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1、第 21 章 二次根式 21.1 二次根式 学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）；2.掌握二次根式有意义的条件（重点）；3.掌握二次根式的两个性质：220,aa aaa（重点）；4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）.自主学习 一、知识链接 1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习 1.用带根号的式子填空:(1)如图是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为 2dm2,则它的边长为 dm；若其面积为 S dm2，则它的边长为_ dm (2)如图的海报为长方形，若宽是长的 2 倍，面积为 6m2，则它的长为_m(3)一个物体从高处自由
2、落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t=_ 合作探究 一、探究过程 探究点 1：二次根式的意义及有意义的条件 问题 1：2,3,5hS分别表示什么？问题 2：这些式子有什么共同特征？【要点归纳】把形如(a0)的式子叫做二次根式.“”称为_.【典例精析】例 1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？23(1)32;(2)6;(3)12;(4)-0(5),;(6)1;(7)5.m mxy x ya；异号 【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征：外貌特征：含有“”；内在特征：被开
3、方数 a0.例 2(教材 P2 例题变式题)当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？131(2).11xxx（）；【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零.【针对训练】1.下列各式:2233;5;112721axxxx；;一定是二次根式的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6 2.(1)若式子12x在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_;(2)若式子12xx在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_.探究点 2：20aa 的性质【典例精析】例 3 计算：2237
4、(1);(2).54【要点归纳】2a(0)a a.【针对训练】计算：22(1)(5)(2)(2 2).；探究点 3：2a的性质 议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：24;22.0;2)54(;220.观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当2,0aa时.2.计算：2)4(;2)2.0(;2)54(54;2)20(.观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当2,0aa时.3.计算：20;当2,0aa时.【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：2=|=(0)(0)，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究点 4：二
5、次根式的双重非负性 问题 1：当 x 是怎样的实数时，2x在实数范围内有意义？3x呢？问题 2：二次根式a的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式a，我们知道：（1）a 为被开方数，为保证其有意义，可知 a_0；（2）a表示一个数或式的算术平方根，可知a_0.【典例精析】例 4 若223(4)0abc，求 a-b+c 的值.【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例 5 已知 y=338xx,求 3x+2y 的算术平方根.【
6、方法总结】若yaab，则根据被开方数大于等于 0，可得 a=0.【针对训练】已知|3x-y-1|和 24xy互为相反数，求 x+4y 的平方根 二、课堂小结 二次根式的概念 一般地，我们把形如0a a的式子叫作_.“”称为二次根号，根指数为_,可省略.二次根式有意义的条件 被开方数（式）为_,即a有意义 a0.二次根式的性质 1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_，即 20.aa a 二次根式的性质 2 一个数的平方的算术平方根等于它的_,即200.a aaaa a，二次根式的非负性 双重非负性：0,0.aa 当堂检测 1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CDa 2.式子236x 有意义的
7、条件是 （）A.x2 B.x2 C.x2 D.x2 3.化简：B.（1）9_;（2）2(4)_;C.（3）27_;（4）281_.4.当 x=_时，二次根式1x 取最小值，其最小值为_ 5.实数 a 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)aa的结果是_.6.利用 a 2()a（a0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)12；(6)0.拓展提升 7.若二次根式222mmm有意义，求 m 的取值范围 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.2.解：若一个非负数的平方等于 a，
8、即 x=a(a0)，则这个数 x 叫做 a 的算术平方根.非负数才有算术平方根.二、新知预习 1.(1)2S（2）3（3）5h 合作探究 一、探究过程 探究点 1：问题 1：解：分别表示 2，S,3,5h的算数平方根.问题 2：解：根指数都为 2,；被开方数为非负数.【要点归纳】a二次根式【典例精析】例 1 解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式.例 2 解：（1）x1.（2）x-3 且 x1.【针对训练】1.B2.(1)x1(2)_x0 且 x2 探究点 2：20aa 的性质【典例精析】例 3 解：（1）原式=35.（2）原式=47.【针对训练】解：（1）原式
9、=5.（2）原式=8.探究点 3：2a的性质 议一议:1.40.25420a 2.40.25420 -a 3.0a【要点归纳】a -a 探究点 4：二次根式的双重非负性 问题 1：解：x 均可取任意实数.问题 2：解：a0，被开方的数大于等于 0【要点归纳】【典例精析】例 4 解：由题意得 a-2=0,b-3=0,c-4=0，a=2，b=3，c=4.则 a-b+c=3.例 5 解：x-30，3-x0，x=3，y=8.3x+2y=25,3x+2y 的算术平方根为 5.【针对训练】解：|3x-y-1|+24xy=0，0,4-y2x0,1-y-3x解得x1,y2.x+4y=9，x+4y 的平方根为3 二、课堂小结 二次根式 2 非负数本身 绝对值 当堂检测 1.C2.A 3.（1）3（2）4（3）7（4）81 4.0 5.1 6.解：(1)9=（9）2；(2)5=（5）2；(3)2.5=（5.2）2；(4)0.25=（25.0）2；(5)21=（21）2；(6)0=（0）2.8.解:由题意，得0,-m-m0,2-m22即0,-mm2,m）（21解得m2,m1m2,（且m2.