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1、 全国高考数学试题及答案江苏卷 The document was prepared on January 2,2021 2016 年江苏数学高考试题 数学试题 参考公式 圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.圆锥的体积公式：V圆锥 13Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合 1,2,3,6,|23,ABxx 则=AB_.2.复数(12i)(3i),z 其中 i 为虚数单位，则z的实部是_.3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173xy的焦距是_.4.已知一组数据,
2、，则该组数据的方差是_.5.函数y=23 2xx-的定义域是 .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 .8.已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=-3，S5=10，则a9的值是 .9.定义在区间0,3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆22221()xyabab 0 的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFC,则该椭圆的离心率是 .
3、(第 10 题)11.设f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1)上，,10,()2,01,5xaxf xxx 其中.aR 若59()()22ff，则f（5a）的值是 .12.已知实数x，y满足240220330 xyxyxy，则x2+y2的取值范围是 .13.如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BC CA，1BF CF ，则BE CE 的值是 .14.在锐角三角形ABC中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC的最小值是 .二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
4、明过程或演算步骤.）15.（本小题满分 14 分）在ABC中，AC=6，4cos.54BC，（1）求AB的长；（2）求cos(6A)的值.16.(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且11B DAF，1111ACAB.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.17.（本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111PABC D，下部分的形状是正四棱柱1111ABCDA BC D(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO是正四棱锥的高1PO的四倍.(1)
5、若16 m,2 m,ABPO则仓库的容积是多少(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当1PO为多少时，仓库的容积最大 18.（本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600 xyxy及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6 上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t的取值范围。19.（本小题满分 16 分）已知函数()(0,0,1,1)xxf xababab.（1）设a=
6、2,b=12.求方程()f x=2 的根;若对任意xR,不等式(2)f()6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（2）若01,1ab，函数 2g xf x有且只有 1 个零点，求ab的值.20.（本小题满分 16 分）记1,2,100U，.对数列*nanN和U的子集 T，若T ,定义0TS;若12,kTt tt，定义12+kTtttSaaa.例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为 3 的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.(1)求数列 na的通项公式；(2)对任意正整数1100kk，若1,2,kT，求证：1TkSa；（3）设,CDCU DU SS,求证：2CC
7、DDSSS.数学（附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A【选修 41 几何证明选讲】（本小题满分 10 分）如图，在ABC中，ABC=90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDC=ABD.B.【选修 42：矩阵与变换】（本小题满分 10 分）已知矩阵12,02A 矩阵B的逆矩阵111=202B，求矩阵AB.C.【选修 44：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为11232xtyt （t为参数），椭圆
8、C的参数方程为cos,2sinxy（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.D.设a0，|x-1|3a，|y-2|3a，求证：|2x+y-4|a.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线 C：y2=2px(p0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；求p的取值范围.
9、23.（本小题满分 10 分）（1）求346747CC 的值；（2）设m，nN*，nm，求证：（m+1）Cmm+（m+2）+1Cmm+（m+3）+2Cmm+n1Cmn+（n+1）Cmn=（m+1）+2+2Cmn.参考答案 1.1,2 3.2 10 3,1 7.5.6.10.63 11.25 12.4,135 13.78.15.解（1）因为4cos,0,5BB所以2243sin1cos1(),55BB 由正弦定理知sinsinACABBC，所以26sin25 2.3sin5ACCABB（2）在三角形 ABC 中ABC，所以().ABC 于是cosAcos(B C)cos()coscossinsi
10、n,444BBB 又43cos,sin,55BB，故42322cos525210A 因为0A，所以27 2sin1cos10AA 因此237 217 26cos()coscossinsin.66610210220AAA 16.证明：（1）在直三棱柱111ABCABC中，11/ACAC 在三角形ABC中，因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点.所以/DEAC，于是11/DEAC 又因为DE平面1111,AC F AC 平面11AC F 所以直线DE11AC F111ABCA BC1111AA 平面A B C11AC 111A B C111AA A C111111111111111,ACA BA
11、AABB A A BABB A A BAAA，平面平面11AC 11ABB A1B D 11ABB A111ACB D1111111111111C F,C F,B DAACAA FAACA FAF，平面平面111C FB DA 平面11B DB DE 平面1B DE平面11.AC F 平面小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 14 分.解：（1）由 PO1=2 知 OO1=4PO1=8.因为 A1B1=AB=6，所以正四棱锥 P-A1B1C1D1的体积 22311111=6224;33VABPOm
12、柱 正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的体积 2231=68288.VABOOm 柱 所以仓库的容积 V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.(2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m)，则 0h6,OO1=4h.连结 O1B1.因为在11RT PO B中，222111OBPOPB，所以222362ah，即222 36.ah 于是仓库的容积222311326436,06333VVVahaha hhhh锥柱，从而222636326 123Vhh.令0V，得2 3h 或2 3h （舍）.当02 3h时，0V ，V 是单调增函数；当2 36h时，0V，V 是单调减函数.故2 3h 时，V
13、取得极大值，也是最大值.因此，当12 3PO 时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分 16 分.解：圆 M 的标准方程为226725xy，所以圆心 M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线 x=6 上，可设06,Ny.因为 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以007y，于是圆 N 的半径为0y，从而0075yy，解得01y.因此，圆 N 的标准方程为22611xy.(2)因为直线 l|OA，所以直线 l 的斜率为40220.设直线 l 的方程为 y=2x+m，即
14、2x-y+m=0，则圆心 M 到直线 l 的距离 2 675.55mmd 因为22242 5,BCOA 而222,2BCMCd 所以252555m，解得 m=5 或 m=-15.故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.(3)设1122,Q,.P x yxy 因为2,4,0,AT tTATPTQ,所以212124xxtyy 因为点 Q 在圆 M 上，所以22226725.xy.将代入，得22114325xty.于是点11,P x y既在圆 M 上，又在圆224325xty上，从而圆226725xy与圆224325xty没有公共点，所以2255463755,t 解得22 2
15、122 21t.因此，实数t的取值范围是22 21,22 21.19（1）因为12,2ab，所以()22xxf x.方程()2f x，即222xx，亦即2(2)2210 xx ，所以2(21)0 x，于是21x，解得0 x.由条件知2222(2)22(22)2()2xxxxfxf x.因为(2)()6fxmf x对于xR恒成立，且()0f x，所以2()4()f xmf x对于xR恒成立.而2()444()2()4()()()f xf xf xf xf xf x，且2(0)44(0)ff，所以4m，故实数m的最大值为 4.（2）因为函数()()2g xf x只有 1 个零点，而00(0)(0)
16、220gfab，所以 0 是函数()g x的唯一零点.因为()lnlnxxg xaabb，又由01,1ab知ln0,ln0ab，所以()0g x 有唯一解0lnlog()lnbaaxb.令()()h xg x，则22()(lnln)(ln)(ln)xxxxh xaabbaabb，从而对任意xR，()0h x，所以()()g xh x是(,)上的单调增函数，于是当0(,)xx，0()()0g xg x；当0(,)xx时，0()()0g xg x.因而函数()g x在0(,)x上是单调减函数，在0(,)x 上是单调增函数.下证00 x.若00 x，则0002xx，于是0()(0)02xgg，又lo
17、g 2log 2log 2(log 2)220aaaagaba，且函数()g x在以02x和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x和log 2a之间存在()g x的零点，记为1x.因为01a，所以log 20a，又002x，所以10 x 与“0 是函数()g x的唯一零点”矛盾.若00 x，同理可得，在02x和log 2a之间存在()g x的非 0 的零点，矛盾.因此，00 x.于是ln1lnab，故lnln0ab，所以1ab.20（1）由已知得1*13,nnaanN.于是当2,4T 时，2411132730rSaaaaa.又30rS，故13030a，即11a.所以数列na的通
18、项公式为1*3,nnanN.（2）因为1,2,Tk，1*30,nnanN，所以11211 33(31)32kkkrkSaaa .因此，1rkSa.（3）下面分三种情况证明.若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS.若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.若D不是C的子集，且C不是D的子集.令UECC D，UFDC C则E，F，EF.于是CECDSSS，DFCDSSS，进而由CDSS，得EFSS.设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl.由（2）知，1EkSa，于是1133lklFEkaSSa，所以1lk，即lk.又kl，故1lk，从而11211311 332
19、22llkEFlaSSaaa ，故21EFSS，所以2()1CCDDCDSSSS，即21CCDDSSS.综合得，2CCDDSSS.21A 证明：在ADB和ABC中，因为90,ABCBDACA为公共角，所以ADBABC，于是ABDC.在Rt BDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，从而EDCC.所以EDCABD.B解：设abBcd，则1110120102abB Bcd，即1110220122acbdcd，故1121022021acbdcd，解得114012abcd，所以114102B.因此，151121440210102AB.C解：椭圆C的普通方程为2214yx，将直线l的参数方程11232
20、xtyt，代入2214yx，得223()12(1)124tt，即27160tt，解得10t，2167t .所以1216|7ABtt.21D.证明：因为|1|,|2|33aaxy 所以|24|2(1)(2)|2|1|2|2.33aaxyxyxya 22.解：（1）抛物线2:y2(0)Cpx p的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p在直线:20l xy上，得0202p，即4.p 所以抛物线 C 的方程为28.yx（2）设1122(x,y),(x,y)PQ，线段 PQ 的中点00(x,y)M 因为点 P 和 Q 关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段 PQ,于是直线 PQ 的斜率为1，则可设其方程为
21、.yxb 由22ypxyxb 消去x得2220(*)ypypb 因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以12,yy 从而2(2)4(2)0ppb，化简得20pb.方程（*）的两根为21,22ypppb，从而120.2yyyp 因为00(x,y)M在直线l上，所以02.xp 因此，线段 PQ 的中点坐标为(2,).pp 因为M(2,).pp在直线yxb 上 所以(2)bpp，即22.bp 由知20pb，于是2(22)0pp，所以4.3p 因此p的取值范围为4(0,).3 23.解：（1）34676 5 47 6 5 474740.3 2 14 3 2 1CC （2）当nm时，结论显然成立，当nm时 11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,.!()!(1)!(k 1)(m 1)!mmkkkkkkCmmCkmmnm kmm 又因为122112,mmmkkkCCC 所以2221(1)(1)(),km 1,m+2,n.mmmkkkkCmCC，因此 12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)(2)(3)(n 1)(1)(1)()()()(1)mmmmmmmnmmmmmmmnmmmmmmmmmmmmnnmnmCmCmCCmCmCmCCmCmCCCCCCmC