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1、必考问题9不等式及线性规划问题【真题体验】1(2011南京模拟)已知Ax|1x2，Bx|x22xa0，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是_解析若A，B的交集是空集时，即x22xa0在1x2上恒成立令f(x)x22xa，因为对称轴为x1，所以yf(x)在集合A上递增，所以f(2)0即可，所以a8，所以A，B的交集不是空集时，实数a的取值范围是a8.答案8，)2(2012江苏，13)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x
2、)c，2c，即x.由得26，c9.答案93(2012江苏，14)已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，cln bacln c，则的取值范围是_解析由题意知作出可行域(如图所示)由得a，bc.此时max7.由得a，b.此时mine.所以e,7答案e,74(2010江苏，12)设实数x，y满足3xy28,49，则的最大值是_解析根据不等式的基本性质求解.216,81，22,27，的最大值是27.答案275(2012南京模拟)已知变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的取值范围是_解析约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值4，经过点(0,2)时，取得最大
3、值2，所以取值范围是4,2答案4,2【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不
4、等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.必备知识1一元二次不等式的求解步骤：一变、二求、三画、四结论2一元二次不等式恒成立的条件设f(x)ax2bxc(a0)，则ax2bxc0恒成立(解集为
5、R)yf(x)图象恒在x轴上方f(x)min0ax2bxc0恒成立(解集为R)yf(x)图象恒在x轴下方f(x)max03二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域注意：边界的虚实线必备方法1三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点2对于给定集合M和给定含参数的不等式f(x)0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M是f(x)0的解集，则由Mx|f(x)0来求；(2)若f(x)0在M上有解，则由Mx|f(x)0来求；(3)若f(x)0在M上恒成立，则
6、由Mx|f(x)0来求3简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关命题角度一一元二次不等式命题要点 简单一元二次不等式的解法；含参数的一元二次不等式的解法【例1】 解关于x的不等式ax2(2a1)x20.审题视点 听课记录审题视点 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a0，a0，a0的情况和方程ax2(2a1)x20两个根的大小进行分类求解解不等式ax2(2a1)x20，即(ax1)(x2)0.(1)当a0时，不等式可以化为(x2)0.若0a，则2，此时不等式的解集为；若a，则不等式为(x2)20，不等式的解集为
7、；若a，则2，此时不等式的解集为.(2)当a0时，不等式即x20，此时不等式的解集为(2，)(3)当a0时，不等式可以化为(x2)0.由于2，故不等式的解集为(2，)综上所述，当a0时，不等式的解集为(2，)；当a0时，不等式的解集为(2，)；当0a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为. 含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类【突破训练1】 已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.解析由题意，可得a0，且不等式等价于a(x1)0
8、.由不等式解集的特点可得a0且，故a2.答案2命题角度二含参不等式恒成立问题命题要点 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围【例2】 (2012镇江质量检测)不等式a28b2b(ab)对任意a，bR恒成立，则实数的取值范围为_审题视点 听课记录审题视点 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量解析先将不等式整理为关于a的一元二次不等式为a2ba8b2b20，对任意aR恒成立，所以2b24(8b2b2)0，即(2432)b20，对任意bR恒成立，则24320，解得84.答案84, 含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变
9、量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解【突破训练2】 已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围解原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是R，因此a2，从而有整理，得所以所以a2.故a的取值范围是(2，)命题角度三线性规划问题命题要点 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决【例3】 (2012苏锡常镇调研)设实数n6，若不等式2xm(2x)n80对任意x4,2都成立，
10、则的最小值为_审题视点 听课记录审题视点 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m，n的关系式，再利用线性规划知识解决解析因为不等式2xm(2x)n80即为(2mn)x82n，对任意x4,2都成立，所以，所以m，n满足的不等式为，所以点(m，n)对应的平面区域如图，的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以，而目标函数3，令t，则目标函数即为yt3，其导数y3t20，所以函数yt3在t上递减，故t3时取得最小值.答案, 线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值【突破训练3】 (2012南师附中模拟
11、)已知向量a(xz,1)，b(2，yz)，且ab.若x，y满足不等式组则z的取值范围是_ 解析由ab得2(xz)yz0z，作出不等式组对应的平面区域如图，当目标函数y2x3z经过点(0,1)时，z取得最小值，经过点(2,2)时，z取得最大值2，所以z2.答案9解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】 不等式(x4)0的解集是_解析当x23x40时，x40，解得x4；当x23x40，即x1或4时，原不等式也成立，所以解集是x|x4或x1答案x|x4或x1老师叮咛：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论
12、.否则，本题会出现下面的错误：因为r(x23x4)0，所以x40，解得x4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】 已知函数f(x)ax2bx1(a0)的一个零点在区间(1,2)内，则ab的取值范围是_解析因为二次函数f(x)ax2bx1(a0)开口向上，纵截距是1，一个零点在区间(1,2)内，所以a，b满足不等式组，作出点(a，b)对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值1(取不到)，即ab(1，)答案(1，)老师叮咛：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函
13、数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数，使得，则2(3)2的取值范围是_解析由两边平方得2()2()22，即为1222cos，所以cos，(1,1)，又，(0，)，所以化简即得，作出可行域如图目标函数2(3)2的几何意义是区域上的点(，)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到10的距离为，且取不到，故2(3)2的取值范围是(2，)答案(2，)老师叮咛：对目标函数2(3)2的几何意义要理解正确，表示点(0，3)到10的距离的平方，如果忘记平方，就会出现(，)的错误，所以考虑问题要细心.