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1、2020-2021 学年天津市河东区高一下学期期末 数学试卷 一、选择题：共 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分.1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 100，200，300，400 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（）件 A24 B18 C12 D6 2下列事件中，随机事件的个数是（）2022 年 8 月 18 日，北京市不下雨；在标准大气压下，水在 4时结冰；从标有 1，2，3，4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；xR，则|x|的值不小于 0 A1 B2 C3 D4 3已知 m
2、，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则 与 平行 B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 D若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线 4如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 BACP 的平面角是（）A90 B60 C45 D30 5在 5 盒酸奶中，有 2 盒已经过了保质期，从中任取 2 盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）A B C D 6如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及完成情况的统计图，如 10 月份销售任务是
3、 400 台，完成率为 90%，下列叙述不正确的是（）A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C2018 年总销售量为 4870 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份 7在空间四边形 ABCD 中，若 ABBC，ADCD，E 为对角线 AC 的中点，下列判断正确的是（）A平面 ABD平面 BDC B平面 ABC平面 ABD C平面 ABC平面 ADC D平面 ABC平面 BED 8三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，SA4，AB3，D 为 AB 的中点，ABC90，则点 D 到面 SBC的距离等于（）A B C D 二、填
4、空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分.请将答案填在题中横线上.9某次能力测试中，10 人的成绩统计如表，则这 10 人成绩的 20%分位数为 分数 5 4 3 2 1 人数（单位：人）3 1 2 1 3 10掷两颗骰子，出现点数之和等于 8 的概率等于 11如图，CD，EF，AB，AB，则 CD 与 EF 的位置关系为 12A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，则 A 或 B 在边上的概率为 13为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙
5、所调查数据的标准差分别为 s1，s2，s3，则它们的大小关系为 （用“”连接）14如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且，现有下列结论：ACBE；平面 AEF 与平面 ABCD 的交线平行于直线 EF；异面直线 AE，BF 所成的角为定值；三棱锥 ABEF 的体积为定值 其中错误结论的是 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 0 分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.15如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，AC9，BC12，AB15，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACB1C；（2）求证：AC1平面 CDB1
6、 16据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为 0.5，购买第三者人身安全险的概率为 0.6购买两种保险相互独立，各车主间相互独立 求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率 求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率 17某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100）作为样本（样本容量为 n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，已知得分在50，60），90，100的频数分别为 8，2（1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x
7、，y 的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数 18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段75，80），80，85），85，90），90，95），95，100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 19如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（）求
8、异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 参考答案 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 4 分，满分 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内.1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 100，200，300，400 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（）件 A24 B18 C12 D6【分析】利用分层抽样的性质直接求解 解：某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量
9、分别为 100，200，300，400 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取：6024（件）故选：A 2下列事件中，随机事件的个数是（）2022 年 8 月 18 日，北京市不下雨；在标准大气压下，水在 4时结冰；从标有 1，2，3，4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；xR，则|x|的值不小于 0 A1 B2 C3 D4【分析】根据题意，依次分析 4 个事件是不是随机事件，综合可得答案 解：根据题意，依次分析 4 个事件；2022 年 8 月 18 日，北京市不下雨，是随机事件；在标准大气压下，水在 4时结冰，是
10、不可能事件；从标有 1，2，3，4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签，是随机事件；xR，则|x|的值不小于 0，是必然事件；则其中是随机事件的有 2 个；故选：B 3已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则 与 平行 B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 D若，不平行，则在 内不存在与 平行的直线【分析】对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 解：对于 A，若，垂直于同一平面，则 与 平行或相交，不正确；对于 B，若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平
11、行、相交或异面，不正确；对于 C，根据垂直与同一平面的两条直线平行，可知 C 正确；对于 D，若，不平行，则在 内存在与 平行的直线，与交线平行即可，不正确，故选：C 4如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角 BACP 的平面角是（）A90 B60 C45 D30【分析】根据面面垂直的判定定理证明二面角 BACP 是直二面角即可 解：PA平面 ABC，AB平面 ABC，PAAB，BAC90，ABAC，PAACA，AB平面 PAC，AB平面 ABC，平面 ABC平面 PAC，即二面角 BACP 为直二面角，则二面角 BACP 的大小为 90，故选：A 5在 5 盒酸
12、奶中，有 2 盒已经过了保质期，从中任取 2 盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）A B C D【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解 解：设 5 盒酸奶分别为 A1，A2，A3，B1，B2，其中保质期内的为 A1，A2，A3，过了保质期为 B1，B2，从 5 盒酸奶中，随机抽取 2 盒，有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共 10 种，其中取到的酸奶中有已过保质期，有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1
13、），（A3，B2），（B1，B2）共 7 种，故所求的概率 P 故选：C 6如图是某公司 2018 年 1 月至 12 月空调销售任务及完成情况的统计图，如 10 月份销售任务是 400 台，完成率为 90%，下列叙述不正确的是（）A2018 年 3 月的销售任务是 400 台 B2018 年月销售任务的平均值不超过 600 台 C2018 年总销售量为 4870 台 D2018 年月销售量最大的是 6 月份【分析】根据题意，结合统计图，依次判断各选项即可 解：对于 A由图中的数据，2018 年 3 月的销售任务是 400 台，A 正确 对于 B2018 年月销售任务的平均值为（100+200
14、+3300+3300+500+700+800+1000）600，B正确 对于C.2018年总销售量30050%+200100%+400120%+500110%+800100%+100070%+70080%+40090%+300150%+40090%+10080%+30060%4870 台，C 正确，对于 D.2018 年月销售量 5 月份是 800 台，6 月份是 100070%700 台，因此 2018 年月销售量最大的是 5 月份，D 错误；故选：D 7在空间四边形 ABCD 中，若 ABBC，ADCD，E 为对角线 AC 的中点，下列判断正确的是（）A平面 ABD平面 BDC B平面 A
15、BC平面 ABD C平面 ABC平面 ADC D平面 ABC平面 BED【分析】根据面面垂直的判定定理进行证明即可 解：ABBC，ADCD，E 为对角线 AC 的中点，BEAC，DEAC，BEDEE，AC平面 BED，AC平面 ABC，平面 ABC平面 BED，故选：D 8三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，SA4，AB3，D 为 AB 的中点，ABC90，则点 D 到面 SBC的距离等于（）A B C D【分析】先由面面垂直的性质找出点 D 到面 SBC 的距离 DE，再利用三角形相似，对应边成比例求出DE 的值 解：SA底面 ABC，SA4，AB3，D 为 AB 的中点，ABC90，B
16、C面 SAB，面 SBC面 SAB，在面 SAB 中，作 DESB，则 DE面 SBC，DE 为所求 由BDEBSA，得，即，解得 DE，故选：C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分.请将答案填在题中横线上.9某次能力测试中，10 人的成绩统计如表，则这 10 人成绩的 20%分位数为 1 分数 5 4 3 2 1 人数（单位：人）3 1 2 1 3【分析】根据题意，由分位数的定义直接求解即可 解：根据题意，因为 1020%2，由表格中的数据可得，这 10 人成绩的 20%分位数为1 故答案为：1 10掷两颗骰子，出现点数之和等于 8 的概率等于 【分析】根据试验
17、发生包含的事件是掷两颗骰子有 6636 个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于 8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共 5 种结果，得到概率 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有 6636 个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于 8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共 5 种结果，要求的概率是 P，故答案为：11如图，CD，EF，AB，AB，则 CD 与 EF 的位置关系为 CDEF 【分析】由 AB平面，推导出 ABCD，由 AB平面，推导出 ABEF，由此得到 CDEF 解：AB平面，AB，CD，ABCD，AB
18、平面，AB，EF，ABEF，CDEF 故答案为：CDEF 12A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，则 A 或 B 在边上的概率为 【分析】基本事件总数 n24，A 或 B 在边上包含的基本事件个数 m20，由此能求出 A 或 B 在边上的概率 解：A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，基本事件总数 n24，A 或 B 在边上包含的基本事件个数 m20，A 或 B 在边上的概率为 p 故答案为：13为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标
19、准差分别为 s1，s2，s3，则它们的大小关系为 s1s2s3（用“”连接）【分析】第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字数据较分散，各个段内分布均匀，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端最分散，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，是集中，由此得到结果 解：根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，总上可知 s1s2
20、s3，故答案为：s1s2s3，14如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且，现有下列结论：ACBE；平面 AEF 与平面 ABCD 的交线平行于直线 EF；异面直线 AE，BF 所成的角为定值；三棱锥 ABEF 的体积为定值 其中错误结论的是 【分析】对于，由 AC平面 BDD1B1，得 ACBE；对于，由面面平行的性质定理可证得平面 AEF与平面 ABCD 的交线平行于直线 EF；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值；对于，A 到平面 BDD1B1的距离是定值，SBEF是定值，从而可得三棱锥 ABEF 的体积为定值 解：对于，
21、AC平面 BDD1B1，BE平面 BDD1B1，ACBE，故正确；对于，平面 A1B1C1D1平面 ABCD，设平面 AEF平面 ABCDl，平面 AEF平面 A1B1C1D1EF，故 lEF，故正确；对于，当点 E 在 D1处，F 为 D1B1的中点时，由 BC1AD1可知异面直线 AE，BF 所成的角是FBC1；当 E 在上底面的中心时，F 在 B1的位置，异面直线 AE，BF 所成的角是EAA1，两个角不相等，从而异面直线 AE，BF 所成的角不一定为定值，故错误；对于，A 到平面 BDD1B1的距离 dAC是定值，SBEF1是定值，三棱锥 ABEF 的体积为定值，故正确 故答案为：三、
22、解答题：本大题共 5 小题，满分 0 分。解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程.15如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，AC9，BC12，AB15，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACB1C；（2）求证：AC1平面 CDB1 【分析】（1）只需证明 AC平面 BB1C1C即可证明 ACB1C（2）连接 BC1交 B1C 于点 O，连接 OD即可得 OD/AC1从而证明 AC1/平面 CDB1 解：（1）证明：因为 AB2AC2+BC2，所以ACB90，ACBC，又 CC1底面 ABC，所以 CC1AC，CC1BCC，所以 AC平面 BB1C1C 因为 B1C平面
23、BB1C1C，所以 ACB1C（2）证明：连接 BC1交 B1C 于点 O，连接 OD 因为四边形 BB1C1C 为矩形，所以点 O 为 BC1的中点 又因为点 D 为 AB 的中点，所以 OD/AC1 因为 OD平面 CDB1，AC1平面 CDB1，所以 AC1/平面 CDB1 16据平安保险公司统计，某地车主购买车损险的概率为 0.5，购买第三者人身安全险的概率为 0.6购买两种保险相互独立，各车主间相互独立 求一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率 求一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率【分析】记 A 表示事件“购买车损险”，B 表示事件“购买第三者人身安全险”，
24、则由题意，得 A 与 B，A 与，与 B，与 都是相互独立事件，且 P（A）0.5，P（B）0.6（1）记 C 表示事件“同时购买两种保险”，则 CAB，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率（2）记 D 表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率 解：记 A 表示事件“购买车损险”，B 表示事件“购买第三者人身安全险”，则由题意，得 A 与 B，A 与，与 B，与 都是相互独立事件，且 P（A）0.5，P（B）0.6（1）记 C 表示事件“同时购买两种保险
25、”，则 CAB，所以一位车主同时购买车损险与第三者人身安全险保险的概率为：P（C）P（AB）P（A）P（B）0.50.60.3（2）记 D 表示事件“购买第三者人身安全险但不购买车损险”，则，所以一位车主购买第三者人身安全险但不购买车损险的概率：17某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100）作为样本（样本容量为 n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，已知得分在50，60），90，100的频数分别为 8，2（1）求样本容量 n 和频率分布直方图中的
26、x，y 的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数 【分析】（1）由频率分布直方图求出50，60）的频率为 0.16，根据得分在50，60），90，100的频数分别为 8，2能求出 n，y，从而能求出 x（2）由频率分布直方图能估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数 解：（1）由频率分布直方图得50，60）的频率为 0.016100.16，得分在50，60），90，100的频数分别为 8，2 50，y，x1（0.016+0.04+0.01+0.004）10100.03（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，50，70）的频率为：（0.016+0.03）100.46，70，80）的
27、频率为：0.04100.4，中位数为：71，平均数为：550.16+650.3+750.4+850.1+950.0470.6 18某市规定，高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据，按时间段75，80），80，85），85，90），90，95），95，100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示（）求抽取的 20 人中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数；（）从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率 【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进
28、而根据频数频率样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于 90 小时的学生中任意选取 2 人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 解：（）由题意可知，参加社区服务在时间段90，95）的学生人数为 200.0454（人），参加社区服务在时间段95，100的学生人数为 200.0252（人）所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+26（人）（）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A 由（）可知，参加社区服务在时间段90，95）的学生有 4 人，记为 a，b，c，d；参加社区服务在时间段95，10
29、0的学生有 2 人，记为 A，B 从这 6 人中任意选取 2 人有 ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB 共 15 种情况 事件 A 包括 ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB 共 7 种情况 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 19如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（）求证：PD平面 PBC；（）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 【分析】（）由已知 ADBC，从而DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 B
30、C 所成的角，由此能求出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值（）由 AD平面 PDC，得 ADPD，由 BCAD，得 PDBC，再由 PDPB，得到 PD平面 PBC （）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC所成的角，由 PD平面 PBC，得到DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（）如图，由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 因为 AD平面 PDC，所以 ADPD 在 RtPDA 中，由已知，得，故
31、所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 证明：（）因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 ADPD 又因为 BCAD，所以 PDBC，又 PDPB，所以 PD平面 PBC 解：（）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 由于 ADBC，DFAB，故 BFAD1，由已知，得 CFBCBF2又 ADDC，故 BCDC，在 RtDPF 中，可得 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为