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1、典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例 1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH 1）题意分析：本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理-日 2）解麒路：可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断.卜 在艮gEAF中，AF=1,AE=2,根据勾股定理，得小 EF=+AF2=应+F=妩 同理AB=2/2,(70=25.计算发现（囚十（2胸=（应）即AB2+EF2=QH2,根据 勾股定理的逆定理得到以AB、EF,GH为边的三角形是直角三角形。故选 B 解题后的略/1.勾股
2、定理只适用于直角三角形,而不适用于韦兑角三角形和钝角三角形.因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解-2在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 七就是斜边而“固执”地运用公式尸=/+,其实，同样是眼 2不一定就等于90%。不一定就是斜边，A ABC不一定就是直角三角 形./3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的，区别在于勾股定理的运 用是一个从出形”（一个三角形是直角三角形）到.数（尸=/+8）的过程，而直角三角形的判定是一个从*（一个三角形的三边满足”二/+尸的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程。4.在应用勾股定理解题时，要全面地考
3、虑问题，注意问题中存在的多种 可能性，睑免漏解*例2：如图，有一块直角三角形纸板朋。，两直角边!CMcm3。=8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边JIB上,且点。落到点姓,则GD等于（）4 A 2cm B.3cm C.4cm D.Scm+J 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路 本题若直接在ZUCD中运用勾股定理是无法求得CD的 长的，因为只知道一条-47的长，由题意可知，ZUC和&U7?关于直 统对称，因而进一步则有血=L4O5cm,CD=ED,ED 1AB,设CD=ED=cm,则在Rl A ABC中,由勾股定理可得 辰瑚网8。=序+维=1皿，得AB=1 Ocm,
4、在琪日庞中，有炉+10-6）3=（3-x）解得 A3.v 解答gB时 解题&的衅 勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾 股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果 条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，C.AB、CQ GH D.AB、CD EF 这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。例 3:一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占
5、 明、活华、绣业、冠华在楼上凭栏远眺。华华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有 10 米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离 树根恰好 3 米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣业补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键
6、是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答 设直角三角形的三边长分别为，如 如图，则白=3米，8+c=10米.乎又 c2-b2=a2,gp IC+I.ic-b=a a2_ 9 _ 7+ioio（米n a 1（9 3七旭+合）-年 e）10-=4 解得2 21 10J 解题后的思考：这是一道阅读理解夷试题-这种题型特点鲜明，内容丰富、超越常规，源于栗本，高于课本，不仅考查阅读能力.而且还踪合考查数学意识和数 学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识.解题时，一般是通 过阅读，理解概念，掌握方法，颈悟思想，抓住本质，然后才能解答间题/知识点二，构造直角三角形使用勾股定理 例4=如图
7、,一个长方体形的木柜放在墙角处:（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂艇从柜角用处沿着木柜表面爬到柜角q处.（1）请你画出蚂蚁锡最快至1达目的地的可能路径；点 当 出二丈=CVL二5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长次11 10（3）求点*到最短路径的距离 析 n 1）独意分析，本题考查勾股定理的应用.s 2）解题思路！解决此类间题的关曜是把立阵图形问题转化为平面图形 问题，从而利用勾股定理解决-路径虽无数最疤却唯一，要注意弄清哪一 条路径是最短的.碇 解答过程；（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC和 时/r 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC和成L尸（2）蚂蛟沿着木柜表面经线段攻坊
8、到邕，腰过的路径的长是 4=J疽十（4+5）=妨.p 蚂蚊沿着木柜表面经线段月片到弓，爬过的路径的长是 乌二】（4+苛+5】二网/E,最短路径的长是4=9./二箜1 AA=（3）作5齿上*乌于贝lj L-所求./解题后的衅#转化的思想是将复杂间题转彳七、分解为简单的问题，或将陌生的间题 转化为熟悉的间题来姓理的一种思想方法.如：在许多实际问题中，首先 将实际间题转化为数学间题，另外，当问题中没有给出直角三角形时，通 常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。例 J 有一块直角三角形的绿地，童得两直角边长分别为6m，8m.现在 要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边
9、的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.*思路分析：此题如有图形变得很简单，按图形解答即可.但若没有 图形，则需要讨论几种可能的情况/这正是.无图题前细思考，分类讨论 保周到七 3 解答这程=在Rt朋。中,/LACB=90 AC-B,BC=6,由勾 股定理有：AB=Wf扩充部分为RtZL4CZZ扩充成等腰舶 Q,应分以 F三种情况；如图1,A5=AD=O时，可求CD=CB=6 f得 勘 Q 的周长为32m.如图L当AB=BD=O时.可求CDW,由勾股定理得！也=4月，得4ABD的周长为0+4右|血，如图九=广-r 由 1 N I 4 4 I 备用图 25 X=当四君为底时，设应？=二归则竺
10、二武一6,由勾股定理得；3,80 得舶 Q 的周长为耳血 图1 图？图3 解题后的思考：分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重 不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用 例 6:(1)图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大 正方形。若大正方形的面积为 13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中 间小正方形的面积。(2)现有一张长为 6.5cm、宽为 2cm 的纸片，如图乙，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应
11、数据)1)题意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼割剪接 2 2)解题思路：注意拼接过程中面积是不变的。(1)设直角三角形的较长直角边长为a,较短直角边长为b,则小正 方形的边长为a-b.由题意得 a 4+3=5 3 由勾股定理，得/+疥=13/2得2白3=12 所以 S-合沪=/+疥-2昵=13-12=1/即所求的中间小正方形的面积为N(2)所拼成的正方形的面积为65 x 2=13(5?),所以可按照图甲制 作.。由得白-3=1/由、组成方程组解得a=3,3=2-结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片6.5cm的长边上 截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为 1 0 13-X 3
12、x2x4=13-12=l(cw2)2,恰好等于中间的小正方形的面积。于是，得到以下分割拼合方法：3间题的，但是，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决。-知识点四.连续应用勾股定理。例司如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角也向外作第2个等腰直角 三角形ABA”再以等腰直角三角形ABA】的斜边.为直角边向外作第3个等 腰直角三角形AiBBp,如此作下去，若OA=OB=1,则第n个等腰 本题考查利用勾股定理进行归纳推理 先在RtAAB0中，由0A=OB=1求出AB=扼；再 由AB=A Ai=求出AB=2,；再分别求出 AOBs ABA】、AIBBI、的面积，从中发现
13、规律，猜想出结论。在 RtAAB。中，由 ZAOB=90,OA=OB=1,可求出 AB=2,S 2 2 A0B=2 xlxl=2=24；在 RtAAB Ai中，由匕A】AB=90,AB=AAi=2 扼，可求出 AiB=2,S2=2X72X72=1=20；在 RtAAiBBi 中，由匕 2 cm 解题后的思考=这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决直角三角形的面积 2)解题思路:在 RtAAB Ai 中,2 ABBi=90,AB=BBi=2,可求出 AiBi=2-/2,s3=2 x2x 2=2=2】；在 RtAAi B2BI中，由 ZB2AIBI=90,AIBI=AIB2=22,可 2
14、求出 Bi B2=4,S=2 x 2-/2 x2V2=4=22；,由此可以猜想易=2*2。解题后的思考：类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似 的对象进行对比，作出归纳判断的一种科学研究方法。在中考数学中考查 类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的规律.3 预习导学 下一讲我们将讲解四边形的应用，本讲内容是中考重点之一，如特殊 四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题.中考中常以选择题、填空题、解答题和 证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、
15、应用题、阅读理解题、学科间隙合题、动点问题、折叠问题等，这些都是热点题型，应引起同学 们高度关注.3 同步练习（答题时间:60分钟）、选择题 3 1.如图，每个小正方形的边长为1,A 3、（7是小正方形的顶点，则匕 店。的度数为（）2 D.30V 2.如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米,AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距篱相等，则活动中心P处的 位置应在（）2 B.BC中点处/D.ZC的平分线与AB的交点处 3 3.如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点8到点C的距邕为5,一
16、只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点为爬到点B,需要爬行的最短距鼎 是（）3A.AB中点处 C.AC中点处 B C B.60 C.45。二、填空题 3 4.某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，匕R4C=30,=90。,因某种活动要求铺设红色地毯，则在A5段楼梯所铺地毯的长 度应为.35.已知RtAABC的周长是4+4右，斜边上的中线长是2,则S阪=6.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm高为6cm.如果用一根 细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm；如果从点乂开始经过4个侧面缠绕以圈到达点昂那么所用细线最短 cm。“7.图甲是我国古代著名的赵爽弦图的示意
17、图，它是由四个全等的直 角三角形围成的。在RtAABC中，若直角边AC=6,BC=6,将四个直角三 角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车气 则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是-B.25 C.105+5 D.35/图乙。8.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走捷径气 在花圃内走出了一条“路他们仅仅少走了 步路（假设2步为1 米），却踩伤了花草.3 2 9.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是三，高为2,若一只小虫从点 出发沿着圆柱体的侧面爬行到。点，则小虫爬行的最短路程是（结 果保留根号）.。三、解答题 3 10.如图，乂，B 是公路(?为东西走向)两旁
18、的两个村庄，Z村到公路?的距离为1km,3村到公路1的距离BD=2km,B村在乂村的南偏东45 方向上。3(1)求出&月两村之间的距离；3(2)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站R要求该 车站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点F的位置(保留清浙的作 图痕迹，并简要写明作法),你热爱生命吗？那么别浪费时间.因为时间是组成生 命的材料 富兰克林 2.3.10,2J9+16K(或J36+64K)【解析】由题意得：细线从点为 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,其最短长度为将长方体的四个侧面展 开即可构成一个直角边分别为8m和6cm的直角三角形，所以细线的最短 长度应为lUcm；当细线经过四个侧面缠绕n圈时，到达点B的最短长度为 29+16】(或 J36+64K)cm/2(km)p A月两村的距离为3jkm。3(2)作图正确，痕迹清晰.-作法：分别以点孔8为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧 交于两点M N,3 作直线奶；“直线心交加于点F,点夕即为所求。，