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1、 河北深州市长江中学 2019-2020 高三上学期 12 月月考 数 学（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A=x|x1，B=x|31x，则 A.|0ABx x B.ABR C.|1ABx x D.AB 【答案】A【解析】集合|31xBx|0Bx x 集合|1Ax x|0ABx x，|1ABx x 故选 A 2.若函数f(x)(21)(2)xxxa为奇函数，则a等于()A.1 B.2 C.12 D.12【答案】A【解析】【分析】由于函数为奇函数，则 fxf x，化简后可求得a的值.【详解】依题
2、意得 212212xxfxxxaxxa，由于函数为奇函数，故 fxf x，即 212212xxxxaxxa，对比可得1a，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.在利用奇偶性来解题时，主要把握的是 fxf x，或者 fxf x.属于基础题.3.若 x（0，1），alnx，bln12x，celnx，则 a，b，c 的大小关系为（）A.bca B.cba C.abc D.bac【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【详解】x（0，1），alnx0，b（12）lnx（12）01，0celnxe01，a，b，c的大小关系为bc
3、a 故选A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4.设函数32()(2)2f xxaxx，若 f x为奇函数，则曲线 yf x在点1,3处的切线方程为（）A.52yx B.2yx C.58yx D.4yx【答案】A【解析】【分析】根据函数 f x为奇函数求出2a，再求导，求函数值，由点斜式写出切线方程【详解】函数32()(2)2f xxaxx为奇函数，2a，所以函数3()2f xxx，可得2()32fxx，(1)3f；曲线()yf x在点1,3处的切线的斜率为：(1)5f，则曲线()yf x在点1,3处的切线的方程为35(1)
4、yx，即52yx.故选：A【点睛】本题主要考查奇函数的性质、利用函数的导数求切线方程，属于基础题 5.正三角形ABC中，D是线段BC上的点，6AB，2BD，则AB AD（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】D【解析】【分析】先用AB，BC表示出AD，再计算AB AD即可.【详解】先用AB，BC表示出AD，再计算数量积 因为6AB，2BD，则13BDBC，13ADABBC 所以22111166 6303332AB ADAB ABBCABAB BC .故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题.6.在下列给出的四个结论中，正确的结论是 A.已知函数()f x在区间(
5、,)a b内有零点，则()()0f a f b B.若1ab，则3是3a与3b的等比中项 C.若12,e e是不共线的向量，且122,mee1236nee，则mn D.已知角终边经过点(3,4)，则4cos5 【答案】C【解析】【分析】A.运用举反例判定；B.计算可知错误；C.由题可得121236323,neeeem故 C 正确；D.计算可知错误.【详解】A.因为函数 f（x）在区间（a，b）内有零点，可取函数 f（x）=x2-2x-3，x（-2，4），则 f（-2）f（4）0，所以错；B.若1ab，233333,aba b 即3是是3a与3b的等比中项，故 B 错；C.若12,e e是不共线
6、的向量，且122,mee 121236323,neeeem 故mn，即 C 正确；D.已知角终边经过点3,4，则3cos5，故 D 错误.【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时注意运用举反例这一重要数学方法，可快速解决本题是一道基础题 7.将函数 cos 24fxx的图象向左平移8个单位，得到函数 g x的图象，则下列说法不正确的是()A.162g B.g x在区间57,88上是增函数 C.2x是 g x图象的一条对称轴 D.,08是 g x图象的一个对称中心【答案】D【解析】【详解】分析：利用三角函数的图象平移求得 g x，然后逐一分析四个选项得答案 详解：把函数 cos 24fxx的图像向
7、平左移8个单位，得到函数图象的解析式12284632g xcosxcos xgcos（）（），（），故 A 正确；当57,88x时，57244xg x（，），（）在区间57,88是增函数，故 B 正确；122gcosx （），是 g x图象的一条对称轴，故 C 正确；2842gcos（）（），,08不是 g x图像的一个对称中心，故 D 错误 故选 D 点睛：本题考查yAsinx（）型函数的图象和性质，是基础题 8.在ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sincoscoscCaBbA，且2223bcabc，则角B的大小（）A.6 B.3 C.2 D.23【答案】B【解析】【分析】
8、利 用 正 弦 定 理 由sincoscoscCaBbA求 出 角C，再 利 用 余 弦 定 理 由2223bcabc求出角A，由三角形内角和为即可求得角B.【详解】由正弦定理得2sinsincoscossinsinsinsinCABABABCC 得sin1C，所以2C 又2223cos22bcaAbc，得6A所以3B 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.9.已知函数322()(41)152723xf xmxmmx在R上单调递增函数，则实数m的取值范围为（）A.,2 B.4,3 C.2,4 D.2,4【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，由函数R上单调递增函
9、数得()0fx，得0，从而求出m的范围【详解】22()2(41)1527fxxmxmm，由题意可得()0fx在xR上恒成立，所以2224(41)4 15274680mmmmm，解得24m.故m的取值范围为2,4，故选：D【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，属于基础题 10.设nS为等差数列 na的前n项的和11a，20172015120172015SS，则数列1nS的前 2017项和为（）A.20171009 B.20172018 C.12017 D.12018【答案】A【解析】设等差数列 na 的公差为d，11201720152017?20162015?20142017201
10、52212017201520172015adadSS 1110081007adadd,11,1nnaandn Sn (1)(1)12111,222(1)1nn nn nSn nnn，则数列1nS 的前2017 项和为 1111111120172 1.2 1223342017201820181009，故选 A.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：11 11n nkknnk；1nkn 1nknk；111121 212 2121nnnn；11122n nn 11112n nnn；此外，需注意裂
11、项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.11.已知函数 22log1f xxx，若对任意的正数,a b，满足 310f afb，则31ab的最小值为（）A.6 B.8 C.12 D.24【答案】C【解析】【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31ab，最后根据基本不等式求最值.【详解】因为2210,xxxxxx 所以定义域为R，因为 221log1f xxx，所以 f x为减函数 因为 221log1f xxx，22log1fxxx,所以 f xfxf x，为奇函数，因为 310f afb，所以 1 31 3f afbab，即31ab，所以313
12、1936baabababab，因为9926babaabab，所以3112ab（当且仅当12a，16b 时，等号成立），选 C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属 中档题.12.已知函数(),()ln1xf xee g xx，若对于1xR，20 x，使得 12f xg x，则12xx的最大值为（）A.e B.1-e C.1 D.11e【答案】D【解析】【分析】不妨设 f(1x)=g(2x)a，从而可得12xx的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可【详解】不妨设 f(1x)=g(2x)a，1xee21lnx a，1xln(a+e)，2x1ae，
13、故12xxln(a+e)-1ae，（a-e）令h（a）ln(a+e)-1ae，h（a）11aeae，易知h（a）在（-e，+）上是减函数，且h（0）0，故h（a）在a0处有最大值，即12xx的最大值为11e；故选D【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题 二、填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分,共 20 分,其中第 16 题第一空 2 分,第二空 3 分,请将正确的答案填在横线上)13.已知3sin63，则cos3_ 【答案】33【解析】【分析】由coscossin3266即可求解.【详解】632326 3coscossin32663.故答案为：
14、33.【点睛】本题主要考查诱导公式cossin2的应用，属基础题.14.已知向量,a b夹角45，且1,210aab，则b _【答案】3 2【解析】试 题 分 析：的夹 角，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.【此处有视频，请去附件查看】15.若曲线21:Cyax(0)a 与曲线2:xCye在0+，上存在公
15、共点，则a的取值范围 为 【答案】2,4e【解析】试题分析：根据题意，函数与函数在0+，上有公共点，令2xaxe得：2xeax 设 2xefxx则 222xxx exefxx 由 0fx得：2x 当02x时，0fx，函数 2xefxx在区间0,2上是减函数，当2x 时，0fx，函数 2xefxx在区间2,上是增函数，所以当2x 时，函数 2xefxx在0+，上有最小值 224ef 所以24ea 考点：求参数的取值范围 16.将正整数12分解成两个正整数的乘积有1 12，2 6，3 4三种，其中3 4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为12的最佳分解当p q（pq且p、qN）是正整
16、数n的最佳分解时我们定义函数 f nqp，例如 12431f 则 88f的值为_，数列 5nfnN的前2020项的和为_【答案】(1).3 (2).101051【解析】【分析】由8811 82 441 884 22 ，即可求得 88f的值；对于数列 5nf，分n为奇数、偶数两种情况讨论求出通项公式，再利用公式法求和即可.【详解】8811 82 441 884 22 ，可得 8811 83f；当n为偶数时，225550nnnf 当n为奇数时，1112225554 5nnnnf 1010011009101020201 54 5554511 5S.故答案为：3；101051.【点睛】本题主要考查自定
17、义概念的理解及数列的求和问题，属常规考题，难度中等.三、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题至 22 题每题 12 分，共计 70 分）17.已知数列 na满足11a，131nnaa（1）证明12na是等比数列，（2）求数列 na的前n项和nS【答案】（1）见解析；（2）13234nnns【解析】【分析】（1）利用定义法证明11212nnaa是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；（2）由（1）求出na，利用分组求和法求nS【详解】（1）由13 1nnaa得111322nnaa，所以112312nnaa，所以12na是首项为11322a，公比为3的等比数列,，所以113322nna，（
18、2）由（1）知 na的通项公式为31(*)2nnanN；则123332222nnnS 所以13234nnnS 【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题 18.在ABC中，,A B C的对边分别为,a b c，已知cos 23cos()1ABC（1）求A的值；（2）若ABC的面积为3 3，3b，求sinsinBC的值【答案】（）3（）913【解析】【分析】（1）根据二倍角和诱导公式可得cos A的值；（2）根据面积公式求c，然后利用余弦定理求a，最后根据正弦定理求sinsinBC的值.【详解】（1）ABC,coscosBCA，所以原式整理为22cos3cos20AA,解得：c
19、os2A（舍）或1cos2A 0A,3A;（2）113sin33 3222SbcAc，解得4c，根据余弦定理22212cos9 162 3 4132abcbcA ,13a,sinsinsinabcABC，代入解得：3 392 39sin,sin2613BC,9sinsin13BC.点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.19.如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、()的终边分别与单位圆交于A，B两点，点4 3,5 5A.（1）若点5 12,13 13B，求cos()的值：（2）若3 1010OA OB，求sin.【答案】(1)1665(2)13 1050【解析】【分析】（1）根据4
20、3,5 5A5 12,13 13B计算3sin5，4cos5，12sin135cos13代入公式得到答案.（2）根据3 1010OA OB,得到3 10cos()10，根据sinsin()计算得到答案.【详解】解：（1）因为是锐角，且4 3,5 5A，5 12,13 13B在单位圆上，所以3sin5，4cos5，12sin135cos13，cos()coscossinsin453121651351365 （2）因为3 1010OA OB，所以3 10|cos()10OAOB，且1OAOB，所以，3 10cos()10，可得：10sin()()10，且4cos5，3sin5 所以，sinsin(
21、)sincos()cossin()33 1041013 1051051050.【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.20.已知数列na的前n项和为nS，点(,)nnaS在直线22yx上，*nN(1)求na的通项公式；(2)若2(1)lognnnbnaa，求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）2nna（2）1(1)22nnTn【解析】【分析】由点在直线上代入得到nnaS、的关系，然后求出通项公式 由（1）得2nnbn，运用错位相减法求出前n项和nT【详解】(1)点,nna S在直线22yx上，*nN，22nnSa.当1n 时，1122,aa 则12a，当2
22、n时，S22nna,1122nnSa 两式相减，得122nnnaaa,所以12nnaa.所以 na是以首项为2，公比为2等比数列，所以2nna.(2)221 log1 log 22nnnnnnbnaanan,12311 22 23 2122nnnTnn ,234121 22 23 2122nnnTnn ,两式相减得:123122222nnnTn,所以1122nnTn.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤 21.如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45(其中点
23、P，Q分别在边BC，CD上)，设BPt(百米)（1）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长L是否为定值；（2）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积为S(平方百米)，求S的最大值【答案】（1）211tPQt，2l为定值；（2）max22S.【解析】【分析】（1）求出1 CPt，设PAB，表示出DQ和CQ，由勾股定理即可求出PQ，再求出周长L，即可判断是否为定值；（2）由ABPADQABCDSSSS正方形求出面积S，由基本不等式即可求出面积的最大值【详解】（1）由BPt，得1 CPt，01t，设PAB，则45DAQ，1tan 451tDQt，12111ttCQtt，2222221(1)11
24、ttPQCPCQttt lCPCQPQ 2211211ttttt ，是定值；（2）ABPADQABCDSSSS正方形1111 111221ttt ，121111222121 tttt 由于10 t，则11221tSt11222221tt，当且仅当1121tt，即21t 时等号成立，故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最大为22平方百米【点睛】本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查基本不等式求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 22.已知函数2()ln()f xxaxx在0 x 处取得极值(1)求实数 a 的值；(2)若关于 x 的方程5()2f
25、xxb 在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数 b 的取值范围【答案】(1)1a；(2)11ln3,ln22b 【解析】【分析】（）函数 2lnf xxaxx，对其进行求导，在0 x 处取得极值，可得 00f，求得a值；（）由1a 知 25ln1,2f xxxxf xxb 由，得23ln10.2xxxb令 23ln1,2xxxxb 则关于x的方程 52f xxb 在区间0,2上恰有两个不同的实数根，转化为 00,2x 在上恰有两个不同实数根，对 x对进行求导，从而求出b的范围；【详解】（）121,0fxxxxa时，f x取得极值，00,f 故12 0 10,0a 解得1a.经检验1a 符合
26、题意（）由1a 知 25ln1,2f xxxxf xxb 由，得23ln10.2xxxb 令 23ln1,2xxxxb 则 52f xxb 在0,2上恰有两个不同的实数根，等价于 00,2x 在上恰有两个不同实数根.451132,1221xxxxxx 当0,1x时，0 x，于是 0,1x在上单调递增；当1,2x时，0 x，于是 x在 1,2上单调递增；依题意有 00,311 110,2212430.blnblnb 1ln3 1ln22b.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题