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1、 贵州省黔南州 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合1|244xAx，|22By yxx，则AB（）A.2 B.0 C.2.2 D.0.2【答案】B【解析】【分析】分别计算集合 2,2A ，集合0B，再求AB.【详解】由1244x剟，得22x 剟，即 2,2A ，由22yxx，得2x，所以0y，所以0B，所以0AB.故答案选 B【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题.2.已知a，b，c，dR，则下列不等式中恒成立的是()A.若ab，cd，
2、则acbd B.若ab，则22acbc C.若0ab，则()0ab c D.若ab，则acbc 【答案】D【解析】【分析】,A B C选项均可找到反例说明不恒成立；根据不等式的性质可知D正确.【详解】A选项：若1a，0b，1c ，2d ，则1ac，0bd；此时acbd，可知A错误；B选项：若0c，则220acbc，可知B错误；C选项：ab，则0ab；若0c，则0ab c，可知C错误；D选项：若ab，根据不等式性质可知acbc，D正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查不等式的性质，可采用排除法得到结果，属于基础题.3.如图所示的是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三
3、个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成，现已知3a，4b，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）A.1728 B.2556 C.2528 D.1625【答案】C【解析】【分析】先计算总面积，再计算阴影部分面积，相除得到答案.【详解】图形总面积为：22213453 4562S 阴影部分面积为：222134550S 概率为：150255628SPS 故答案选 C【点睛】本题考查了几何概型计算概率，意在考查学生的计算能力.4.已知0.9log2019a，0.92019b，20190.9c，则 A.acb B.abc C.bac D.bca【答案】A 【解析】【分析】
4、根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,a b c的取值范围，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可得0.90.9log2019log10a，由指数函数的性质可得 0.90201920191b，2019000.90.91c，所以acb，故选 A【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ,0,0,1,1,）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.已知数列 na是等差数列，若5676aaa，则11S（）A.18 B.20 C.
5、22 D.24【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质计算62a，再计算1161122Sa得到答案.【详解】数列 na等差数列，567636aaaa，62a，1161122Sa.故答案选 C【点睛】本题考查了数列求和，利用等差数列性质可以简化运算.6.函数1()|1xxef xxe（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数为奇函数，排除 AB，再通过特殊值排除 D，得到答案.【详解】111()()()|1|1|1xxxxxxeeef xfxf xxexexe()f x为奇函数，排除 A，B.当x时，()0f x 排除 D 故答案选 C【点睛】
6、本题考查了函数的图像，利用奇偶性和特殊值可以简化运算.7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a，3b，60B，则A（）A.30 B.45 C.150 D.45或135【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得到2sin2A，通过大角对大边，排除一个得到答案.【详解】由正弦定理得sinsinabAB，即23sinsin60A，2sin2A.又ab，AB，45A.故答案选 B【点睛】本题考查了正弦定理，没有排除多余答案是容易犯的错误.8.已知正实数a，b满足41ab，则1ba的最小值为（）A.4 B.6 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】变换141bababa展开利用均值
7、不等式得到答案.【详解】0a，0b，41ab，141bababa445529abababab，当且仅当 4,41ababab时，即1,36ab时取“”.故答案选 C【点睛】本题考查了均值不等式，1 的代换是解题的关键.9.执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A.201921 B.201922 C.202021 D.202022 【答案】D【解析】【分析】根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.【详解】由图知输出的结果2019123201920202212222222 1S 故选 D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构
8、、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.等差数列 na中，已知70a，390aa，则 na的前n项和nS的最小值为（）A.4S B.5S C.6S D.7S【答案】C【解析】【分析】先通过数列性质判断60a，再通过数列的正负判断nS的最小值.【详解】等差数列 na中，390aa，39620aaa，即60a.又70a，na的前n项和nS的最小值为6S.故答案选 C【点睛】本题考查了数列和的最小值，将nS的最小值转化为 na的正负关系是解题的关键.11.将函数sin6yx的图象上各点的横坐标变为原来的12
9、（纵坐标不变），所得图象对应的函数在区间,4 2 上的值域为（）A.1,12 B.1,12 C.0,1 D.3,12【答案】D【解析】【分析】先计算变换后的函数表达式sin 26yx，再计算72366x剟，得到值域.【详解】将函数sin6yx的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得sin 26yx的图象，42x剟，72366x剟，sin 26yx的最大值为 1，最小值为32.故答案选 D【点睛】本题考查了三角函数的变换，值域，意在考查学生的计算能力.12.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是
10、世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第 7 位的人，这比欧洲早了约 1000 年.在生活中，我们也可以通过设计如下实验来估计的值：在区间 1,1内随机抽取 200 个数，构成 100 个数对(,)x y，其中以原点为圆心，1 为半径的圆的内部的数对(,)x y共有 78 个，则用随机模拟的方法得到的的近似值为（）A.257 B.227 C.7825 D.7225【答案】C【解析】【分析】计算4P，又由于频率为78100 取相等得到的近似值.【详解】根据几何概型公式知：17878410025SPS 故答案选 C【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生解决问题的能力.第卷 二、填空题（本题共
11、4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知向量(2,)a，(1,2)b，若ab，则|a _.【答案】5【解析】【分析】根据ab，计算1，代入得到|a.【详解】ab，220a b，1，22|215a.故答案为5【点睛】本题考查了向量的计算，属于简单题.14.若变量x，y满足约束条件8,4,0,0,xyxyxy厖则2zxy的最大值为_.【答案】16【解析】【分析】画出可行域和目标函数，通过平移得到最大值.【详解】由约束条件8,4,0,0,xyxyxy厖作出可行域如图所示，2zxy可化为122zyx，当直线过点(0,8)C时，z取最大值，即max2 816z.故答案为 16【点睛】本题考查了
12、线性规划，求线性目标函数(0)zaxby ab的最值:当0b时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当0b 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15.某市某年各月的日最高气温（）数据的茎叶图如图所示，若图中所有数据的中位数与平均数相等，则xy_.【答案】18【解析】【分析】先计算数据的中位数为 12,再利用平均值公式得到答案。【详解】根据茎叶图：共有 12 个数，中位数为11 13122 平均数为：123611 13 15 17+182020121812xyxy 故答案为 18【点睛】本题考查了中位数和平均数的计算，
13、意在考查学生的计算能力.16.若函数26yxx的定义域为A，则函数142()xxyxA的值域为_.【答案】1,48 【解析】【分析】先计算函数的定义域 A，再利用换元法取2xt化简为二次函数得到值域.【详解】由260 xx，得26 0 xx，(3)(2)0 xx，23x 剟，1284x剟.令2xt，则222(1)1yttt，当1t 时，min1y；当8t 时，max48y.故答案为：1,48【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，属于常考题型.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在锐角ABC中，ABAC，E在边AC上，5AE，2EC，
14、ABE的面积为 14.（1）求sinBAE的值；（2）求BE的长.【答案】（1）45；（2）4 2.【解析】【分析】（1）先计算7AB，再利用面积公式得到答案.（2）先计算3cos5BAE，ABE中，由余弦定理得到答案.【详解】（1）ABAC，7ABAEEC，1sin2BAESAB AEBAE17 5 sin142BAE ，4sin5BAE.（2）BAE为锐角，23cos1 sin5BAEBAE.在ABE中，由余弦定理得2222cosBEABAEAB AEBAE，2349252 7 5325BE ，4 2BE.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.18.已知等差数列 n
15、a的前n项和为nS，且22a，公差0d，2a，4a，8a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设1nnbS，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）nan；（2）21nnTn.【解析】【分析】（1）根据22a，公差0d，2a，4a，8a成等比数列，形成方程组，解得答案.（2）根据nan，计算(1)2nn nS，得到2112(1)1nbn nnn，用裂项求和法得到答案.【详解】（1）2a，4a，8a成等比数列，2428aaa，即2(22)2(26)dd，244dd，又0d，1d，121aad，故1(1)naandn.（2）由（1）得12nnn aaS(1)(1)22nnn n，211
16、2(1)1nbn nnn，11111212231nTnn122 111nnn.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.19.为调查高中生对某活动的参与度，教委对A，B，C，D四所高中按各校人数采用分层抽样的方法抽取了 100 名学生，将调查情况整理后得到下表：学校 A B C D 抽查人数 50 15 10 25 参与该活动的人数 40 12 9 15 （1）在这 100 名学生中，随机抽取 1 名学生，求该学生没有参与该活动的概率；（2）在这 100 名学生中，从B，C两所高中没有参与该活动的学生中随机抽取 2 名学生，求B，C两所高中各有 1
17、 名学生没有参与该活动的概率.【答案】（1）625（2）12【解析】【分析】（1）先计算参与该活动的概率，再用 1 减去得到答案.（2）先计算B，C两所高中没有参与该活动的学生人数，再用排列组合公式计算得到答案.【详解】（1）766110025P （2）从B，C两所高中没有参与该活动的学生分别为 3 人和 1 人.11312412CCPC【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.20.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3 cossinaBbA.（1）求角B的大小；（2）若2 6b，求ABC的面积的最大值.【答案】（1）3；（2）6 3.【解析】【分析】（1）利用正
18、弦定理直接得到答案.（2）利用余弦定理得到2224acac再利用均值不等式得到24ac,代入面积公式得到最大值.【详解】（1）由正弦定理及已知，得3sincossinsinABBA，(0,)A，sin0A，tan3B.(0,)B，3B.（2）由余弦定理，得2222cosbacacB，即2224acac2acacac，24ac，113sin246 3222ABCSacB，即ABC面积的最大值为6 3.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.21.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾客的年龄情况以及甲商场这五天
19、的销售情况如频率发布直方图所示：甲商场五天的销售情况 销售第x天 1 2 3 4 5 第x天的销量y 11 13 12 15 14 （1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；（2）根据甲商场这五天的销售情况，求x与y的回归直线方程ybxa.参考公式：回归直线方程ybxa中，121niiiniixxyybxx，aybx.【答案】（1）38.5（2）45355yx【解析】【分析】（1）根据平均值公式计算平均值.（2）根据公式计算回归直线方程ybxa.【详解】（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：27.5 0.01 5 32.5 0.04 5 37.5 0.07 542.5 0.06 547.5 0.0
20、2 538.5 （2）1234535x 11 13 12 15 14135y 12122222(1 3)(11 13)(23)(13 13)(33)(12 13)(43)(15 13)(53)(14 13)4(1 3)(23)(33)(43)(53)5niiiniixxyybxx45313355aybx 回归方程为：45355yx【点睛】本题考查了平均值的计算，线性回归方程，意在考查学生的计算能力.22.已知数列 na满足13a，121nnaa，*nN.（1）求证数列1na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设11nnnbaa，数列 nb的前n项和为nT，证明：112nT.【答案】（1）21nna；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）计算1121nnaa得证，再利用等比数列公式得到21nna.（2）根据（1）12nnb，112nnT进而证明：112nT 【详解】（1）解：121nnaa，1121nnaa，1121nnaa，数列1na 是公比为 2，首项为112a 的等比数列，112 22nnna，21nna.（2）证明：由（1）知 11122121nnnnb，数列 nb为等比数列，公比为12，首项为12，11122111212nnnT.11022n，112nT.【点睛】本题考查了等比数列的证明，求数列的通项公式，不等式的证明，意在考查学生对于数列公式方法的灵活应用.