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1、1/4 第二章 2.4 抛物线 抛 物 线)0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 定义 平面与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M 到直线l的距离 围 0,xyR 0,xyR,0 xR y,0 xR y 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上 顶点(0,0)O 离心率 e=1 准线 方程 2px 2px 2py 2py 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离 p 焦半径
2、 11(,)A x y 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 2/4 焦 点弦 长 AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp 焦点弦AB的几条性质11(,)A x y22(,)B xy 以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为，则22sinpAB 若AB的倾斜角为，则22cospAB 2124px x 212y yp 112AFBFABAFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00()y yp xx 00()y yp xx 00()x xp yy 00()x xp
3、 yy 1.直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：bkxy抛物线，)0(p o x 22,B xy F y 11,A x y 3/4 联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以与2121,xxxx
4、，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉与弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦 AB 的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21 或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b.中点),(00yxM,2210 xxx，2210yyy 点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得 1212pxy2222pxy 将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy 2121212yypxxyy a.在涉与斜率问题时，212yypkAB b.在 涉 与 中 点 轨 迹 问 题 时，设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点4/4),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）