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1、复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论本章本章本章本章讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定讨论单向复合材料的弹性问题，就是如何确定其线弹性本构方程。其线弹性本构方程。其线弹性本构方程。其线弹性本构方程。由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的，由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的，由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的，由前一章可知，单向复合材料是横观各向同性的，共有共有共有共有5 5 5 5 5 5
2、5 5个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果个独立的弹性常数，称为等效弹性常数，如果将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解将它们都一一确定，单层板的弹性问题也就完全解决。决。决。决。由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用由于任何一种材料的线弹性本构方程皆可用HookeHookeHookeHookeHookeHookeHookeHooke定律描述，
3、问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度定律描述，问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度定律描述，问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度定律描述，问题就转化为如何确定弹性阶段的柔度矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。4.1 4.1 引言引言引言引言引言引言引言引言 第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是第一章曾指出，单向复合材料（简称为单层板）是复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强复合材料力学研究的主要对象，因为其它纤维增强复合材料
4、可以分解成一系列单向复合材料的组合。复合材料可以分解成一系列单向复合材料的组合。复合材料可以分解成一系列单向复合材料的组合。复合材料可以分解成一系列单向复合材料的组合。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学的方法是分别针对不同的单向复合材料，的方法是分别针对不同的单向复合材料，的方法是分别针对不同的单向复合材料，的方法是分别针对不同的单向复合材料，直接进行实验测定材料的直接进行实验测定材料的直接进行实验测定材料的直接进行实验测定材料的
5、5 5 5 5 5 5 5 5个等效弹性常数。个等效弹性常数。个等效弹性常数。个等效弹性常数。解决的方法分为解决的方法分为解决的方法分为解决的方法分为宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学（MacromechanicsMacromechanicsMacromechanicsMacromechanicsMacromechanicsMacromechanicsMacromechanicsMacromechanics）与与与与细细细细观力学观力学观力学观力学（MicromechanicsMicromechanicsMicromechanicsMicromechanicsMicromechanicsMicr
6、omechanicsMicromechanicsMicromechanics）两类）两类）两类）两类 。细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学的方法则是根据组份材料（纤维和基体）的方法则是根据组份材料（纤维和基体）的方法则是根据组份材料（纤维和基体）的方法则是根据组份材料（纤维和基体）的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料的性能参数，应用细观力学理论计算得到复合材料的宏观力学性能。的宏观力学性能。的宏观力学性能。的宏观力学性能。因此，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性因此
7、，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性因此，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性因此，宏观力学的分析方法基于复合材料本身的性能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性能参数，细观力学的分析方法则基于组份材料的性能参数。能参数。能参数。能参数。细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学细观力学理论与理论与理论与理论与宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学宏观力学理论相比的优点：理论相比的优点：理论相比的优点：理论相比的优点：（1 1 1 1 1 1 1 1）只需要纤维和基
8、体的性能参数，省时、省钱；）只需要纤维和基体的性能参数，省时、省钱；）只需要纤维和基体的性能参数，省时、省钱；）只需要纤维和基体的性能参数，省时、省钱；（2 2 2 2 2 2 2 2）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实）可以通过调整组份材料以及它们的几何结构实现对复合材料力学性能的最优设计。现对复合材料力学性能的最优设计。现对复合材料力学性能的最优设计。现对复合材料力学性能的最优设计。当然，细观力学理论与宏观力学理论相比也有其不当然，细观力学理论与宏观力学理论相比也有其不当然，细观力学理论与宏观力学理论
9、相比也有其不当然，细观力学理论与宏观力学理论相比也有其不足之处：足之处：足之处：足之处：1 1 1 1 1 1 1 1）计算公式复杂，）计算公式复杂，）计算公式复杂，）计算公式复杂，2 2 2 2 2 2 2 2）分析精度一般要低）分析精度一般要低）分析精度一般要低）分析精度一般要低些。些。些。些。但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的但是，考虑到复合材料的实验数据往往具有很大的离散性，细观力学理论的计算结果尤其对弹性性能离散性，细观力学理论的计算结果尤其对弹性性能离散性，细观力学理论的计算结果尤其对
10、弹性性能离散性，细观力学理论的计算结果尤其对弹性性能的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程的计算结果一般都具有足够的精度，能够满足工程应用的要求。应用的要求。应用的要求。应用的要求。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论4.2 4.2 基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体元、均值化基本假设、特征体
11、元、均值化基本假设、特征体元、均值化 4.2.1 基本假设基本假设基本假设基本假设基本假设基本假设基本假设基本假设复合材料细观力学理论建立在复合材料细观力学理论建立在复合材料细观力学理论建立在复合材料细观力学理论建立在以下以下以下以下基本假设之上基本假设之上基本假设之上基本假设之上：（1 1 1 1 1 1 1 1）纤维均匀地分布在整个基体之中纤维均匀地分布在整个基体之中纤维均匀地分布在整个基体之中纤维均匀地分布在整个基体之中；复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论（2 2 2 2 2 2 2 2
12、）纤维纤维纤维纤维与与与与基体之基体之基体之基体之间有理想的界面结合；间有理想的界面结合；间有理想的界面结合；间有理想的界面结合；（3 3 3 3 3 3 3 3）复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。复合材料中的孔隙与气泡体积忽略不计。此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标此外，本课程中采用张量记法，整型英文字母下标如如如如i i i i i i i i、j j j j j j j j表示哑元，单下标如表示哑元，单下标如表示哑元，
13、单下标如表示哑元，单下标如 i i i i i i i i表示矢量表示矢量表示矢量表示矢量 的的的的第第第第i i i i i i i i个分个分个分个分量，双下标如量，双下标如量，双下标如量，双下标如A A A A A A A Aij ij ij ij ij ij ij ij则表示矩阵则表示矩阵则表示矩阵则表示矩阵A A A A A A A A的第的第的第的第i i i i i i i i行、第行、第行、第行、第j j j j j j j j列元素列元素列元素列元素。在空间（三维）问题中，哑元如在空间（三维）问题中，哑元如在空间（三维）问题中，哑元如在空间（三维）问题中，哑元如 i i i
14、i i i i i中中中中i i i i i i i i的变化范围为的变化范围为的变化范围为的变化范围为1 1 1 1 1 1 1 1至至至至6 6 6 6 6 6 6 6，可以取它们中的任何一个数；在平面问题，可以取它们中的任何一个数；在平面问题，可以取它们中的任何一个数；在平面问题，可以取它们中的任何一个数；在平面问题中，哑元如中，哑元如中，哑元如中，哑元如 i i i i i i i i中中中中i i i i i i i i的变化范围则是的变化范围则是的变化范围则是的变化范围则是1 1 1 1 1 1 1 1至至至至3 3 3 3 3 3 3 3。实型英文字母或阿拉伯数字下标如实型英文字
15、母或阿拉伯数字下标如实型英文字母或阿拉伯数字下标如实型英文字母或阿拉伯数字下标如 xxxxxxxxxxxxxxxx、1111111111111111表实元。表实元。表实元。表实元。4.2.2 特征体元特征体元特征体元特征体元特征体元特征体元特征体元特征体元复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论虽然材料力学的开篇假设为虽然材料力学的开篇假设为虽然材料力学的开篇假设为虽然材料力学的开篇假设为“连续、均匀连续、均匀连续、均匀连续、均匀”，但实际，但实际，但实际，但实际材料都不是均匀的，都比须在有限体积的
16、单元体上材料都不是均匀的，都比须在有限体积的单元体上材料都不是均匀的，都比须在有限体积的单元体上材料都不是均匀的，都比须在有限体积的单元体上取平均后方可定义一点的应力和应变取平均后方可定义一点的应力和应变取平均后方可定义一点的应力和应变取平均后方可定义一点的应力和应变：,1=ViidVV=1ViidVV对各向同性材料，无论单元体的体积多大，其平均对各向同性材料，无论单元体的体积多大，其平均对各向同性材料，无论单元体的体积多大，其平均对各向同性材料，无论单元体的体积多大，其平均应力与原始应力的形式一样，因此，单元体的选取应力与原始应力的形式一样，因此，单元体的选取应力与原始应力的形式一样，因此，
17、单元体的选取应力与原始应力的形式一样，因此，单元体的选取可以是任意的，只要体积足够小。可以是任意的，只要体积足够小。可以是任意的，只要体积足够小。可以是任意的，只要体积足够小。复合材料本征上是非均匀的，其单元体的选取不复合材料本征上是非均匀的，其单元体的选取不复合材料本征上是非均匀的，其单元体的选取不复合材料本征上是非均匀的，其单元体的选取不可任意，必须要能够由这些单元体的重复排列构可任意，必须要能够由这些单元体的重复排列构可任意，必须要能够由这些单元体的重复排列构可任意，必须要能够由这些单元体的重复排列构成复合材料。成复合材料。成复合材料。成复合材料。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合
18、材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论简而言之，所取的单元体内必须同时含有纤维和简而言之，所取的单元体内必须同时含有纤维和简而言之，所取的单元体内必须同时含有纤维和简而言之，所取的单元体内必须同时含有纤维和基体材料，并且单元体中的纤维含量必须要与复基体材料，并且单元体中的纤维含量必须要与复基体材料，并且单元体中的纤维含量必须要与复基体材料，并且单元体中的纤维含量必须要与复合材料的纤维含量相同。合材料的纤维含量相同。合材料的纤维含量相同。合材料的纤维含量相同。0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm纤维纤维基体基体不可如此不可如此不可如此
19、不可如此取单元体取单元体取单元体取单元体具备这一特征并且体积最小的单元体，称为复合具备这一特征并且体积最小的单元体，称为复合具备这一特征并且体积最小的单元体，称为复合具备这一特征并且体积最小的单元体，称为复合材料的特征体元（材料的特征体元（材料的特征体元（材料的特征体元（Representative Volume Representative Volume Representative Volume Representative Volume Representative Volume Representative Volume Representative Volume Representa
20、tive Volume Element,Element,Element,Element,Element,Element,Element,Element,即即即即RVERVERVERVERVERVERVERVE）。）。）。）。注意，注意，注意，注意，整个复合材料必须要能够由特征体元的重整个复合材料必须要能够由特征体元的重整个复合材料必须要能够由特征体元的重整个复合材料必须要能够由特征体元的重复叠加得到。复叠加得到。复叠加得到。复叠加得到。0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm纤维纤维基体基体单向复合材料单向复合材料单向复合材料单向复合材料特征体元特征体元特征体元特征体元4.2.3 4.2.3
21、4.2.3 4.2.3 4.2.3 4.2.3 4.2.3 4.2.3 均值化均值化均值化均值化均值化均值化均值化均值化因此，复合材料中的特征体元就相当于各向同性材因此，复合材料中的特征体元就相当于各向同性材因此，复合材料中的特征体元就相当于各向同性材因此，复合材料中的特征体元就相当于各向同性材料中的一个几何点。料中的一个几何点。料中的一个几何点。料中的一个几何点。所谓所谓所谓所谓“均值化均值化均值化均值化”，就是将特征体元上的应力和应变平，就是将特征体元上的应力和应变平，就是将特征体元上的应力和应变平，就是将特征体元上的应力和应变平均后定义为一点的应力和应变。均后定义为一点的应力和应变。均后
22、定义为一点的应力和应变。均后定义为一点的应力和应变。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论最简单的特征体元是同心圆柱，根据纤维直径与纤最简单的特征体元是同心圆柱，根据纤维直径与纤最简单的特征体元是同心圆柱，根据纤维直径与纤最简单的特征体元是同心圆柱，根据纤维直径与纤维体积含量可确定基体外圆柱的直径。维体积含量可确定基体外圆柱的直径。维体积含量可确定基体外圆柱的直径。维体积含量可确定基体外圆柱的直径。令令令令V V V V V V V V 、V V V V V V V V f f f f f f f
23、 f 、V V V V V V V V m m m mm m m m、V V V V V V V V v v v v v v v v分别表示特分别表示特分别表示特分别表示特征体元、纤维、基体、孔隙的体征体元、纤维、基体、孔隙的体征体元、纤维、基体、孔隙的体征体元、纤维、基体、孔隙的体积。对应力取平均后，得到：积。对应力取平均后，得到：积。对应力取平均后，得到：积。对应力取平均后，得到：+=fmvVVViiiViidVdVdVVdVV11+=mfVimmViffdVVVVdVVVV11mimfifVV+=（孔隙处无应力）（孔隙处无应力）（孔隙处无应力）（孔隙处无应力）复合材料力学复合材料力学复合
24、材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论+=fmvVVViiiViidVdVdVVdVV11同样，对应变取平均后，就有：同样，对应变取平均后，就有：同样，对应变取平均后，就有：同样，对应变取平均后，就有：vivmimfifVVV+=（孔隙处有应变）（孔隙处有应变）（孔隙处有应变）（孔隙处有应变）mimfifiVV+=(4.1)(4.1)(4.1)(4.1)mimfifiVV+=(4.2)(4.2)(4.2)(4.2)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理
25、论第四章、单层板弹性理论以下只讨论平均应力和平均应变，可将横杠略去。以下只讨论平均应力和平均应变，可将横杠略去。再应用基本假设再应用基本假设(3)(3)(3)(3)，得到复合材料的两个基本方程：，得到复合材料的两个基本方程：推导这两个方程时除了假定体积推导这两个方程时除了假定体积推导这两个方程时除了假定体积推导这两个方程时除了假定体积V V V V V V V V 、V V V V V V V V f f f f f f f f和和和和V V V V V V V V m m m mm m m m不变不变不变不变外，再没用其它任何假设。因此，外，再没用其它任何假设。因此，外，再没用其它任何假设。
26、因此，外，再没用其它任何假设。因此，任何复合材料任何复合材料任何复合材料任何复合材料细观力学理论模型都须满足这两个基本方程细观力学理论模型都须满足这两个基本方程细观力学理论模型都须满足这两个基本方程细观力学理论模型都须满足这两个基本方程。fjfjifiS=(4.3.1)(4.3.1)(4.3.1)(4.3.1)mjmjimiS=(4.3.2)(4.3.2)(4.3.2)(4.3.2)i i i i=S S S Sij ij ij ij j j j j (4.4)(4.4)(4.4)(4.4)其他连续介质力学控制方程相对特征体元取平均其他连续介质力学控制方程相对特征体元取平均其他连续介质力学控制
27、方程相对特征体元取平均其他连续介质力学控制方程相对特征体元取平均后皆保持不变，如后皆保持不变，如后皆保持不变，如后皆保持不变，如:4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 最大纤维体积含量最大纤维体积含量最大纤维体积含量最大纤维体积含量 纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要纤维体积含量是影响复合材料力学性能的一个重要参数，其最大值与纤维在复合材料中的排列方式有参数，其最大值与纤维在复合材料中的排列方式有参数，其最大值与纤维在复合材料中的排列方式有参数，其最大值与纤维在复合材料中
28、的排列方式有关。关。关。关。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论 ssdssd纤维纤维ssdssdssdssdssdssd纤维纤维方形方形方形方形三角形三角形三角形三角形,fjiSmjiS S S S Sij ij ij ij 和和和和分别是纤维、基体和复合材料分别是纤维、基体和复合材料分别是纤维、基体和复合材料分别是纤维、基体和复合材料的柔度矩阵。我们的目的就是根据已知的的柔度矩阵。我们的目的就是根据已知的的柔度矩阵。我们的目的就是根据已知的的柔度矩阵。我们的目的就是根据已知的 和和和和 fj
29、iSmjiS S S S Sij ij ij ij 导出导出导出导出对方形排列，总面积对方形排列，总面积对方形排列，总面积对方形排列，总面积A A A A A A A A=s s s s s s s s2 2 2 2 2 2 2 2，纤维面积纤维面积纤维面积纤维面积24dAf=复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论纤维的体积含量为：纤维的体积含量为：纤维的体积含量为：纤维的体积含量为：24/=sdAAVff最大值在最大值在s s s s=d d d d时出现：时出现：232=sdVf类似，三角形排
30、列的纤维体积含量为：类似，三角形排列的纤维体积含量为：类似，三角形排列的纤维体积含量为：类似，三角形排列的纤维体积含量为：最大值最大值 ：4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 混合率混合率混合率混合率混合率混合率混合率混合率(ROM)(ROM)(ROM)(ROM)(ROM)(ROM)(ROM)(ROM)公式公式公式公式公式公式公式公式 混合法或称为混合律混合法或称为混合律混合法或称为混合律混合法或称为混合律 (rule of mixture)(rule of mixture)(rule of mixture)(rule of mixture)(rule of mixt
31、ure)(rule of mixture)(rule of mixture)(rule of mixture)公式是复合公式是复合公式是复合公式是复合材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简材料领域广为人知、使用很久、形式可能最为简单的细观力学公式。单的细观力学公式。单的细观力学公式。单的细观力学公式。785.04/max=fV(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)(4.5)907.032max=fV(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)(4.6
32、)（1 1 1 1 1 1 1 1）施加简单外载时纤维和基体施加简单外载时纤维和基体施加简单外载时纤维和基体施加简单外载时纤维和基体中仅有相对应的内应力产中仅有相对应的内应力产中仅有相对应的内应力产中仅有相对应的内应力产生，其它应力分量为生，其它应力分量为生，其它应力分量为生，其它应力分量为0 0 0 0；4.4.1 轴向加载轴向加载轴向加载轴向加载轴向加载轴向加载轴向加载轴向加载复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论混合率公式建立在以下的三个混合率公式建立在以下的三个混合率公式建立在以下的三个混
33、合率公式建立在以下的三个假设之上：假设之上：假设之上：假设之上：（2 2 2 2 2 2 2 2）轴向外力下纤维和基体中轴轴向外力下纤维和基体中轴轴向外力下纤维和基体中轴轴向外力下纤维和基体中轴向应变相同；向应变相同；向应变相同；向应变相同；（3 3 3 3 3 3 3 3）其他简单）其他简单）其他简单）其他简单外力下纤维和基体中的内应力相等。外力下纤维和基体中的内应力相等。外力下纤维和基体中的内应力相等。外力下纤维和基体中的内应力相等。仅仅沿特征体元的轴向加单向应力仅仅沿特征体元的轴向加单向应力仅仅沿特征体元的轴向加单向应力仅仅沿特征体元的轴向加单向应力 xxxxxxxxxxxxxxxx。根
34、据假设根据假设根据假设根据假设（1 1 1 1 1 1 1 1）、（）、（）、（）、（2 2 2 2 2 2 2 2）和加载条件，有：）和加载条件，有：）和加载条件，有：）和加载条件，有：0=myyfyyyy0=mxyfxyxy0=mxxfxxxxxxmxxmfxxfmxxmxxmfxxfxxfmxxmfxxfxxxxxxEVEVEVEVVVE)(+=+=+=应用关于轴向应力的基本方程，得到：应用关于轴向应力的基本方程，得到：应用关于轴向应力的基本方程，得到：应用关于轴向应力的基本方程，得到：即即即即,mxxmfxxfxxEVEVE+=(4.7)(4.7)(4.7)(4.7)xxmxymfxy
35、fmxxmxymfxxfxyfmyymfyyfxxxyyyVVVVVV)()()(+=+=+=再根据横向应变基本方程，导出：再根据横向应变基本方程，导出：再根据横向应变基本方程，导出：再根据横向应变基本方程，导出：从而，从而，从而，从而，mxymfxyfxyVV+=(4.8)(4.8)(4.8)(4.8)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论4.4.2 横向加载横向加载横向加载横向加载横向加载横向加载横向加载横向加载此时，仅沿此时，仅沿此时，仅沿此时，仅沿y y y y y y y y方向施加单一
36、应力方向施加单一应力方向施加单一应力方向施加单一应力 yyyyyyyyyyyyyyyy。根据假设（根据假设（根据假设（根据假设（1 1 1 1 1 1 1 1）和）和）和）和（3 3 3 3 3 3 3 3），有：，有：，有：，有：0=mxxfxxxx0=myyfyyyy0=mxyfxyxyyymmffmmyymffyyfmyymfyyfyyyyyyEVEVEVEVVVE+=+=+=)()(利用横向应变方程，导出：利用横向应变方程，导出：利用横向应变方程，导出：利用横向应变方程，导出：即即即即,mmffyyEVEVE+=1(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)(
37、4.9)4.3.3 面内剪应力面内剪应力面内剪应力面内剪应力面内剪应力面内剪应力面内剪应力面内剪应力该加载条件类似横向受力，该加载条件类似横向受力，该加载条件类似横向受力，该加载条件类似横向受力，复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论0=mxxfxxxx0=myyfyyyy0=mxyfxyxyxymmffmmxymffxyfmxymfxyfxyxyxyGVGVGVGVVVG+=+=+=)()(根据加载条件和基本假设，有：根据加载条件和基本假设，有：根据加载条件和基本假设，有：根据加载条件和基本假设
38、，有：mmffxyGVGVG+=1(4.10)(4.10)(4.10)(4.10)(4.10)(4.10)(4.10)(4.10)得到：得到：得到：得到：4.4.4 混合法公式混合法公式混合法公式混合法公式混合法公式混合法公式混合法公式混合法公式 mmffEVEVE+=1111(4.11.1)(4.11.1)(4.11.1)(4.11.1)mmffVV+=1212(4.11.2)(4.11.2)(4.11.2)(4.11.2)/1(12222fmfmEEVEE=(4.11.3)(4.11.3)(4.11.3)(4.11.3)复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论
39、第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论(4.11.4)(4.11.4)(4.11.4)(4.11.4)/1(11212fmfmGGVGG=(4.11.5)(4.11.5)(4.11.5)(4.11.5)/1(12323fmfmGGVGG=例例例例例例例例4.14.14.14.14.14.14.14.1：CF/CF/CF/CF/CF/CF/CF/CF/环氧单向复合材料环氧单向复合材料环氧单向复合材料环氧单向复合材料,V V V V V V V Vf f f f f f f f=0.6,=0.6,=0.6,=0.6,=0.6,=0.6,=0.6,=0.6,组成材料性能参
40、组成材料性能参组成材料性能参组成材料性能参数见下表，求等效弹性常数。数见下表，求等效弹性常数。数见下表，求等效弹性常数。数见下表，求等效弹性常数。2.542.940.3026.73125.6单层板单层板单层板单层板1.31.30.353.53.5基体基体基体基体718.50.2717.5207纤维纤维纤维纤维G G G GG G G G2323232323232323(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)G G G GG G G G1212121212121212(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)12121
41、21212121212E E E E E E E E2222222222222222(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)E E E E E E E E1111111111111111(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)(GPa)材料材料材料材料解：解：解：解：（1 1 1 1 1 1 1 1）E E E E E E E E1111111111111111=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)
42、(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)=(0.6)(207)+(0.4)(3.5)=125.6(GPa)（2 2 2 2 2 2 2 2）1212121212121212=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0
43、.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302=(0.6)(0.27)+(0.4)(0.35)=0.302（3 3 3 3 3 3 3 3）E E E E E E E E2222222222222222=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3
44、.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)=3.5/1-0.6(1-3.5/17.5)=6.73(GPa)（4 4 4 4 4 4 4 4）G G G G G G G G1212121212121212=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GP
45、a)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/18.5)=2.94(GPa)（5 5 5 5 5 5 5 5）G G G G G G G G2323232323232323=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.
46、3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)=1.3/1-0.6(1-1.3/7)=2.54(GPa)虽然虽然虽然虽然ROMROMROMROMROMROMROMROM公式简单，且对公式简单，且对公式简单，且对公式简单，且对E E E E E E E E1111111111111111和和和和 1212121212121212的计算精度较高，但的计算精度较高，但的计算精度较高，但的计算精度较高，但对对对对E E E
47、E E E E E2222222222222222、G G G G G G G G1212121212121212和和和和G G G G G G G G2323232323232323的计算值与实验值相比偏低。的计算值与实验值相比偏低。的计算值与实验值相比偏低。的计算值与实验值相比偏低。许多其他细观力学模型，主要目的在于改进许多其他细观力学模型，主要目的在于改进许多其他细观力学模型，主要目的在于改进许多其他细观力学模型，主要目的在于改进E E E E E E E E2222222222222222、G G G G G G G G1212121212121212 和和和和G G G G G G
48、G G2323232323232323的预报精度。的预报精度。的预报精度。的预报精度。复合材料力学复合材料力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论4.5 Chamis模型公式模型公式模型公式模型公式模型公式模型公式模型公式模型公式 他们认为，他们认为，他们认为，他们认为，ROMROMROMROMROMROMROMROM公式对公式对公式对公式对E E E E E E E E2222222222222222、G G G G G G G G1212121212121212和和和和G G G G G G G G23232323
49、23232323的计算精的计算精的计算精的计算精度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何度偏低可能是因为没有考虑不同的纤维排列几何形状的影响。形状的影响。形状的影响。形状的影响。0.5mm0.5mm0.5mm0.5mm纤维纤维基体基体单向复合材料单向复合材料单向复合材料单向复合材料理想的纤维排列几何形状理想的纤维排列几何形状理想的纤维排列几何形状理想的纤维排列几何形状方形方形方形方形 三角形三角形三角形三角形 4.5.1 Hopkins和和和和Chamis公式公式公式公式公式公式公式公式 复合材料力学复合材料
50、力学复合材料力学复合材料力学第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论第四章、单层板弹性理论(a)(a)(a)(a)(b)(b)(b)(b)(c)(c)(c)(c)考虑方形排列，将考虑方形排列，将考虑方形排列，将考虑方形排列，将纤维直径用一个等纤维直径用一个等纤维直径用一个等纤维直径用一个等效的方形面积代效的方形面积代效的方形面积代效的方形面积代替，有：替，有：替，有：替，有：dsf4/=根据条件根据条件根据条件根据条件V V V V V V V Vf f f f f f f f=A A A A A A A Af f f f f f f f/A A A A A A A