，AB6，BC8，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动如果P、Q 分别从 A、B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动：（1）经过几秒，PBQ 的面积等于 8cm2；（2）PBQ 的面积会等于 10cm2吗？会请求 出此时的运动时间，若不会请说明理由 参考答案：1.一元二次方程的概念：20(0)axbxca 练习：2m ;2.一元二次方程的根的
10、判别式：根的判别式.用字母 表示.即=b2-4ab.1当b2-4ab0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a0)有两个不等实数根；2当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a0)有两个相等实数根；3当b2-4ab0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a0)没有实数根 练习：1.D；2.B；3.一元二次方程的解法：12；1，-4；22 1499，；没有实数解；6262 配方法：,a a常数一次项系数一半的平方直接开平方，没有实数根。0，4；0，52；2，-1；因式分解：0，两个因式的积；一元一次方程；12()()0a xxxx 公式法：242bbaca -2，32；没有实数根
11、。补充内容：2244,.22b cbbacbbacb ca aaaa a 1C 选项 B 中的方程无实数根本题易误选为 B.；2A 3D 由根与系数的关系知，x1x22a，x1x2b.因此2a3，b1，即32a ，b1.故选 D.4C 设方程的另一个根为 x1，由 x113，得 x13.5D 由根与系数的关系，得 x1x25，x1x22.故 x1x2x1x2523.6 C 根 据 一元 二 次方 程 的 根 与 系数 的 关系，得 m n2 2，mn 1.故222232 213mnmnmnmn .74 7 81 3 设方程的另一个根是 x1，则113=23=xxa，解得x11，a3.97 x1
12、23x1x2x22(x1x2)2x1x232(2)7.10解：因为，是方程 x23x10 的两个实数根，所以 3，1.(1)22()22(3)22(1)11.(2)33(22)(1)1111.(3)2211111.4.用方程解决实际问题：1.变化率问题：2(1),(1)ax ax，例题：B；2.数字问题：例题：79 或 97.3.面积问题：长 30CM，宽 15CM。4.利润问题：解：设涨价 x 元能赚得 8000 元的利润，即售价定为每个（x+50）元，应进货（50010 x）个，依题意得：（5040+x）（50010 x）8000，解得 x110，x230，当 x10 时，x+5060，5
13、0010 x400；当 x30 时，x+5080，50010 x200 答：售价定为每个 60 元时应进货 400 个，或售价定为每个 80 元时应进货 200 个【达标测试】1.（1）公式法：352x；（2）直接开平方法：13x ；（3）因式分解：0 和 3；（4）直接开平方法：-2 和 0.2.121xx；3.C；4.0 和 2；5.65x；6.4；7.-2；8.B；9.6、10 或 12；10.10%；11.D；12.不惟一(2)(4)0 xx；13.A；14.1m；15.3 和-7；16.解：（1）设经过 x 秒，PBQ 的面积等于 8cm2则：BP6x，BQ2x，所以 SPBQ（6x
14、）2x8，即 x26x+80，可得：x2 或 4，即经过 2 秒或 4 秒时，PBQ 的面积等于 8cm2（2）设经过 y 秒，PBQ 的面积等于 10cm2，SPBQ（6y）2y10，即 y26y+100，因为b24ac3641040，所以PBQ 的面积不会等于 10cm2 补充题：如图，在ABC 中，AB10cmBC20cm、点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度移动如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，经过几秒钟后，以 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC 相似？解：PB 与 AB
15、是对应边时，PBQABC，所以，即，解得 t2.5，PB 与 BC 是对应边时，PBQCBA，所以，即，解得 t1，综上所述，t1 秒或 2.5 秒时，以 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC 相似 一元二次方程单元测试 一、选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1、下列方程中，无论a取何值，总是关于 x 的一元二次方程的是（）（A）02cbxax （B）xxax221（C）0)1()1(222xaxa （D）0312axx 2、下列方程中,常数项为零的是 ()A、x2+x=1 B、2x2-x-12=12 C、2(x2-1)=3(x
16、-1)D、2(x2+1)=x+2 3、要使分式4452xxx的值为 0，则x应该等于（）（A）4 或 1 （B）4 （C）1 （D）4或1 4、已知是方程2的一个根，则代数式2的值等于（）A、B、C、0 D、2 5、若12 x与12 x互为倒数，则实数x为（）（A）21 （B）1 （C）22 （D）2 6、关于x的一元二次方程02 kx有实数根，则（）（A）k0 （B）k0 （C）k0 （D）k0 7、方程 2x2-3x+1=0 化为(x+a)2=b 的形式,正确的是 ()A、23162x B、2312416x C、231416x D、以上都不对 8、关于x的一元二次方程x2kx1=0 的根的
17、情况是 （）A、有两个不相等的同号实数根 B、有两个不相等的异号实数 C、有两个相等的实数根 D、没有实数根 9、关于 x 的一元二次方程0)2(222mxmx有两个不相等的实数根，则 m 取值范围 A、m1 B m 1 C m 1 D m-1 10、三角形的三边满足bcacabcba222，则这个三角形是 （）A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 无法判断 二、填空题（本大题共 10 题，每题 3 分，共 30 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 11关于 x 的方程（m1）x2+（m+1）x+3m1=0，当 m_时,是一元二次方程.12一元二次方程12)
18、3)(31(2xxx的一般形式为：必有一个根是则一元二次方程、如果)0(0,0132acbxaxcba14、方程042 xx的解为 15、已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是2，那么k=_。16、已知 y=x2-2x-3，当 x=时，y 的值是-3。17、若方程02 mx有整数根，则m的值可以是_（只填一个）。18已知关于 x 的方程 x2（a2）xa2b0 的判别式等于 0，且 x21是方程的根，则 ab 的值为 _。19若最简二次根式 xx42 与 3x10 是同类二次根式，则 x 的值是 20若关于 x 的多项式aaxx12是完全平方式，则 a=三、解答题（90 分）21
19、解下列方程（66=36 分）（1）9(x2)21210 （2）20152 xx（用配方法）（3）（3x）2x29 （4）2（x3）2x（x3）（5）x225x10 （6）（x1）25（x1）60 22、（6 分）当m为何值时，一元二次方程033222mxmx 有实数根 23已知关于 x 的方程096)1(2xxk （10 分）（1）若方程有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求 k 的值,并求此时方程的根。24、如果一元二次方程 x2ax b=0 的两个根是 0 和2，则 a、b 分别等于多少？（8 分）25先用配方法说明：不论x取何值，代数式257xx的值总大于 0。再求出当x取何值时，代数式257xx的值最小？最小是多少？（8 分）26将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由 （10 分）27、已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程：（1）请解上述一元二次方程、（8 分）（2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。（4 分）