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1、第 1 页 共 10 页绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液
2、、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则 AB= |1Ax x |2Bx xA(1，+)B(，2)C(1，2)D2设 z=i(2+i)，则=zA1+2iB1+2iC12iD12i3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|=第 2 页 共 10 页AB22C5D5024生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2只测量过该指标的概率为AB2 33 5CD2 51 55在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲
3、：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=，则当 x0)两个相邻的极值点，则=4 4sinxA2B3 2C1D1 29若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则 p=22 13xy ppA2B3C4D810曲线 y=2sinx+cosx 在点(，1)处的切线方程为AB 10xy 2210xy CD2210xy 10xy 11已知 a（0，），2sin2=cos2+1，则 sin= 2AB
4、1 55 5CD3 32 5 512设F 为双曲线 C：（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆22221xy ab与圆 x2+y2=a2交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为AB23第 4 页 共 10 页C2D5二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若变量 x，y 满足约束条件则 z=3xy 的最大值是_.2360 30 20xy xy y ， ， ，14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则
5、经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.15的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsinA+acosB=0，则 B=_.ABC16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1.第 5 页 共 10 页（1）证明：BE平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积11EBBC C18（12 分）已知是各项均为正数的等比数列，.na1322,216aaa（1）求的通项公式；na（2）设，求数列的前 n 项和.2lognnbanb19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机
7、调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.的分组y0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到 0.01）附：.748.602第 6 页 共 10 页20（12 分）已知是椭圆的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点12,F F2222:1(0)xyCabab（1）若为等边三角形，求 C 的
8、离心率；2POF（2)如果存在点 P，使得，且的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.12PFPF12FPF21.（12 分）已知函数.证明：( )(1)ln1f xxxx（1）存在唯一的极值点；( )f x（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.( )=0f x（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线 l 过点且与000(,)(0)M :4sinC(4,0)A垂直，垂足为 P.OM（1）当时，求及 l 的极坐标方程；0=30（2）当
9、M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ( ) |2|().f xxa xxxa（1）当时，求不等式的解集；1a ( )0f x （2）若时，求的取值范围.(,1)x ( )0f x a第 7 页 共 10 页参考答案参考答案1C2D3A4B5A6D7B8A9D10C11B12A139140.9815163 42117解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故.11BCBE又，所以 BE平面.1BEEC11EBC（2）由（1）知BEB1=90.由题设知 RtABERtA1B1E，所以
10、，故1145AEBAEB AE=AB=3，.126AAAE作，垂足为 F，则 EF平面，且.1EFBB11BBC C3EFAB所以，四棱锥的体积. 11EBBC C13 6 3183V 18解：（1）设的公比为q，由题设得 na，即.22416qq2280qq解得（舍去）或q=4.2q 第 8 页 共 10 页因此的通项公式为. na1212 42nn na（2）由（1）得，因此数列的前n项和为.2(21)log 221nbnn nb1 321nn 19.解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为.1470.21100产值负增长的企业频率为.
11、20.02100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.（2），1( 0.10 20.10 240.30 530.50 140.70 7)0.30100y 52211 100ii isnyy222221( 0.40)2( 0.20)240530.20140.407100 ，=0.0296，0.02960.02740.17s 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.20.解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，1PF2POF12FPF1290FPF2PFc，于是，故的离心率是.13PFc122( 3
12、1)aPFPFcC31cea（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当，( , )P x y1| 2162yc1yy xc xc ，即，22221xy ab| |16cy ，222xyc第 9 页 共 10 页，22221xy ab由及得，又由知，故.222abc4 2 2byc2 2 216yc4b 由得，所以，从而故.2 222 2axcbc22cb2222232,abcb4 2a 当，时，存在满足条件的点P.4b 4 2a 所以，的取值范围为.4b a4 2,)21.解：（1）的定义域为（0，+）.( )f x.11( )ln1lnxfxxxxx 因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又
13、，lnyx1yx( )fx(1)10f ，故存在唯一，使得.1ln4 1(2)ln2022f0(1,2)x 00fx又当时，单调递减；当时，单调递增.0xx( )0fx( )f x0xx( )0fx( )f x因此，存在唯一的极值点.( )f x（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一 0(1)2f xf 22ee30f( )0f x 0,x 根.x由得.01x011x 又，故是在的唯一根.1111( )1 ln10ff 1 ( )0f x 00,x综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.( )0f x 第 10 页 共 10 页22解：（1）因为在C上，当时，.00,M 0304sin2
14、33由已知得.| |cos23OPOA设为l上除P的任意一点.在中，( , )Q RtOPQcos| 23OP经检验，点在曲线上.(2,)3Pcos23所以，l的极坐标方程为.cos23（2）设，在中， 即.( , )P RtOAP| |cos4cos ,OPOA 4cos因为P在线段OM上，且，故的取值范围是.APOM,4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为 .4cos ,4 223解：（1）当 a=1 时，.( )=|1| +|2|(1)f xxxxx当时，；当时，.1x 2( )2(1)0f xx 1x ( )0f x 所以，不等式的解集为.( )0f x (,1)（2）因为，所以.( )=0f a1a 当，时，.1a (,1)x ( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x所以，的取值范围是.a1,)