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1、2022-2023 学年高三上数学期末模拟试卷注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3. 考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x + y - 2 0-y - 21. 已知实数 x ， y 满足约束条件x2 y20 ，则目标函数 z =的最小值为A - 23C - 43x 1B - 54D - 12x +12. 某学校调查了 20
2、0 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5，30，样本数据分组为 17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56B60C140D1203已知全集U = Z, A = 1,2,3,4 , B = x (x +1)(x - 3) 0, x Z，则集合 A (CB)的子集个数为（ ）UA 2B 4C 8D164. 连接双曲线C : x21a2- y2 b2= 1及C : y22b2- x2a2= 1 的 4 个
3、顶点的四边形面积为 S1，连接 4 个焦点的四边形的面积为S2，S则 当 1S2取得最大值时，双曲线C1的离心率为（）A. 5 232B. C 3D 225. 已知 m, n 是两条不重合的直线，a, b 是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若 ma ， mb ， na ， nb ，则abB若 mn ， m a ， n b ，则abC若 m n ， m a ， n b ，则a bD若 m n ， ma ， n b ，则a b6. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（）A1B 2C. 3D 47. 甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，
4、甲说：“我没抓到.”乙 说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到.已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定 值班的人是（）A甲B乙C丙D丁8. 设函数 g (x) = ex + (1-e )x - a（ a R ，e 为自然对数的底数）,定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (- x) + f (x) = x2，且当 x 0 时，f (x) 0,b 0)，则2此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A 17 p4B 21p4C 4pD 5p10. 以下四个命题：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近 1；在回归分析中，可用相关指数 R2 的值判断拟合效
5、果， R2 越小，模型的拟合效果越好； 若数据 x , x, x , x的方差为 1，则123n2x +1,2x+1,2x+1, 2x+1的方差为 4；已知一组具有线性相关关系的数据(x , y),(x , y),(x , y)，其线123n11221010性回归方程 y = bx + a ，则“ (x , y)满足线性回归方程 y = bx + a ”是“ x+ xx=12+ + x10y + y+，y=12y10 ”00010010的充要条件；其中真命题的个数为()A4B3C2D111. 设实数A1满足条件B2则C3的最大值为（）D412. 已知实数集R ，集合 A = x |1 x 3，
6、集合 B = x | y =1 ，则 A (Cx - 2 B)= （）RAx |1 x 2Bx |1 x 3Cx | 2 x 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。Dx |1 x 213. 已知抛物线C : y2= 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率为 1 的直线l 交抛物线C 于 M , N 两点， b =MF + NF，201251125若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为a ，则a-b 的值为. 14若 x5=a +a (x-2)+a (x-2)2+a (x-2)5，则 a =，a +a +a = x + 2, x -1f (x) =x2 - 5
7、, -1 x 0)，且 f (x) 0 的解集为x -3 x 7.（1） 求实数a ， b 的值；（2） 若 f (x)的图像与直线 x = 0 及 y = m(m 3)围成的四边形的面积不小于 14，求实数 m 取值范围.参考答案一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数 z =合即可得到 z 的最小值y - 2 的几何意义为动点M (x, y )到定点 D(-1,2)的斜率，利用数形结x +1【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数 z = y - 2 的几
8、何意义为动点 M (x, y )到定点 D(-1,2)的斜率，x +11 - 1 - 2当 M 位于 A1,- 2 时，此时 DA 的斜率最小，此时 z=2= - 5 故选 Bmin1 + 14【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键 2、C【解析】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5 小时的频率为(0.16+ 0.08+ 0.04) 2.5 = 0.7 ，故自习时间不少于22.5 小时的频率为0.7 200 = 140 ，故选 C.考点：频率分布直方图及其应用3、C【解析】先求 B.再求CB ，求得 A (CB)
9、则子集个数可求UU【详解】由题CB = x (x +1)(x - 3) 0, x Z= x -1 x 3, x Z= = -1,0,1,2,3, 则集合 A (CB)= 1,2,3,故UU其子集个数为23 = 8 故选 C【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 4、D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得S1 取得最大值时有a = b ，从而求得其离心率.S2【详解】双曲线x2 - y2 a2b2= 1 与y2 - x2 b2a2= 1互为共轭双曲线
10、，四个顶点的坐标为(a,0),(0,b) ，四个焦点的坐标为(c,0),(0, c) ，四个顶点形成的四边形的面积 S1= 1 2a 2b = 2ab ，2四个焦点连线形成的四边形的面积S2= 2c 2c = 2c2 ，12S2ababab1，所以 S12S=2c2=a2 + b22ab22c当 S12取得最大值时有a = b ， c =2a ，离心率e =，a故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.5、B【解析】根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】
11、A 选项，若 ma ， mb ， na ， nb ，则ab 或a 与 b 相交；故 A 错；B 选项，若 mn ， m a ，则n a ，又n b ， a, b 是两个不重合的平面，则ab ，故 B 正确；b 或aC 选项，若m n ， m a ，则n a 或na 或n 与a 相交，又n b ，a, b 是两个不重合的平面，则a 与 b 相交；故 C 错；D 选项，若 m n ，ma ，则n a 或 na 或n 与a 相交，又 n b ，a, b 是两个不重合的平面，则ab 或a 与b 相交；故 D 错； 故选 B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属
12、于常考题型. 6、B【解析】列出循环的每一步，进而可求得输出的n 值.【详解】根据程序框图，执行循环前： a = 0 ， b = 0 ， n = 0 ，执行第一次循环时： a = 1， b = 2 ，所以： 92 + 82 40 不成立 继续进行循环，当 a = 4 ， b = 8 时， 62 + 22 = 40 成立， n = 1 ，由于 a 5 不成立，执行下一次循环，a = 5 ， b = 10 ， 52 + 02 40 成立， n = 2 ， a 5 成立，输出的n 的值为2 .故选：B【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属
13、于基础题型 7、A【解析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.8、D【解析】先构造函数T (x )= f (x )- 1 x2 ，由题意判断出函数T (x)的奇偶性，再对函数T (x)求导，判断
14、其单调性，进而可求2出结果.【详解】构造函数T (x )= f (x)- 1 x2 ，2因 为 f (-x)+ f (x)= x2 ，所以T (x)+ T (-x )= f (x )- 1 x2 + f (-x )- 1 (-x )222= f (x )+ f (-x )- x2 = 0 ，所以T (x)为奇函数，当 x 0 时， T (x)= f (x)- x 0 ， - ae 0 0 ，e e 所以要使h(x)在 x 1时有一个零点，2只需使 h 1 =e - 122e - a 0 ，解得a e ，2e所以 a 的取值范围为 2 , + ，故选 D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题
15、，难度较大. 9、B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD - A B C D的四个顶点，即为三棱锥A - CB D ，且长方体 ABCD - A B C D的长、宽、高分别为2, a, b ，1111111111此三棱锥的外接球即为长方体 ABCD - A B C D的外接球，1111且球半径为 R =，22 + a2 + b24 + a2 + b2224 + a2 + b22()21p三棱锥外接球表面积为4
16、p = p 4 + a2 + b2= 5p (a -1)2 +，24当且仅当 a = 1， b = 1 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为 21p 24故选 B【点睛】（1） 解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一 圆面起衬托作用（2） 长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑 通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题10、C【解析】根据线性相关性与r 的关系进行判断,根据相关指数 R2 的值的性质进行判断,根据方差关系进行判断,根据点 x , y00可进行判
17、断.【详解】满足回归直线方程，但点 x , y00不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1,故正确;用相关指数 R2 的值判断模型的拟合效果, R2 越大,模型的拟合效果越好,故错误;若统计数据 x , x, x , x的方差为 1,则 2x+1,2x+1,2x+1, 2x+1的方差为22 = 4 ,故正确;123n123n因为点 x , y00满足回归直线方程，但点 x , y00不一定就是这一组数据的中心点，即 x=0x + x12+ + x10 ，10y + y+yx + x+ + xy=1201010
18、不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当x=1201010 ， y=010时 ， 点 x , y00必满足线性回归方程 y = bx + a ；因此“x , y00满足线性回归方程 y = bx + a ”是“ x=x + x12+ + x10y + y+， y=12y10 ”必要不充分条件.故 错误; 所以正确的命题有.010故选：C.【点睛】010y + y+12y10本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 11、C【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详
19、解】如图所示：画出可行域和目标函数，即， 表示直线在 轴的截距加上 1，根据图像知，当时，且时，有最大值为 .故选： .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 12、A【解析】Rx - 2 0 可得集合 B ,求出补集CB ,再求出 A (CB)即可.R【详解】由 x - 2 0 ,得 x 2 ,即 B = (2, +) ,所以C B = (-,2 ,R所以 A (C 故选:A【点睛】B)= (1,2 .R本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、1【解析】设 M (x , y), N (x , y)，写
20、出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得 x + x，由抛物线定义得焦点弦长，求112212得b ，再写出 MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论【详解】抛物线C : y2= 4x 的焦点坐标为(1,0 )，直线l 的方程为 y = x -1，据 y = x -1得 x2 - 6x +1 = 0 .设 M (x , y), N (x , y )， y2 = 4x1122则 x + x= 6, y + y= 4,b = 1 (x +1+ x+1)= 4 .MF + NF12122212线段 MN 垂直平分线方程为 y - 2 = -1(x - 3)，令 y = 0，则 x = 5 ，所以
21、a = 5 ， 所以 a - b = 1.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键 14、80211【解析】由 x5= 2 + (x - 2)5 ，利用二项式定理即可得a，分别令 x = 3 、 x = 2 后，作差即可得a + a+ + a .1125【详解】由题意 x5= 2 + (x - 2)5 ，则a = C1 2415= 80 ，令 x = 3 ，得 a0+ a + a12+ + a5= 35= 243 ，令 x = 2 ，得a= 250= 32 ，故 a + a12+ + a5= 243 - 32 = 211.故答案为：80，211.
22、【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题. 15、 -1【解析】先求 f (4)，再根据 f (4)的范围求出 f f (4) 即可.【详解】由题可知 f (4)= log 4 = 2 ，2故 f f (4) = f (2)= 22 - 5 = -1.故答案为： -1.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.16、2 a327【解析】由题意容积V = (a - 2x)2 x ，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积V = (a - 2x)2 x ， 0 x 0, x (0, a );V 0 x ( a , a )662a2则 x =为 V 在定义域内唯一
23、的极大值点也是最大值点，此时V6max=a3 .27故答案为：2 a327【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。117、（1）见解析（2） .3【解析】（1） AC 与平面 BDC 垂直，过点 E 作与平面 BDC平行的平面即可111（2） 建立空间直角坐标系求线面角正弦值【详解】解：（1）截面如下图所示：其中 F ， G ， H ， I ， J 分别为边C D， DD， AD ， AB ， BB的中点，则 AC 垂直于平面 EFGHIJ .11111（2）建立如图所
24、示的空间直角坐标系，则 B (2,2,0 )，D (0,0,2 ) ，H (1,0,0 )，I (2,1,0)，G (0,0,1)，所以 BD= (-2, -2,2 )，HI = (1,1,0)，HG = (-1,0,1).11-x + z = 0设平面 EFGHIJ 的一个法向量为n = (x, y, z )，则x + y = 0.不妨取 n = (1,-1,1)，则cosBD , n=2= 1 ，所以 BD111与该平面所成角的正弦值为323 33.（若将 AC 作为该平面法向量，需证明 AC 与该平面垂直）11【点睛】考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.18、（1） - p+ k
25、p, p + kp , k Z ；（2） 1637【解析】（1）化简得到 f (x )= 2sin 2x - p ，取 - p+ 2kp 2xpp2kp, k Z ，解得答案.62-+62（2） f (B )= 2si n 2B - p = 2 ，解得 B = p，根据余弦定理得到b = 7 ，再用一次余弦定理解得答案.63【详解】（1） f (x )= 23 sin x cos x - 2cos 2 x +1 =3 sin 2x - cos 2x = 2sin 2x - p .ppp6xpp pp 取 -+ 2kp 2x -26+ 2kp, k Z ，解得2 - 6 + k,+ k3 , k
26、 Z .（2） f (B )= 2si n 2B - p = 2 ,6B (0,p ), 2B - p - p11p ,2BppB =因为6 ， 故66-=，.p623根据余弦定理： b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 49 ， b = 7 .b2 + c2 - a252 + 72 - 821cos A =.2bc2 5 77【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19、（1） a = 1 ；（2） ( -，2【解析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求
27、出2f (x)+ x - a 的最小值，把不等式 f (x) = 1+【详解】（1）不等式 f (x) 2x -1 ，即 x + a 2x -1sin( x +p4) 化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可两边平方整理得3x2 -(2a + 4)x +1- a2 0由题意知0 和2 是方程3x2 -(2a + 4)x +1- a2= 0 的两个实数根0 + 2 =2a + 43即 ，解得a = 10 2 = 1- a23（2）因为 f (x)+ x - a = x + a + x - a (x + a )- (x - a ) = 2 a所以要使不等式 f (x) = 1+sin( x +2
28、p4) 恒成立，只需2 a 3a - 2当 a 0 时， 2a 3a - 2 ，解得a 2 ，即0 a 2 ；当 a 0 时， -2a 3a - 2 ，解得a 综上所述， a 的取值范围是( -,2 【点睛】2，即 a 0 ；5本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题20、（1）最小正周期为p ，单调递增区间为 kp - p, kp + p (k Z )；（2）.2336 3【解析】（1） 利用三角恒等变换思想化简函数 y = f(x)的解析式为 f(x )= 2sin 2x + p ，利用正弦型函数的周期公式可求6得函数 y = f (x)的最小正周期，解不
29、等式2kp - p2 2x + p6 2kp + p2(k Z )可求得该函数的单调递增区间；（2） 由 f (C)= 1求得C = p3，由sin C + sin(B - A)= 2sin 2A 得出 A = p2或b = 2a ，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得DABC 的面积.【详解】（1） f (x )= 23 sin x cos x + cos2 x - sin 2 x =3 sin 2x + cos 2x = 2sin 2x + p ，6所以，函数 y = f (x)的最小正周期为T = 2p = p ，2ppppp ()kpp ()由 2k-
30、2x +2 2k6+ k Z得2p - x kp +36k Z ，因此，函数 y = f (x)的单调递增区间为 kp - p, kp + p (k Z )；36 （2） 由f (C)= 1，得 2sin 2C + p = 1 ，2C + p = p + 2kp 或 2C + p = 5p+ 2kp ，C = kp 或66666C = p3+ kp (k Z )，C (0,p )，C = p ，3又 sin C + sin(B - A)= sin(B + A)+ sin(B - A)= 2sin B cos A ，2sin B cos A = 2sin 2A，即sin B cos A = 2s
31、in Acos A .当cos A = 0 时，即 A = p，则由C = p， c = 2 ，得a =c= 43，则b =1 a = 23，此时， DABC 的面积23为 S= 1 bc = 23 ；sin C323DABC23当cos A 0 时，则sin B = 2sin A ，即b = 2a ，则由cos C =a2 + b2 - c2= 1 ，解得a =23 ， b =43 ， S= 1 ab sin C = 23 .2ab233DABC23综上， DABC 的面积为 S【点睛】= 23 .ABC3本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.21、（1）（2）【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求 的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为 ，于是可以求出 的值