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1、 第 1 页 共 6 页 13.5 逆命题与互逆定理 2.线段垂直平分线 学习目标：1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法；（重点）2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）自主学习 一、知识链接 1.经过线段_并且_于这条线段的_，叫做这条线段的垂直平分线.2.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的 线.二、新知预习 操作：如图，已知线段 AB，作直线 MN 的垂直平分线段 AB.问题：（1）设两弧线的一个交点为 P，量出 AP，PB 的长度，它们有什么关系？（2）用学过的方法证明 AP 与 BP 的关系 合作探究 一、探究过程 探究点 1：线段垂直平分线的性质 问题
2、通过上述“操作”，你认为线段的垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离，有什么特点？【要点归纳】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离_.例 1 如图，在ABC 中，ABAC20cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D.若 DBC 的周长为 35cm，则 BC 的长为()A5cm B10cm C15cm D17.5cm【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长 例 2 已知:如图,在ABC 中,边 AB，BC 的垂直平分线交于 P.求证：PA=PB=PC.第 2 页 共 6 页 【要点归纳】三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个
3、顶点的距离_.【变式题】某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？在图中作出购物中心的位置 例 3 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.若 BEAE，求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.【方法总结】证明线段相等的常用方法：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.探究点 2：线段垂直平分线的判定 问题 写出垂直平分线性质定理的逆命题，你认为它是真命题还是假命题？【要点归纳】到线段两端
4、距离_的点在这条线段的_上.例 4 如图，点 E 是AOB 的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为 C,D，连接 CD.求证：OE 是 CD 的垂直平分线.二、课堂小结 当堂检测 第 3 页 共 6 页 1.如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA=5，则线段 PB 的长为（）A.6 B.5 C.4 D.3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2.小明做了一个如图所示的风筝，其中 EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道 DH 是 EF 的垂直平分线其中蕴含的道理是 .3.如图，ABC 中，AC 的垂直平分线交 AB 于点 D，A
5、=50，则BDC=.4.如图，在ABC 中，ACB90，BE 平分ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于 D，求证：BE+DEAC 5.如图，在ABC 中，AD 是高，在线段 DC 上取一点 E，使 BDDE，若 AB+BDDC，求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上 第 4 页 共 6 页 6.如图，在ABC 中，已知 AD 平分BAC，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，试说明 AD 与 EF的关系 拓展提升 7.如图，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 互相垂直平分，垂足为点 O（1）找出图中相等的线段；（2）OE，OF 分别是点 O 到CAD 两边的距离，试说明
6、它们的大小有什么关系?参考答案 自主学习 一、知识链接 1.中点 垂直 直线 2.垂直平分 二、新知预习 操作：如图所示：问题：（1）AP=BP （2）由作图知 MN 垂直平分 AB，设 MN 与 AB 相交于点 C，所以 AC=BC，ACP=BCP，又因为 CP=CP，所以ACPBCP.所以 AP=BP.合作探究 一、探究过程 探究点 1：【要点归纳】相等 例 1 C 例 2 证明：点 P 是边 AB，BC 的垂直平分线的交点，PA=PB，PB=PC，PA=PB=PC 【要点归纳】相等 【变式题】解：如图，连接 AB，分别以 A、B 为圆心，大于21AB 长为半径画弧，两弧交于两 第 5 页
7、 共 6 页 点，连接这两点即得 AB 的垂直平分线；同理连接 BC，作出 BC 的垂直平分线，两条直线交于点 P，则点 P 就是购物中心的位置.例 3 证明：（1）ADBC，ADC=ECF.E 是 CD 的中点，DE=EC在ADE 与FCE中，CEF,AEDEC,DEECF,ADCADEFCE（ASA），FC=AD（2）ADEFCE，AE=EF，AD=CF，BE 是线段 AF 的垂直平分线，AB=BF=BC+CF，AD=CF，AB=BC+AD 探究点 2：【要点归纳】相等 垂直平分线 例 4 证明：OE 平分AOB，COE=DOEECOA，EDOB，OCE=ODE=90.在OCE 和ODE
8、中，COEDOE,OCEODE,EOEO,OCEODE（AAS），OC=OD，又OE 是AOB 的平分线，OE 是 CD 的垂直平分线 二、课堂小结 相等 当堂检测 1.B 2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3.100 4.证明：ACB90，ACBC，EDAB，BE平分ABC，CEDE，DE垂直平分AB，AEBE，ACAE+CE，BE+DEAC 5.证明：AD是高，ADBC，又BDDE，AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，ABAE，AB+BDAE+DE，又AB+BDDC，DCAE+DE，DE+ECAE+DE.ECAE，点E在线段AC的垂直平分线上 6.解：AD 垂直平分 EF.理由如下：AD 平分BAC，EADFAD，DEAB，DFAC，AEDAFD在AED 和AFD 中，AEDAFD（AAS），AE 第 6 页 共 6 页 AF，DEDF，AD 为 EF 的垂直平分线，即 AD 垂直平分 EF 7.解：（1）AB、CD 互相垂直平分，OCOD，AOOB，且 ACBCADBD.（2）OEOF，理由如下：在AOC 和AOD 中，AOCAOD（SSS），CAODAO，又OEAC，OFAD，AEO=AFO，又AO=AO，AOEAOF（AAS），OEOF