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1、 河北省承德第一中学 2020 届高三数学上学期第三次月考（12 月）试题 理 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 共 60 分）一.选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上)1.集合11324xAx xBx，则AB=（）A.0,2 B.(1,3)C.1,4 D.2,+)2.设i是虚数单位，若复数z=1ii，则z的共轭复数为（）A.1122i B.112i C.112i D.1122
2、i 3.下列命题正确的是（）A.若a b，则11ab B.若a b，则22ab C.若a b，cd，则ac bd D.若a b，c d，则ac bd 4.已知在ABC中，P为线段AB上一点，且3BPPA，若CPxCAyCB，则2xy（）A.94 B.74 C.54 D.34 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.34 B.942 C.42 D.1142 6.已知向量(1,2)a ，(1,)bm，则“12m”是,a b为钝角的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若
3、m，nn，则m B.若,m，则m C.若,mnn，则m D.若mn n，则m 8.已知ABC的周长为 20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A.2213620 xy（x0）B.2212036xy（x0）C.221620 xy（x0）D.221206xy（x0）9.斜率为 2 的直线l过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e的取值范固是（）A2e B13e C15e D5e 10.试在抛物线24yx 上求一点P，使其到焦点F的距离与到2,1A 的距离之和最小，则该点坐标为()A.1,14 B.1,14 C.2,2
4、 2 D.2,2 2 11.若函数f(x)2xxa(a0)在1,+)上的最大值为33，则a的值为()A.31 B.3 C.32 D.31 12.如图，设椭圆的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BO交椭圆于C点，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆的离心率是（）A12 B23 C13 D14 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知()f x是定义域 R 上的奇函数,周期为 4,且当0,1x时,2()log(1)f xx,则(31)f_.14.设函数()sin()f xAx（,A 为常数，且0,0,0A）的部分图象
5、如图所示，则的值是_.15.若x，y满足约束条件02636xyxy，则2zxy的最大值为_ 16.在数列an中，1111,(*)2019(1)nnaaanNn n，则2019a的值为_ 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若222tan3bcaAbc.（1)求角A；（2）若3a，则ABC周长的取值范围.18.（本小题满分 12 分）已知数列an满足11a，121nnaa.（1）证明数列1na 是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）令3(1)nnbna，求数列
6、bn的前n项和Tn.19.（本小题满分 12 分）如图，已知点 H 在正方体1111ABCDA BC D的对角线11B D上，HDA=060（）求 DH 与1CC所成角的大小；（）求 DH 与平面1ABD所成角的正弦值 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过顶点(0,1)A的直线L与椭圆C相交于两点A，B.（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在椭圆上且满足1322OMOAOB，求直线L的斜率k的值.21.（本小题满分 12 分）已知函数1ln)1(21)(2xaxaxxf（1）若x=3 是f（x）的极值点，求f（x）的极大值；（2）求a的范围，使
7、得f（x）1 恒成立 选做题：本小题满分 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为32 2,4，直线l的极坐标方程为sin2 204（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值 23.（1）已知，a，b都是正数，且ab，求证：552323aba bb a.（2）已知已知,a b cR，且1abc，求证：22213abc.试卷答
8、案 1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C 如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC的中位线，于是OFMAFB，且|1|2OFOMFAAB，即12cac，可得13cea 13.-1 14.3 15.10 16.1 17.【详解】（1）由222sin32cos2bcaAbcbcAbc，得到3sin2A，又0,2A，所以3A.（2）3A，3BC，设周长x，由正弦定理知2sinsinsinBCACABRABC，由合分比定理知sinsinsinsinBCABBCACAABC，即333sinsin22xBC，32 3sinsin2BAB
9、x，即32 3 sinsin3xBB32 3 sinsincoscossin33BBB 1332 3 sinsincos22BBB3332 3sincos22BB 3136sincos22BB36sin6B.又因为ABC为锐角三角形，所以,6 2B.3sin,162B，周长33 3,9x.18.【详解】（）证明：由题意可得：112(1)nnaa，则1121nnaa，又112a 故1na 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以11222nnna，故21nna （2）由（1）知32nnbn 12313 262923(1)232nnnTnn 234123 262923(1)232nnnTnn
10、12313(222232nnnTn）-1(33)26nnTn 19.解：以D为原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz 不妨设1AB，另设(1)(10)H mmm，则(10 0)DA，(0 01)CC，连结BD，B D 设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH，（）因为2200 1 1222cos212DH CC ，所以45DH CC，即 DH 与CC所成的角为45 （）设 平 面A BD的 法 向 量 为(,),nx y z则(,)(1,0,1)0(,)(1,1,0)0n DAx y
11、zn DBx y z，00 xzxy，令1,x 得(1,1,1)n 是平面A BD的一个法向量 221(1)1(1)622cos623DH n ，设 DH 与平面A BD所成的角为 所以6sincos6DH n，A B C D ABCx y DH 20.(1)因为 e=,b=1,所以 a=2,故椭圆方程为.4 分(2)设 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).联立22114ykxxy，解得(1+4k2)x2+8kx=0,7 分 因为直线 l 与椭圆 C 相交于两点，所以=(8k)20,所以 x1+x2=，x1x2=0，1322OMOAOB 点 M 在椭圆
12、上，则 m2+4n2=4,2212121(3)(3)44xxyy,化简得 x1x2+4y1y2=x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)=(1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0,10 分 4k()+4=0,解得 k=12.故直线 l 的斜率 k=12.12 分 考点：(1)椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题.21.【详解】解：（1）1afxxax x=3 是f（x）的极值点，33103afa，解得a=3 当a=3 时，21343xxxxfxxx，当x变化时，x（0，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+0-0+f（x）递增 极大值 递减 极小值 递增 f（x）的极大值为
13、 512f；（2）要使得f（x）1 恒成立，即x0 时，21102xaxalnx恒成立，设 2112g xxaxalnx，则 11xxaagxxaxx，（）当a0 时，由g（x）0 得单减区间为（0，1），由g（x）0 得单增区间为（1，+），故 1()102ming xga ，得21a；（ii）当 0a1 时，由g（x）0 得单减区间为（a，1），由g（x）0 得单增区间为（0，a），（1，+），此时 1102ga ，不合题意；（iii）当a=1 时，f（x）在（0，+）上单增，1102ga 此时，不合题意；（iv）当a1 时，由g（x）0 得单减区间为（1，a），由g（x）0 得单增区间为
14、（0，1），（a，+），此时 1102ga ，不合题意 综上所述：21a时，f（x）1 恒成立 22.【详解】（1）因为直线 l 的极坐标方程为sin2 204，即 sincos40由 xcos，ysin，可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40 将曲线 C 的参数方程3xcosysin消去参数 a，得曲线 C 的普通方程为2213xy（2）设 N（3cos，sin），0，2）点 M 的极坐标（2 2，34），化为直角坐标为（2，2）则31cos1,sin122P 所以点 P 到直线 l 的距离31cossin6sin62237 2222d，所以当56时，点 M 到直线 l 的距离的最大值为7 22 23.【详解】（1）552332532523aba ba baa bba b 3223222233222()()aabbabababab abaabb.,a b都是正数,22,0ab aabb,又2,()0abab,222552332()()0,ab abaabbaba ba b；（2）a+b+c=1，1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）3（a2+b2+c2），a2+b2+c213